Mthodes Mcaniques dAnalyse ISTIL Matriaux 2me anne Anne

Méthodes Mécaniques d’Analyse ISTIL Matériaux 2ème année Anne. Tanguy@univ-lyon 1. fr I. Elasticité II. Plasticité et Rhéologie III. Fracturation

BIBLIOGRAPHIE Ouvrages généraux : M. F. Ashby et D. R. H. Jones, Matériaux, Dunod ed. (1998), 2 tomes Y. Quéré, Physique des Matériaux, Ellipse ed. (1990) A. Zaoui, A. Pineau et D. François, Comportement Mécanique des Matériaux, Hermes ed. (1995) R. Lehoucq, D’où viennent les pouvoirs de Superman ? , EDP Sciences ed. (2003) Ouvrages plus spécifiques : S. Etienne et L. David, Introduction à la physique des polymères, Dunod ed. (2002) S. Suresh, Fatigue of Materials, Cambridge University Press (1998) D. Bellet et J. J. Barreau, Cours d’Elasticité (photo-élasticimétrie), Cepadues-Editions (1993) J. Salençon, Mécanique des Milieux continus, Ellipse ed. (1990) L. Landau and E. Lifshitz, Théorie de l’Elasticité, Mir ed. (1990) Ouvrages appliqués : R. Bourgeois et coll. , Memotech Génie des Matériaux, Educalivre ed. Colombié et coll. Matériaux industriels, Dunod ed. G. Forest, Choix d’une méthode de contrôle, AFNOR ed. J. Perdijon, Aide mémoire Contrôle non destructif, Dunod ed. M. Dupeux, Aide mémoire Science des Matériaux, Dunod ed. Cahiers Formation du CETIM sur les contrôles non destructifs , …

Introduction

Vocabulaire des mécaniciens + Interprétation physico-chimique Elasticité Plasticité Rhéologie Rupture

Qu’est-ce qu’un « Matériau » ? Résultat d’une synthèse entre la matière et l’usage qui en est fait. Microstructure Mise en oeuvre Propriétés Performances (A. Zaoui)

Al polycristal (Electron Back Scattering Diffraction) Dendritic growth in Al: Cu polycristal : cold lamination (70%)/ annealing. Ti. O 2 metallic foams, prepared with different aging, and different tensioactif agent: Si 3 N 4 Si. C dense

Qu’est-ce qu’un milieu « continu » ? 1) Deux éléments proches évoluent de façon similaire 2) En particulier: conservation de la proximité « Champ » = quantité physique moyennée sur un volume élémentaire = fonction continue de l’espace 3) En pratique: Hypothèse à valider. A cette échelle, les forces sont de courte portée (forces de surface entre éléments de volume) En général, valable à des échelles >> échelle caractéristique de la microstructure. Exemples: cristaux d >> distance interatomique (~ Å ) polycristaux d >> taille des grains (~nm ~mm) assemblée régulière de grains d >> taille des grains (~ mm) liquides d >> libre parcours moyen matériaux désordonnés d >> 100 distances interatomiques (~10 nm)

Théorie Classique de l’Elasticité: Le comportement mécanique est entièrement décrit par la donnée du champ de déplacement:

Elasticité Linéaire: Loi de Hooke (1635 -1703) 1678: Robert Hooke développe sa “True Theory of Elasticity” Ut tensio, sic vis (ceiii nosstuv) “The power of any spring is in the same proportion with the tension thereof. ” Loi de Hooke: = E (contrainte = E x déformaiton) où E est le MODULE D’YOUNG (RIGIDITE).

Machines de traction:

Réponse Elasto-Plastique: S F u Lz Réponse élastique linéaire: F/S = E. u/Lz F/S vitreloy Déformation Contrainte de compression Module d’élasticité Limite d’élasticité sy Ecoulement Visco-Plastique sflow ( de/dt ) Ecoulement Plastique Elasticité E u/Lz

I. Elasticité A) Concepts en Elasticité Linéaire B) Interprétation Microscopique C) Méthodes de mesure

I. Elasticité A) Concepts en Elasticité Linéaire B) Interprétation Microscopique C) Méthodes de mesure

1) Contraintes locales: Force par unité de surface Agissant le long de la direction x, Sur la face normale à la direction y. Expression des forces: surface vecteur normal Unités: Pa (1 atm = 105 Pa) Ordre de Grandeur: MPa =106 Pa

Exemples de tenseurs de contrainte: F Traction: S Cisaillement: u Pression Hydrostatique: Par définition, pression

2) Déformations:

2) Déformations:

Exemples de tenseurs de déformation linéarisés: Traction: L+u Cisaillement: u L-v Compression isotrope: Unités: %. Ordre de Grandeur: élasticité OK si <0. 1% (métal) <1% (polymère, amorphe)

3) Modules d’élasticité: 21 Modules d’élasticité Cijkl Cas particulier d’un milieu homogène et isotrope : 2 Modules d’élasticité (l, m) F Traction: Cisaillement simple: Compression hydrostatique: u P E, module d’Young m, Module de Cisaillement n, Coefficient de Poisson c, compressibilité. -3 Unités: J. m , ou Pa. Ordre de Grandeur: -1<n ≈ 0. 33<0. 5 et E ≈ Gpa ≈ Y/10 -3

4) Energie Mécanique (déformations internes): Expression de la puissance des efforts intérieurs: Energie Mécanique: Ainsi, par unité de volume

Développement de Landau de l’énergie mécanique: Expression générale de l’énergie mécanique par unité de volume: Pas de dépendance en (invariance par translation) Pas de dépendance en (invariance par rotation) Ainsi Loi de Hooke ut tensio sic vis 21 Modules d’élasticité Cabgd dans le cas 3 D le plus général.

Symétries du tenseur des Modules d’élasticité: Symétries générales: 21 modules d’élasticité dans le cas le + général à 3 D + Symétries spécifiques du cristal: Operateur de symétrie Exemple d’un matériau homogène et isotrope : 2 modules d’élasticité

Ondes acoustiques dans un matériau isotrope : 2 vitesses du son c. L et c. T Onde longitudinale: Le mouvement des atomes est dans le sens de la propagation Ondes transverses: cisaillement simple Onde transverse: Le mouvement des atomes est perpendiculaire au sens de la propagation

Exemple d’un matériau anisotrope (cristal): Ex. cobalt Co: HC FCC T=450°C Le nombre de Modules d’élasticité dépend des Symétries FCC 3 modules C 11 C 12 C 44 HCP 5 modules C 11 C 12 C 13 C 33 C 44 C 66=(C 11 -C 12)/2 3 modules (3 axes équivalents) 6 (5) modules (invariance de rotation autour d’un axe)

Notation de Voigt: 21 Modules d’élasticité indépendants

3 modules (3 axes équivalents) 6 (5) modules (invariance par rotation autour d’un axe)

6 modules

6 modules (2 axes équivalents de symétrie)

9 modules (2 plans orthogonaux de symétrie) 13 modules (1 plan de symétrie) 21 modules

I. Elasticité A) Concepts en Elasticité Linéaire B) Interprétation Microscopique C) Méthodes de mesure

Expression Microscopique des Modules locaux d’élasticité: Example simple d’un cristal cubique. Sur chaque liaison: déformation contraintes Modules d’élasticité

Cas général: Modules d’élasticité locaux Born-Huang C 1 ~ 2 m 1 Verre de Lennrad-Jones 2 D N=216 225 L=483 Exemple d’un matériau amorphe M. Tsamados et al. (2007) C 2 ~ 2 m 2 C 3 ~ 2 (l+m) Convergence progressive vers un matériaux isotrope à grande échelle

Interprétation Microscopique Introduction 1) Types de liaisons interatomiques - Liaison covalente - Liaison ionique - Liaison métallique - Liaison de van der Waals - Liaison Hydrogène - Forces de solvatation 2) Structure de l’empilement -Cristaux -Composites -Amorphes -Polymères

Bornes générales pour les modules d’élasticité macroscopiques d’un solide inhomogène. Exemple de fibres dans une matrice: EL, T Module d’Young effectif Ef Module des fibres Em , Module de la matrice Voigt (1889) E EL ET Reuss (1929) Vf/V

Exemple de matériau hétérogène: N. Teyssier-Doyen et al. (2007) t g i Vo Reuss

I. Elasticité A) Concepts en Elasticité Linéaire B) Interprétation Microscopique C) Méthodes de mesure

Méthodes de Mesure: -Photoélasticimétrie -Essais de traction -Nanomécanique (micro-pilliers, couches minces. . ) -Mesures de déformation: TEM, X-Ray, Corrélations d’images. .

Machines de traction:

Micro-Pilliers

Visualisation des réarrangements plastiques à petite échelle. Expérimentalement Spectrométrie Raman Micro-spectroscopie Raman ~mm 2 B. Champagnon et coll. (2006) Raie D 2: densification variable selon les verres. Bande principale: relation entre pression et angle entre tétraèdres de Si. O 2 (Si-O-SI)

Changement d’environnement sous contraintes X-ray diffraction 90 ke. V Poulsen et al. (2004) Changement d’environnement local. (variations de sur ~10 Å) Plasticité? Axial strain field 11 resolution 50 x 200 mm 2 h=90° h=0°

Hufnagel et coll. (2002) Rizza et coll. (2006) Visualisation directe par MET in situ réarrangements locaux ~ 1 nm

II. Plasticité A) Mesures Macroscopiques B) Interprétation Microscopique C) Méthodes de durcissement II. Bis Rhéologie Linéaire et Non-linéaire

II. Plasticité A) Mesures Macroscopiques B) Interprétation Microscopique C) Méthodes de durcissement

Réponse Elasto-Plastique: S F u Lz Réponse élastique linéaire: F/S = E. u/Lz F/S vitreloy Déformation Contrainte de compression Module d’élasticité Limite d’élasticité sy Ecoulement Visco-Plastique sflow ( de/dt ) Ecoulement Plastique Elasticité E u/Lz

ou Déformation Plastique irréversible

Essai de traction compression simple (uniaxial) sur un métal Plasticité Elasticité

Essai de traction compression simple (uniaxial) sur un métal Domaine d’élasticité actuel L’évolution du domaine d’élasticité est appelé écrouissage Domaine d’élasticité initial

Comportement Parfaitement Plastique Ecrouissage Progressif

Critères de plasticité en fonction des contraintes Sur le tenseur des contraintes, de valeurs propres 1, 2 et 3: Critère de Tresca: (cission maximale) Critère de von Mises: (énergie de distorsion) Critère de Mohr-Coulomb (frottement): Critère de Drucker-Prager (Pression):

La réponse plastique, irréversible, dépend de l’histoire du chargement. Ecrouissage « cinématique » Ecrouissage « isotrope» Translation du domaine élastique Dilatation du domaine élastique dans l’espace des contraintes.

II. Plasticité A) Mesures Macroscopiques B) Interprétation Microscopique C) Méthodes de durcissement

Modèles de Frenkel? F Fq Cission maximale à 45°: max. pour q=45° Sq Modèle de Frenkel (glissement en phase): q S Valeur trop élevée !

Tapis de Mott

Dislocation de type « coin » Vecteur de Burgers b Ligne de dislocation L Largeur de dislocation W Dislocation de type « vis » L Mouvement par glissement: dans le plan (b, L) Mouvement par montée

Estimation de la largeur W d’une dislocation:

Visualisation de dislocations: Photoélasticimétrie: Microsope Electronique à Transmission: MET haute résolution

« forêt » de dislocations (reconstitution numérique)

+ Lors d’un croisement: formation de crans. .

II. Plasticité A) Mesures Macroscopiques B) Interprétation Microscopique C) Méthodes de durcissement

-Résistance mécanique intrinsèque -Durcissement par la « forêt » -Interaction avec des atomes étrangers -Interaction avec des joints de grains -Durcissement par irradiation -Durcissement par amorphisation. .

Méthodes de mesure: - traction-compression-torsion - Mesures de dureté: Dureté Brinell Dureté Vickers

II. Plasticité A) Mesures Macroscopiques B) Interprétation Microscopique C) Méthodes de durcissement II. Bis Rhéologie Linéaire et Non-linéaire

Réponse Elasto-Plastique: S F u Lz Réponse élastique linéaire: F/S = E. u/Lz F/S vitreloy Déformation Contrainte de compression Module d’élasticité Limite d’élasticité sy Ecoulement Visco-Plastique sflow ( de/dt ) Ecoulement Plastique Elasticité E u/Lz

Pâtes Colloides Poudres Verres Métalliques Verres Minéraux (Si. O 2, a-Si) Polymères (PMMA, PC)

Au-delà du comportement élastique: - Comportement plastique - Comportement visco-élastique - Réponse rhéologique non-linéaire Plasticité Viscosité

Réponse rhéologique linéaire:

Differents comportements: Fluide Visqueux Newtonien: Ex. Eau, miel. . Solide de Kelvin-Voigt: Fluide de Maxwell: Elasticité Retardée (comportement anelastique) Ex. Solide près de Tf Elasticité Instantanée + Ecoulement Visqueux Comportement visco-élastique général:

(1635 -1703) 1678: Robert Hooke développe sa “True Theory of Elasticity” Ut tensio, sic vis (ceiii nosstuv) “The power of any spring is in the same proportion with the tension thereof. ” Loi de Hooke: = E (contrainte = E x déformaiton) où E est le MODULE D’YOUNG (RIGIDITE). (1643 -1727) 1687: Isaac Newton parle des liquides et des écoulements sous cisaillement dans ses “Principia”: “The resistance which arises from the lack of slipperiness of the parts of the liquid, other things being equal, is proportional to the velocity with which the parts of the liquid are separated from one another. ” Loi de Newton: τ = η dγ/dt où η est le coefficient de viscosité Newtonien.

Rhéomètres Dynamiques: Forceage oscillant: Réponse: G’, Module Elastique -réponse instantanée. Exemple d’un solide Elastique Exemple d’un fluide Visqueux Newtonien Exemple d’un fluide de Maxwell: G’’, Module de perte (visqueux) -retard-

Appareils de Mesure: Huiles Pâtes Acier

Bilan Energétique: Energie élastique stockée pendant T/4 puis rendue (par unité de volume et de temps). Energie Moyenne Dissipée, par unité de temps pendant T/4, à cause du frottement visqueux >0 Facteur de Perte (Frottement Interne)

Facteur de Perte d > 100 Matériau Polymer or Elastomer (example : Butyl rubber) 10 -1 Natural rubber, PVC with plasticizer, Dry Sand, Asphalte, Cork, Composite material with sandwich structure (example 3 layers metal / polymer / metal) 10 -2 Plexiglas, Wood, Concrete, Felt, Plaster, Brick 10 -3 Steel, Iron, Lead, Copper, Mineral Glass 10 -4 Aluminium, magnésium

Module Elastique

Polymère (PET) Verre Minéral Zr. F 4 Cristallisation: G’ augmente, la mobilité décroit

Exemple de Globules Rouges: (t)/t 0 G’ G’’

Fluage (creep) Macroscopique dans les Métaux: Fluage Métaux Céramiques Polymères T > 0, 3 -0, 4 Tm 0, 4 -0, 5 Tm Tg Canalisation Romaine en Plomb ~ 1 h Dislocation creep: b=0 m=4 -6 Non-Lineaire 0. 3 Tm<T<0. 7 Tm Nabarro-Herring creep: b=2 m=1 « Newtonien » . diffusion de défauts T>0. 7 Tm Températures de Fusion, pour P=1 atm, Glace: Tm=273°K, Plomb: Tm=600°K, Tungstène: Tm=3000°K

Limite Théorique

Rhéologie non-linéaire:

Du Liquide au Solide Amorphe: F. Varnik (2006) 3 D Lenard-Jones Glass

Comportements Rhéologiques Non-Linéaires: Shear softening Ex. peinture, shampoing Shear thickening Ex. sable mouillé, huile polymère, silly-putty Fluide à seuil (plastique) Ex. solides amorphes, pâtes

Exemple: Systèmes amorphes (verres, colloïdes. . ) Ex. Billes de gel polyélectrique avec b<1 Ex. Verre de Lennard-Jones Tsamados, 2010 shear softening Ex. Ketchup

Origine Microscopique du comportement non-linéaire?

II. Fracturation A) Faciès de fracture B) Critères de fracturation

Faciès de fracture: Fracture Ductile Fracture Fragile

Fracture Ductile et Fracture Fragile

Rupture Mixte ductile/fragile Rupture mixte dans un acier austéno-ferritique rupture ductile de l’austénite (CFC) rupture fragile de la ferrite (CC)

Champ de contraintes au voisinage d’une fracture:

Critère naïf de fracturation fragile: e a L Valeur trop élevée ! Critère de Irwin-Griffith: préfissuration, longue portée des interactions. Ténacité Facteur d’intensité de contraintes

Approche Statistique des critères de fracturation: Loi de Weibull (1951): Plus m (module de Weibull) est faible, plus la dispersion est grande Ex: Acier m=100, Craie m=5 Céramiques techniques m=10

Rupture en Fatigue: Sollicitation cyclique: stries de fatigue

Lois de fatigue de matériaux sans préfissuration: Rupture contrôlée par l’initiation des fissures. Fatigue à grand nombre de cycles N>104, maxet | min|< Y exemple: pièces en vibration Loi de Basquin: Fatigue oligocyclique, max> Y exemple: pièces soumises à des surchages occasionnelles Loi de Coffin:

CC CFC

Lois de fatigue de matériaux Avec préfissuration: Propagation des fissures Loi de Paris On calcule tout d'abord la dimension du défaut critique pour K=Kc : Puis, à partir de la loi de Paris : on détermine le nombre de cycle à rupture par intégration de cette loi :