Transferncia de Calor e Massa Prof Dr Lucas

Transferência de Calor e Massa Prof. Dr. Lucas Freitas Berti Engenharia de Materiais - UTFPR lenberti@gmail. com 1

Aula 6 29/05/2013 Superfícies Estendidas e Condução Bidimensional

Presença Cobrança da presença Transferência de Calor e Massa 3

§ Ementa Revisão § A Parede Plana ▫ ▫ Distribuição de Temperaturas Resistência Térmica A Parede Composta Resistência de Contato § Uma Análise Alternativa da Condução § Sistemas Radiais ▫ O Cilindro ▫ A Esfera § Resumo dos Resultados da Condução 1 D Transferência de Calor e Massa 4

A Parede Plana Transferência de Calor e Massa 5

Transferência de calor através de uma placa plana (distribuição de temperaturas). Transferência de Calor e Massa 6

Distribuição de Temperaturas Em regime permanente, sem a presença de fontes ou sumidouros de energia no interior da parede, a forma apropriada da Equação do Calor é: Para condução 1 D em RP numa parede plana sem geração de calor, o fluxo térmico é uma constante, independente de x. Transferência de Calor e Massa 7

se k = cte, a equação pode ser integrada duas vezes, obtendo-se a solução geral, As condições de contorno para este problema são: com isso, tem-se que Transferência de Calor e Massa 8

Substituindo na solução geral, a distribuição de temperaturas é Para a condução 1 D em RP numa parede plana sem geração de calor e condutividade térmica constante, a temperatura varia linearmente com x. Transferência de Calor e Massa 9

Utilizando a distribuição de temperaturas e a Lei de Fourier, tem-se que A taxa de transferência de calor por condução qx e o fluxo térmico q"x são constantes, independentes de x. 10 Transferência de Calor e Massa

§ Procedimento Padrão para solução de problemas de condução. 1) Solução geral para a distribuição de temperaturas é obtida através da resolução da forma apropriada da Equação do Calor. 2) As condições de contorno são utilizadas para obtenção da solução particular 3) Lei de Fourier é utilizada para determinação da taxa de transferência de calor. Transferência de Calor e Massa 11

Resistência Térmica Caso especial da transferência de calor 1 D sem geração interna de energia e com propriedades constantes. Analogia entre as difusões de calor e de carga elétrica. Da mesma forma que uma resistência elétrica está associada à condução de eletricidade, uma resistência térmica está associada à condução de calor. Definição: razão entre um potencial motriz e a correspondente taxa de transferência. Transferência de Calor e Massa 12

§ Resistência térmica para condução § Resistência térmica para convecção Representações na forma de circuitos fornecem uma ferramenta útil tanto para a conceituação quanto para a quantificação de problemas da transferência de calor. Transferência de Calor e Massa 13

§ Circuito térmico equivalente para a parede plana com condições de convecção nas superfícies. qx pode ser determinada pela consideração em separado de cada elemento da rede (qx é constante ao longo da rede) Transferência de Calor e Massa 14

Em termos da diferença de temperatura global e da resistência térmica total, a taxa de transferência de calor pode ser representada por sendo que Transferência de Calor e Massa 15

A troca radiante entre a superfície e a vizinhança pode, também, ser importante se h for pequeno. § Resistência térmica para radiação Nota: as resistências convectiva e radiante em uma superfície atuam em paralelo, e se T∞ = Tviz, elas podem ser combinadas para se obter uma resistência na superfície única e efetiva. Transferência de Calor e Massa 16

Parede Composta Circuito térmicos equivalentes podem ser utilizados em sistemas mais complexos, como, por exemplo, paredes compostas. Tais paredes possuem uma quantidade qualquer de resistências térmicas em série e em paralelo, devido à presença de camadas diferentes de materiais. Transferência de Calor e Massa 17

Circuito térmico equivalente para uma parede composta em série. Transferência de Calor e Massa 18

A taxa de transferência de calor 1 D para esse sistema pode ser representada por sendo que Transferência de Calor e Massa 19

Alternativamente, a taxa de transferência de calor pode ser relacionada à diferença de temperaturas e à resistência térmica associadas a cada elemento. Por exemplo, Transferência de Calor e Massa 20

Em sistemas compostos, é conveniente definir um coeficiente global de transferência de calor, U, por uma expressão análoga à Lei de Resfriamento de Newton. ou ainda, Transferência de Calor e Massa 21

As paredes compostas também podem ser caracterizadas por configurações série-paralelo. Embora nesse sistema o escoamento de calor seja multidimensional, é razoável a hipótese de condições 1 D. Com base nesta hipótese, dois circuitos térmicos diferentes podem ser usados. Transferência de Calor e Massa 22

Circuito térmico equivalente para uma parede composta série-paralela: considerando que as superfícies normais à direção x sejam isotérmicas. Transferência de Calor e Massa 23

Circuito térmico equivalente para uma parede composta série-paralela: considerando que as superfícies paralelas à direção x sejam adiabáticas. Transferência de Calor e Massa 24

Resistência de Contato Transferência de Calor e Massa 25

A existência de uma resistência de contato não-nula se deve principalmente aos efeitos da rugosidade da superfície. A transferência de calor é devida à condução através da área de contato real e à condução e/ou radiação através dos interstícios. Os resultados mais confiáveis para predizer R"t, c são aqueles que foram obtidos experimentalmente. Transferência de Calor e Massa 26

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Em muitas aplicações ocorre a transferência de calor em um meio saturado, i. e. meio poroso, que é uma combinação estacionária de fluido e um sólido. No capítulo 7 é estudado sobre leito fluidizado, onde um sólido estacionário é percolado por um fluido Transferência de Calor e Massa 28

Meio poroso Transferência de Calor e Massa 29

Meio poroso Transferência de Calor e Massa 30

Meio poroso Transferência de Calor e Massa 31

Meio poroso Transferência de Calor e Massa 32

§ Tanto keff, min e keff, max dão boas estimativas para meios onde efeitos de micro- e nanoescala são desprezíveis. Do contrário, a equação de Maxwell para é preferível para melhores valores: § No entanto, ela é aplicável para meios com no máximo 0, 25 de porosidade Transferência de Calor e Massa 33

Uma Análise Alternativa da Condução Transferência de Calor e Massa 34

Para condições de RP, sem geração de calor e sem perda de calor pelas superfícies laterais, a taxa de transferência de calor qx é necessariamente uma constante independente de x, ou seja, para qualquer elemento diferencial dx, qx = qx+dx. Essa condição é, obviamente, uma consequência da exigência da conservação da energia e deve ser válida mesmo que A(x) e k(T). Transferência de Calor e Massa 35

Um procedimento alternativo pode ser utilizado para as condições de interesse no momento. Transferência de Calor e Massa 36

Além disso, mesmo que a distribuição de temperaturas possa ser 2 D, variando em função de x e y, com frequência é razoável desprezar a variação na direção y e supor uma distribuição 1 D na direção x. Com isso, é possível trabalhar exclusivamente com a Lei de Fourier ao efetuar uma análise de condução. Transferência de Calor e Massa 37

Em particular, uma vez que a taxa condutiva é uma constante, a equação da taxa pode ser integrada, mesmo sem o prévio conhecimento de qx e de T(x). Transferência de Calor e Massa 38

Sistemas Radiais Transferência de Calor e Massa 39

Com frequência, em sistemas cilíndricos e esféricos há gradientes de temperatura somente na direção radial, o que possibilita analisá-los como sistemas 1 D. Além disso, em RP sem geração de calor, tais sistemas podem ser analisados pelo método padrão, que começa com a forma apropriada da Equação do Calor, ou pelo método alternativo, que começa com a forma apropriada da Lei de Fourier. Transferência de Calor e Massa 40

O Cilindro oco com condições convectivas nas superfícies. Transferência de Calor e Massa 41

§ Distribuição de temperaturas A distribuição de temperaturas associadas à condução radial através de uma parede cilíndrica é logarítmica, não linear. (Na parede plana sob as mesmas condições ela é linear). Transferência de Calor e Massa 42

§ Taxa de transferência de calor § Resistência térmica (condução radial) Transferência de Calor e Massa 43

Distribuição de temperaturas em uma parede cilíndrica composta. Transferência de Calor e Massa 44

§ Taxa de transferência de calor § Coeficiente global de transferência de calor Transferência de Calor e Massa 45

A Esfera Condução numa casca esférica. Transferência de Calor e Massa 46

§ Distribuição de temperaturas § Taxa de transferência de calor § Resistência térmica (condução casca esférica) Transferência de Calor e Massa 47

Esferas compostas podem ser tratadas da mesma forma que as paredes e os cilindros compostos, onde formas apropriadas da resistência total e do coeficiente global de transferência de calor podem ser determinadas. Transferência de Calor e Massa 48

Raio crítico de isolamento Transferência de Calor e Massa 49

Raio crítico de isolamento Transferência de Calor e Massa 50

Resumo dos Resultados da Condução 1 D Transferência de Calor e Massa 51

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§ Ementa Sumário da aula § Transferência de Calor em Superfícies Estendidas ▫ Uma Análise Geral da Condução ▫ Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme ▫ Desempenho de Aletas § Condução Bidimensional ▫ Abordagens Alternativas ▫ O Método da Separação de Variáveis Transferência de Calor e Massa 53

Superfície estendida é um termo comumente utilizado para descrever um caso especial envolvendo a transferência de calor por condução no interior de um sólido e a transferência de calor por convecção (e/ou radiação) nas fronteiras do sólido. Numa superfície estendida, a direção da transferência de calor nas fronteiras é perpendicular à direção principal da transferência de calor no interior do sólido. Transferência de Calor e Massa 54

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Apesar de existirem muitas situações diferentes que envolvem tais efeitos combinados de condução/convecção, a aplicação mais frequente compreende da utilização de uma superfície estendida para, especificamente, aumentar a taxa de transferência de calor entre um sólido e um fluido adjacente. Tal superfície estendida é chamada de aleta. Transferência de Calor e Massa 56

§ Como aumentar q? Uso de aletas para melhorar a transferência de calor numa parede plana. (a) superfície sem aletas e (b) superfície aletada. Transferência de Calor e Massa 57

§ Exemplos de aplicação Transferência de Calor e Massa 58

§ Configurações de aleta Transferência de Calor e Massa 59

Em qualquer aplicação, a seleção de uma determinada configuração de aletas pode depender de considerações de espaço, de peso, de fabricação e custo, bem como da extensão na qual as aletas reduzem o coeficiente convectivo na superfície e aumentam a queda de pressão associada ao escoamento sobre as aletas. Transferência de Calor e Massa 60

Uma Análise Geral da Condução Como engenheiros, estamos principalmente interessados em conhecer a extensão na qual uma determinada superfície estendida ou um arranjo de aletas poderia melhorar a transferência de calor de uma superfície para o fluido adjacente. Transferência de Calor e Massa 61

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Hipóteses simplificadoras da análise: ▫ ▫ ▫ ▫ Condições 1 D na direção x Temperatura uniforme ao longo da espessura da aleta Regime permanente Propriedades termofísicas constantes Radiação na superfície desprezível Efeitos de geração de calor ausentes Coeficiente convectivo h uniforme ao longo da superfície Transferência de Calor e Massa 63

Aplicando a 1ª Lei da Termodinâmica no elemento diferencial tem-se que sendo que § § § Transferência de Calor e Massa 64

Com isso, Este resultado fornece uma forma geral da equação da energia para uma superfície estendida. Sua solução, com condições de contorno apropriadas, fornece a distribuição de temperaturas, que pode ser utilizada com a Lei de Fourier para calcular a taxa de transferência de calor por condução na direção x. Transferência de Calor e Massa 65

Aletas com Área de Seção Transversal (Ac) Uniforme Transferência de Calor e Massa 66

Com e , tem-se que Define-se uma temperatura de excesso θ como Transferência de Calor e Massa 67

E, consequentemente, tem-se que sendo que § Esta é uma equação diferencial de segunda ordem, linear e homogênea, com coeficientes constantes. Transferência de Calor e Massa 68

Sua solução geral tem a forma Para a determinação das constantes c 1 e c 2 é necessário especificar condições de contorno apropriadas. Transferência de Calor e Massa 69

Condições de Contorno § Base da aleta (x = 0): θ (0) = Tb – T∞ ≡ θb § Extremidade da aleta (x = L): ▫ ▫ Caso A: transferência de calor por convecção Caso B: adiabática Caso C: temperatura especificada Caso D: aleta infinita (m. L ≥ 2, 65) Transferência de Calor e Massa 70

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Aleta de al, SS e Cu § Cu = 8, 3 W § Al = 5, 6 W § SS = 1, 6 W Transferência de Calor e Massa 73

Funções Hiperbólicas (Tabela B. 1) Transferência de Calor e Massa 74

Desempenho de Aletas § Efetividade da Aleta, εa : definida como a razão entre a taxa de transferência de calor da aleta e a taxa de transferência de calor que existiria sem a presença da aleta. sendo que AC, b é a área da seção transversal da aleta na sua base. Transferência de Calor e Massa 75

Em projetos de Engenharia, a utilização de aletas é justificada quando: Para qualquer uma das quatro condições na extremidade (Casos A, B, C e D), a efetividade de uma aleta de Ac uniforme pode ser obtida pela divisão da expressão apropriada de qa (Tab. 3. 4) por h Ac, b θb. Transferência de Calor e Massa 76

Embora a instalação de aletas altere h na superfície, esse efeito é geralmente desprezado. Neste sentido, para a aproximação de aleta infinita (Caso D), tem-se que Note que se εa > 2 for usado como critério de projeto, tem-se que Transferência de Calor e Massa 77

Aletas com AC Não-Uniforme A análise do comportamento térmico de aletas torna-se mais complexa se a aleta possuir uma seção transversal não-uniforme. Nestes casos, as soluções da equação geral da aleta não são mais na forma de funções exponenciais simples ou funções hiperbólicas. Transferência de Calor e Massa 78

Aletas com AC Não-Uniforme Transferência de Calor e Massa 79

Como um caso particular, considere uma aleta anular com espessura uniforme t e com AC = 2πrt. Representando As = 2π(r 2 – r 12), a forma geral da equação da aleta reduz-se a ou ainda, Transferência de Calor e Massa 80

Essa expressão é uma Equação de Bessel Modificada de ordem zero e sua solução geral tem a forma sendo que I 0 e K 0 são funções de Bessel modificadas de ordem zero, de primeira e de segunda espécies, respectivamente. Transferência de Calor e Massa 81

Se a temperatura na base da aleta for especificada e uma extremidade adiabática (Caso B) for suposta, as constantes de integração podem ser determinadas para fornecer uma distribuição de temperaturas com a forma sendo que I 1 e K 1 são funções de Bessel modificadas de primeira ordem, de primeira e de segunda espécies, respectivamente. Transferência de Calor e Massa 82

A taxa de transferência da aleta é com isso, a eficiência da aleta torna-se Transferência de Calor e Massa 83

Tabela B. 5 - Funções de Bessel Modificadas de Primeira e de Segunda Espécies. Transferência de Calor e Massa 84

Abordagens Alternativas Transferência de Calor e Massa 85

Condução bidimensional em regime permanente num sólido prismático longo. As linhas de fluxo de calor (fluxo térmico) são vetores perpendiculares, em qualquer ponto, às linhas de temperatura constante (isotermas). Transferência de Calor e Massa 86

Na análise de condução, há dois objetivos principais: § Determinação da distribuição de temperaturas no meio, o que, para o presente problema (condução 2 D em RP), significa a determinação de T(x, y) § Determinação do fluxo térmico, neste caso, qx" e qy" Transferência de Calor e Massa 87

Estes objetivos são alcançados através da resolução da forma apropriada da Equação do Calor e da aplicação da Lei de Fourier. Para tal, os métodos (abordagens) de solução são: ▫ Analíticos, ▫ Gráficos, ▫ Numéricos. Transferência de Calor e Massa 88

Os métodos analíticos fornecem resultados exatos em qualquer ponto. Os métodos gráficos e numéricos podem fornecer somente resultados aproximados para pontos discretos. Transferência de Calor e Massa 89

O Método da Separação de Variáveis Transferência de Calor e Massa 90

Para ilustrar a natureza e a importância das técnicas analíticas, uma solução exata para a Equação do Calor (condução 2 D em RP) é apresentada utilizando o Método da Separação de Variáveis. Transferência de Calor e Massa 91

Nosso objetivo, é encontrar a distribuição de temperaturas T(x, y). Para simplificar a solução, tem-se que e, com isso, a Equação do Calor torna-se Transferência de Calor e Massa 92

Como esta equação diferencial é de segunda ordem em x e y, duas condições de contorno são necessárias para cada uma das coordenadas. e e Portanto, três das quatro condições de contorno são homogêneas e o valor de θ limitou-se ao intervalo de 0 a 1. Transferência de Calor e Massa 93

Aplica-se, então, a Técnica da Separação de Variáveis, considerando-se uma solução na forma de Com isso, Fica evidente que a equação diferencial é, de fato, separável. Transferência de Calor e Massa 94

Desta forma, a igualdade se aplica em geral somente se ambos os lados forem iguais a uma mesma constante. Identificando esta constante de separação, até então desconhecida, por λ 2, tem-se que E a EDP foi reduzida para duas EDO’s. Transferência de Calor e Massa 95

As soluções gerais para estas EDO’s são: e, neste caso, a forma geral da solução bidimensional é Transferência de Calor e Massa 96

Aplicando-se a condição θ(0, y) = 0, fica evidente que c 1 = 0 Em função da exigência de que θ(x, 0) = 0, tem-se que somente pode ser satisfeita se c 3 = – c 4 Transferência de Calor e Massa 97

Aplicando-se a condição θ(L, y) = 0, obtém-se que A única forma na qual essa condição pode ser satisfeita (e ainda possuir solução não-nula) é exigir que λ assuma valores discretos para os quais sen(λL) = 0. Para tal, esses valores são n = 1, 2, 3. . . Transferência de Calor e Massa 98

A solução desejada pode, então, ser expressa como Combinando-se as constantes e admitindo que a nova constante pode depender de n, tem-se Transferência de Calor e Massa 99

Portanto, existem um número infinito de soluções que satisfazem à equação diferencial e às condições de contorno. Contudo, como o problema é linear, uma solução mais geral pode ser obtida por uma superposição na forma Transferência de Calor e Massa 100

Para determinação de cn utiliza-se a condição de contorno restante, θ(x, W) = 1. n = 1, 2, 3. . . Transferência de Calor e Massa 101

Finalmente, a solução final é expressa na forma Esta expressão é uma série convergente, na qual o valor de θ pode ser determinado para qualquer x e y. Transferência de Calor e Massa 102

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Soluções exatas foram obtidas para muitas outras geometrias e condições de contorno, incluindo sistemas cilíndricos e esféricos. Tais soluções são apresentadas em livros especializados na transferência de calor por condução. ▫ ▫ ▫ Schneider (1955) Carslaw & Jaeger (1959) Özisik (1980) Kakaç & Yener (1985) Poulikakos (1994) Transferência de Calor e Massa 104

Fonte Bibliográfica § INCROPERA, F. P. , DEWITT, D. P. , BERGMAN, T. L. & LAVINE, A. S. , 2008. Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 643 p. Transferência de Calor e Massa 105

3ª Lista de Exercícios Capítulo 4 (Incropera et al, 2008): § 4. 2, 4. 3, 4. 9, 4. 10, 4. 11, 4. 15, 4 S. 1 Transferência de Calor e Massa 106