Transferncia de Calor e Massa Prof Dr Lucas

Transferência de Calor e Massa Prof. Dr. Lucas Freitas Berti Engenharia de Materiais - UTFPR lenberti@gmail. com 1

Aula 6 segunda-feira, 9 de novembro de 2020 Condução em Regime Transiente Parte 1

Presença Cobrança da presença Transferência de Calor e Massa 3

§ Ementa Sumário da aula § O Método da Capacitância Global § Validade do Método da Capacitância Global § Análise Geral Via Capacitância Global § Efeitos Espaciais Transferência de Calor e Massa 4

O Método da Capacitância Global Transferência de Calor e Massa 5/34

§ Até agora: ▫ Unidimensional, estacionário, sem geração; ▫ Multidimensional, estacionário, com geração; § Transiente: ▫ Não-estacionário, Condições de contorno mudam com o tempo; Tsup ou Tviz muda com o tempo até temperaturas constantes serem atingidas; Transferência de Calor e Massa 6

§ Um lingote removido e exposto ao ar 1. Energia transferida por convecção e radiação; 2. Condução ocorrerá do interior para a superfície; § Isso ocorrerá até as temperaturas ficarem constantes no sistema todo ▫ As propriedades finais serão modificadas de acordo com o histórico térmico no tempo que o lingote é submetido Transferência de Calor e Massa 7

Um problema simples e comum de condução transiente envolve um sólido que passa por uma súbita mudança no seu ambiente térmico. Transferência de Calor e Massa 8

A essência do Método da Capacitância Global é a hipótese de que a temperatura do sólido é uniforme no espaço, em qualquer instante durante o processo transiente. (Essa hipótese implica que os gradientes de temperatura no interior do sólido sejam desprezíveis. ) Esta condição é válida se a resistência térmica à condução no interior do sólido for pequena em comparação à resistência térmica à transferência de calor entre o sólido e a sua vizinhança. Transferência de Calor e Massa 9

Como não podemos utilizar a Equação do Calor para analisar o problema (ausência de gradientes de temperatura no interior do sólido), a resposta transiente da temperatura é determinada pela formulação de um balanço global de energia no sólido. ou ainda, Transferência de Calor e Massa 10

A partir da condição inicial, t = 0 e T(0) = Ti , tem-se que Este resultado indica que a diferença entre as temperaturas do sólido e do fluido devem diminuir exponencialmente para zero à medida que t se aproxima do infinito. Transferência de Calor e Massa 11

Nesta equação, também fica evidente que a grandeza (ρcp. V/h. As) pode ser interpretada como uma constante de tempo térmica representada por sendo que Rt é a resistência térmica à transferência de calor por convecção e Ct é a capacitância térmica global do sólido. Transferência de Calor e Massa 12

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Qualquer aumento em Rt ou em Ct causará uma resposta mais lenta do sólido a mudanças no seu ambiente térmico. O total da energia transferida Q até algum instante de tempo t, é expresso por e ainda, Transferência de Calor e Massa 14

Validade do Método da Capacitância Global Transferência de Calor e Massa 15

O Método do Capacitância Global é o método mais simples e conveniente que pode ser utilizado na solução de problemas transientes de aquecimento e resfriamento. Desta forma, é importante determinar sob quais condições ele pode ser empregado com precisão satisfatória. Transferência de Calor e Massa 16

ou ainda, Transferência de Calor e Massa 17

O número de Biot (Bi) desempenha um papel fundamental nos problemas de condução que envolvem efeitos convectivos nas superfícies. Este parâmetro adimensional fornece uma medida da queda de temperatura no sólido em relação à diferença de temperaturas entre a superfície e o fluido. Se Bi << 1, a resistência térmica à condução no interior do sólido é muito menor do que a resistência térmica à convecção através da camada-limite no fluido. Transferência de Calor e Massa 18

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Para este problema transiente, para Bi << 1, o gradiente de temperatura no sólido é pequeno e T(x, t) ~ T(t). Virtualmente, toda a diferença de temperaturas está entre o sólido e o fluido, e a temperatura do sólido permanece praticamente uniforme à medida que diminui para T∞. Para valores do número de Biot de moderados para elevados, os gradientes de temperatura no interior do sólido são significativos, ou seja, T = T(x, t). Transferência de Calor e Massa 20

Na análise de problemas transientes de aquecimento e resfriamento, se o erro associado à utilização do Método da Capacitância Global é pequeno. Por conveniência, o comprimento característico, Lc , foi definido como Transferência de Calor e Massa 21

Com isso, nota-se que sendo que, é conhecido por número de Fourier. Este parâmetro adimensional é um tempo adimensional que, com o número de Biot, caracteriza problemas de condução transiente. Transferência de Calor e Massa 22

Finalmente, se e então Transferência de Calor e Massa 23

Análise Geral Via Capacitância Global Transferência de Calor e Massa 24

A condução em regime transiente num sólido pode ser induzida por outros processos além da transferência de calor por convecção para ou de um fluido adjacente. Considere a situação na qual as condições térmicas no interior de um sólido podem ser influenciadas simultaneamente pela convecção, pela radiação térmica, pela aplicação de um fluxo em sua superfície e pela geração interna de energia. Transferência de Calor e Massa 25

A figura mostra uma condição térmica sendo influenciada por convecção, radiação, fluxo de calor aplicado à superfície e geração interna de energia Transferência de Calor e Massa 26

ou ainda, Esta equação é uma EDO não-linear de primeira ordem, não-homogênea, que não pode ser integrada para obtenção de uma solução exata. Transferência de Calor e Massa 27

Entretanto, soluções exatas podem ser obtidas para versões simplificadas dessa EDO (seção 5. 10). Por exemplo, para o problema transiente num sólido envolvendo somente a transferência de calor por radiação térmica, a EDO se reduz a Transferência de Calor e Massa 28

Separando variáveis e integrando da condição inicial até um determinado instante de tempo t, tem-se que resolvendo estas integrais, o tempo necessário para alcançar a temperatura T se torna Transferência de Calor e Massa 29

Esta expressão não pode ser utilizada para determinação de T de forma explícita em função de t, Ti e Tviz , muito menos ser simplificada para o resultado limite quando Tviz = 0 (radiação para o espaço infinito). Transferência de Calor e Massa 30

Entretanto, se antes da realização da integração da EDO simplificada, fosse considerado que Tviz = 0, sua solução fornecerá Transferência de Calor e Massa 31

Uma outra simplificação do problema, ser o caso em que a radiação térmica fosse desprezada e o coeficiente convectivo h fosse independente do tempo. Neste caso, a EDO simplificada que representada a conservação da energia será expressa por Transferência de Calor e Massa 32

Considerando que θ ≡ T – T∞ , esta equação pode ser escrita como uma EDO linear de primeira ordem nãohomogênea sendo que, Transferência de Calor e Massa 33

Embora esta equação possa ser resolvida pela soma das suas soluções homogênea e particular, uma abordagem alternativa é eliminar a nãohomogeneidade pela introdução da transformação com isso, Transferência de Calor e Massa 34

Separando variáveis e integrado do 0 até t (θi' até θ'), segue-e que com isso, ou, Transferência de Calor e Massa 35

Portanto, substituindo-se as definições de θ' e θ, a solução da equação será expressa por Note quando b = 0, esta equação se reduz a mesma forma da solução do problema envolvendo somente transferência de calor por convecção. Transferência de Calor e Massa 36

Outro fato interessante, é que no limite de t → ∞, esta solução transforma-se em (T – T∞) = b/a, resultando no que poderia também ser obtido por um balanço de energia, em condições de regime permanente, na superfície de controle do nosso problema. Transferência de Calor e Massa 37

Efeitos Espaciais Transferência de Calor e Massa 38

Quando o Método da Capacitância Global não puder ser utilizado (Bi ≥ 0, 1) para a solução de problemas de condução em regime transiente, abordagens alternativas devem ser utilizadas considerando a existência de gradientes de temperatura no interior do meio. A solução da EDP apropriada do problema fornece a variação da temperatura com o tempo e com as coordenadas espaciais. Transferência de Calor e Massa 39

Considere o problema de condução 1 D em regime transiente sem geração interna e com propriedades termofísicas constantes numa parede plana. Transferência de Calor e Massa 40

A Equação do Calor deste problema é expressa por A condição inicial é . E as condições de contorno são Transferência de Calor e Massa 41

Destas equações fica evidente que, além de serem funções de x e de t, as temperaturas na parede também dependem de uma série de parâmetros físicos. Neste ponto, é importante ressaltar a vantagem da adimensionalização destas equações. Para tal, considere que Transferência de Calor e Massa 42

Com isso, a Equação do Calor e as condições inicial e de contorno adimensionalizadas são expressas por sendo que, Bi é o número de Biot. Transferência de Calor e Massa 43

Na forma adimensional, a dependência funcional pode ser representada como Antes Ressalta-se que uma dependência funcional semelhante, sem a variação com x*, foi obtida para o Método da Capacitância Global. Transferência de Calor e Massa 44

Soluções analíticas exatas para problemas de condução transiente foram obtidas para muitas geometrias e condições de contorno simples e estão disponíveis na literatura. Tipicamente a solução da distribuição de temperaturas adimensional tem a forma de uma série infinita. Contudo, exceto para valores muito pequenos do número de Fourier, essa série pode ser aproximada por um único termo. Transferência de Calor e Massa 45

§ Ementa Próxima aula § A Parede Plana com Convecção ▫ Solução Exata ▫ Solução Aproximada ▫ Transferência Total de Energia § Sistemas Radiais com Convecção ▫ Soluções Exatas ▫ Soluções Aproximadas ▫ Transferência Total de Energia § O Sólido Semi-Infinito Transferência de Calor e Massa 46

Fonte Bibliográfica § INCROPERA, F. P. , DEWITT, D. P. , BERGMAN, T. L. & LAVINE, A. S. , 2008. Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 643 p. Transferência de Calor e Massa 47