Metody optymalizacji Energetyka 20162017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Metody optymalizacji Energetyka - studia stacjonarne I stopnia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 1 b - 2015/2016 Podstawy matematyczne metod optymalizacji © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Czym jest optymalizacja? Optymalizacja jest procesem (i) formułowania i (ii) rozwiązywania problemu optymalizacyjnego o następującej ogólnej postaci spełniając ograniczenia gdzie , oraz są funkcjami skalarnymi wektora © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2 2

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Przykłady formułowania problemów optymalizacyjnych Przykład 1: 1. Opis werbalny problemu Należy zaprojektować puszkę, która może pomieścić co najmniej 400 ml (1 ml=1 cm 3) cieczy, spełniając przy tym inne wymagania projektowe. Puszka ma być produkowana w bardzo dużych ilościach, zatem pożądana jest minimalizacja kosztów jej wytworzenia. Ponieważ koszt wytworzenia może być odniesiony bezpośrednio do powierzchni zużytego materiału, rozsądnym jest minimalizować ilość materiału potrzebnego do produkcji puszki. Produkcja, użytkowanie, estetyka i względy transportowe nakładają następujące wymagania na rozmiary puszki: średnica nie powinna być większa niż 8 cm i mniejsza niż 3, 5 cm, a wysokość powinna być nie większa niż 18 cm i nie mniejsza niż 8 cm. 2. Zebranie danych i informacji Zawarte są w opisie problemu 3. Zdefiniowanie zmiennych decyzyjnych Definiujemy dwie zmienne decyzyjne: © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3 3

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji 4. Określenie kryterium, które ma być optymalizowane Projekt puszki ma być taki, aby minimalizował jej powierzchnię boczną S składającą się z powierzchni ścianki bocznej i dwóch denek 5. Określenie ograniczeń Pierwsze ograniczenie – puszka musi pomieścić co najmniej 400 cm 3 cieczy Druga grupa ograniczeń – wymiary puszki muszą mieścić się w okrteślonych przedziałach Charakterystyka zadania: - zadanie optymalizacji nieliniowej - z ograniczeniami - zmienne decyzyjne rzeczywistoliczbowe © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4 4

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Przykład 2: 1. Opis werbalny problemu Celem projektu jest określenie grubości izolacji zbiornika kulistego t minimalizującej koszty chłodzenia tego zbiornika w okresie jego cyklu życia. Koszty chłodzenia obejmują koszty instalacji i eksploatacji wyposażenia chłodniczego oraz koszty instalacji izolacji. Założony został 10 letni cykl życia, 10% oprocentowanie w stosunku rocznym i zerową wartość instalacji na końcu użytkowania. Zbiornik jest już zaprojektowany i jego średnica wynosi r [m]. 2. Zebranie danych i informacji Aby obliczyć objętość materiału izolacyjnego należy znać powierzchnię kulistego zbiornika Aby obliczyć wydajność wyposażenia chłodniczego i koszt jego eksploatacji należy znać roczny ubytek ciepła ze zbiornika - średnia różnica pomiędzy temperaturami wewnętrzną i zewnętrzną - oporność cieplna na jednostkę grubości - grubość izolacji © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5 5

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Niech ponadto: - koszt jednostkowy izolacji (j. p. – jednostka pieniężna) na jednostkę objętości - koszt jednostkowy wyposażenia chłodniczego na jednostkę energii - roczny koszt jednostkowy eksploatacji wyposażenia chłodniczego na jednostkę energii 3. Zdefiniowanie zmiennych decyzyjnych - grubość izolacji © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6 6

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji 4. Określenie kryterium, które ma być optymalizowane Celem jest minimalizacja kosztów chłodzenia zbiornika kulistego w okresie 10 lat. Koszt ten w okresie cyklu życia ma trzy składowe: - koszt instalacji izolacji (zakup i montaż) - koszt instalacji wyposażenia chłodniczego - koszt eksploatacji w okresie 10 lat Koszt eksploatacji należy sprowadzić do kosztów bieżących korzystając ze współczynnika bieżącej wartości (USPWF – Uniform Series Present Worth Factor) - stopa procentowa - liczba rocznych wpłat © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7 7

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Można założyć, że grubość izolacji jest znacznie mniejsza od promienia zbiornika Optymalizowany koszt wyrazi się wówczas 5. Określenie ograniczeń Przyjąć należy, że grubość izolacji nie może być mniejsza od pewnej granicznej wartości izolacji dostępnej na rynku Policzymy przed podaniem ostatecznego sformułowania zadania © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8 8

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Ostateczne sformułowanie zadania: Dane: Znaleźć: Minimalizując: gdzie: Spełniając ograniczenie: Charakterystyka zadania: - zadanie optymalizacji nieliniowej - z ograniczeniami - zmienna decyzyjna rzeczywistoliczbowa © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9 9

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Przykład 3: 1. Opis werbalny problemu Firma posiada dwa tartaki i dwa lasy. Tablica poniżej podaje zdolności przerobowe [kłody/dzień] i odległości pomiędzy lasami i tartakami [km]. Z każdego lasu można pozyskać do 200 kłód/dzień w rozważanym okresie czasu a koszt transportu kłód został oszacowany na 0. 15 [j. p. /(km·kłoda)]. Istnieje zapotrzebowanie na cięcie co najmniej 300 kłód dziennie. Firma chciałaby minimalizować koszty transportu kłód każdego dnia. Tablica 1. Odległość, km Tartak Las 1 Las 2 Zdolność przerobowa/dzień kłód © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10 10

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Las 2 Las 1 x 1 A x 2 B x 2 A x 1 B Tartak A Tartak B 2. Zebranie danych i informacji Zawarte są w opisie problemu i Tablicy 3. Zdefiniowanie zmiennych decyzyjnych Celem projektu jest określenie ile kłód należy przewieźć z Lasu i do Tartaku j, zatem - liczba kłód przewożonych z Lasu 1 do Tartaku A - liczba kłód przewożonych z Lasu 1 do Tartaku B - liczba kłód przewożonych z Lasu 2 do Tartaku A - liczba kłód przewożonych z Lasu 2 do Tartaku B © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11 11

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji 4. Określenie kryterium, które ma być optymalizowane Optymalizowany koszt transportu wyraża się 5. Określenie ograniczeń Pierwsza grupa ograniczeń związana jest z ze zdolnościami przerobowymi tartaków Druga grupa ograniczeń związana jest z możliwościami pozyskiwania drewna z lasów © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12 12

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Trzecia grupa ograniczeń związana jest z zapotrzebowaniem na pocięte kłody Czwarta grupa ograniczeń to warunki nieujemności Charakterystyka zadania: - zadanie optymalizacji liniowej - z ograniczeniami - zmienne decyzyjna całkowitoliczbowa © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13 13

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Inne przykłady podczas ćwiczeń laboratoryjnych © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14 14

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji II etap procesu optymalizacji: (ii) rozwiązywanie problemu optymalizacyjnego o następującej ogólnej postaci spełniając ograniczenia gdzie , oraz są funkcjami skalarnymi wektora Krócej będziemy dla potrzeb wykładu pisali gdzie jest obszarem dopuszczalnym © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15 15

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Twierdzenie 1: Zadanie optymalizacyjne z funkcją celu jest równoważne zadaniu optymalizacyjnemu z funkcją celu Jest przy tym spełniona zależność: © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16 16

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Przykład 1: spełniając z’ z x x x © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania x 17 17

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Twierdzenie 2: Jeżeli w zadaniu optymalizacyjnym zastąpimy funkcję celu postaci funkcją celu postaci to rozwiązanie optymalne, o ile ono istnieje, dla obu zadań będzie identyczne © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18 18

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Minimum globalne silne: Punkt jest unikatowym minimum globalnym silnym funkcjonału jeżeli zachodzi , dla wszystkich Minimum globalne słabe: Punkt jest minimum globalnym słabym funkcjonału jeżeli zachodzi , dla wszystkich © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19 19

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Przykład 2: Minimum globalne silne © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20 20

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Przykład 3: Minimum globalne słabe wzdłuż prostej x 1 = 0 © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21 21

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Minimum lokalne silne: Punkt jest minimum lokalnym silnym funkcjonału , taki, że zachodzi jeżeli istnieje skalar dla wszystkich , takich, że Minimum lokalne słabe: , jeżeli jest minimum lokalnym słabym funkcjonału Punkt , taki, że zachodzi nie jest minimum silnym , a istnieje skalar dla wszystkich takich, że © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22 22

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Przykład 4: Minima lokalne silne Maksimum lokalne silne Minimum globalne silne © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23 23

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Przykład 5: Minima lokalne silne Minimum globalne silne Minimum lokalne silne Punkt siodłowy Minimum globalne Punkt siodłowy © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24 24

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Przykład 6: Minima lokalne silne Minimum globalne © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25 25

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Kiedy minimum lokalne na pewno jest minimum globalnym? z z x x © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania x 26 26

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Zbiory wypukłe Zbiór S jest zbiorem wypukłym, jeżeli odcinek łączący jego dowolne dwa punkty zawiera się całkowicie w zbiorze S Matematycznie, S jest zbiorem wypukłym, jeżeli dla dowolnych dwóch punktów/wektorów punkt/wektor dla © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27 27

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Funkcja wypukła Funkcja jest ściśle wypukła na zbiorze S jeżeli dla dowolnych dwóch punktów © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28 28

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Funkcja wklęsła Funkcja jest ściśle wklęsła na zbiorze S, jeżeli jest ściśle wypukła © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29 29

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Jeżeli , to znaczy posiada ciągłe pierwsze pochodne cząstkowe to gradient jest definiowany Pierwsza pochodna (nachylenie) funkcjonału wzdłuż osi : - i-ty element gradientu Pierwsza pochodna (nachylenie) funkcjonału wzdłuż wektora © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania : 30 30

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Przykład 7: © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31 31

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Ilustracja graficzna: Pochodne kierunkowe: 1. 4 1. 3 1. 0 0. 5 0. 0 © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32 32

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Przykład 8: © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33 33

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Ilustracja graficzna: Pochodne kierunkowe: 2. 4 © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34 34

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji gradient funkcjonału (jakobian) Warto pamiętać, że: Kierunek gradientu w punkcie x pokrywa się z kierunkiem normalnej do powierzchni stałej wartości funkcjonału przechodzącej przez punkt x. Zwrot gradientu w punkcie x odpowiada zwrotowi najszybszego wzrostu wartości funkcjonału w otoczeniu punktu x. © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35 35

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Hesian funkcjonału hessian funkcjonału Druga pochodna (krzywizna) funkcjonału wzdłuż osi : - (i, i)-ty element hessianu © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36 36

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Krzywizna określa jak szybko zmienia się gradient w wybranym (wskazanym) punkcie Druga pochodna (krzywizna) funkcjonału wzdłuż wektora © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania : 37 37

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Optymalność Warunki konieczne minimum Rozwinięcie w szereg Taylor’a w otoczeniu , takiego, że © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38 38

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Optymalność Warunki konieczne minimum (silnego lub słabego) Warunek konieczny pierwszego rzędu: Jeżeli x* jest punktem lokalnego minimum i F jest różniczkowalne w sposób ciągły w otwartym otoczeniu x*, wówczas Warunek punktu stacjonarnego – zerowanie się gradientu © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39 39

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Optymalność Warunek konieczny drugiego rzędu: Jeżeli x* jest punktem lokalnego minimum i 2 F jest ciągłe w pewnym otwartym otoczeniu x*, wówczas dla dowolnych Warunek dodatniej półokreśloności hessianu dla punktu stacjonarnego © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40 40

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Optymalność Dodatnia określoność macierzy hessianu jest warunkiem wystarczającym drugiego rzędu istnienia minimum silnego w wystarczającym może istnieć Nie jest to warunek konieczny. Minimum silne w mimo, że składnik drugiego rzędu w szeregu Taylor’a wynosi zero, ale składnik trzeciego rzędu jest dodatni © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41 41

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Przykład 9: Warunek punktu stacjonarnego Punkt stacjonarny - jedyny Sprawdzenie warunków rzędu drugiego © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42 42

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Punkt x*=0 spełnia warunki konieczne pierwszego i drugiego rzędu dla minimum © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43 43

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Warunki określoności macierzy hessianu można badać przez sprawdzenie wartości własnych tej macierzy Macierz hessianu jest dodatnio określona, jeżeli wszystkie jej wartości własne są dodatnie Macierz hessianu jest dodatnio półokreślona, jeżeli wszystkie jej wartości własne są nieujemne © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44 44

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Przykład 10: Warunek punkt stacjonarnego Punkt stacjonarny - jedyny Sprawdzenie warunków rzędu drugiego © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45 45

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Pozyskanie informacji o określoności macierzy hessianu Nie można stwierdzić czy macierz hessianu jest dodatnio określona lub dodatnio półokreślona © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46 46

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Wartości własne hessianu © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47 47

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Minimum silne (globalne) w © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48 48

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Warunki wystarczające minimum Warunek drugiego rzędu: Jeżeli dla pewnego x*, 2 F jest ciągłe w pewnym otwartym jego otoczeniu i F(x*) = 0 i 2 F(x*) jest dodatnio określona, wówczas x* jest silnym minimum lokalnym Warunek globalnego minimum Jeżeli F jest funkcją wypukłą, wówczas każde minimum lokalne jest minimum globalnym © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 49 49

Metody optymalizacji - Energetyka 2016/2017 Podstawy matematyczne metod optymalizacji Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu © dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, prof. nadzw. PG Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 50 50