Zebranie poczonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod

Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Dwa rodzaje problemów: v Zagadnienie modelowania ( lub zagadnienie proste) v Zagadnienie odwrotne (inwersja) v. Zagadnienie jakościowego modelowania: zrozumienie zachodzącego procesu, umożliwiające przewidywanie zachowania się (jakościowego) systemu. v. Zagadnienie odwrotne (ilościowe): ilościowy opis obiektu, tzn, ilościowy opis obiektu pozwalający na realistyczne (ilościowe) wyznaczenie jego zachowania. Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

System fizyczny: Parametry układu: Przewidywane mierzalne wielkości: Parametry ustalone (znane a priori): Modelowanie: d = f(m, must) Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Zagadnienie odwrotne Łączenie informacji (wnioskowanie) Obserwacja Teoria Wiedza a posteriori Wiedza a priori Zagadnienie odwrotne dobs Pomiar pośredni (estymacja parametrów) mest Modelowanie: d = f(m, must) Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Zagadnienie odwrotne Podejście optymalizacyjne Przeszukiwanie przestrzeni modeli w celu znalezienia modelu „najlepiej z określonego punktu widzenia” odtwarzającego dane pomiarowe. Szukanie modelu „najlepszego”: v Metody deterministyczne v Metody niedeterministyczne § metody bezgradientowe § metody Monte Carlo § metody gradientowe § Algorytmy genetyczne i ewolucyjne (konieczna analiza wrażliwości) § Symulowane wyżarzanie § inne Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Sensitivity of eigenvalues and eigenvectors Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

When the damage identification is based on the modal data (that is free frequency spectrum and vibration modes), their variation can be used in the identification procedure. The sensitivity derivatives provide the variation of eigenvalues and eigenvectors with respect to structural parameters. Assume that the eigenvalues are distinct and the structure parameter vector is denoted by s. The components of s can described both the properties of structural damage as well as some additional properties of structure. Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

• The state of a discretized model of linear elastic structure is described by the equation specifying the eigenvalue problem: k=1, 2, …n K and M are the n x n stiffness and mass matrices, is the eigenvalue corresponding to the square of free frequency is the n-dimensional eigenvector specifying the amplitude of k-th mode • For r available eigenvectors and eigenvalues: The n x r modal matrix: k = 1, 2, …r The r x r spectral matrix: • The eigenvectors are all K-orthogonal: and M–normalized: i, j = 1, 2, …n Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Sensitivity analysis: Differentiating with respect to component s of vector s equation specifying the eigenvalue problem and condition of M-normality, the following set of equations can be obtained: can be one of selected eigenvalues and eigenvectors. Premultiplying the first equation by can be obtained: , the first sensitivity derivative of the eigenvalue Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

The sensitivity equations can be then written in the form: (*) and (**) The solution of (*) and (**) yields the desired sensitivties of and . !!! However, as is a singular matrix, the direct solution of (**) is difficult to obtain and some other methods should be used !!! Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

I. The modal representation of eigenvector derivative where ckj are the coefficients to be specified. Substituting this approximation into and premultiplying it by one can obtain: To specify the eigenvector derivative, we have to know a set of eigenvectors which constitute a reduced basis of proposed approximation. Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

II. The static correction method Only stiffness matrix K is using in solving sensitivity equation: Thus: from which one obtains: Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

III. The combined approximation of modal representation and static correction method (cf. Sutter et al. , 1998) where the coefficients dkj are obtained by substituting the above approximation into sensitivity equation: and premultiplying it by . Thus, it follows that: Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

IV. The Nelson method (cf. Nelson, 1976), we have. The normalization condition is replaced by the condition that the largest component of eigenvector is equal to one and other components are properly scaled. Denoting such components by , and assuming that . , one has In the equation specifying the sensitivities one may then delete the m-th row and m-th column so the reduced matrix is not singular and the sensitivity equation can be solved by standard methods. Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

V. The iterative approach to derive the eigenvector variation This approach can be constructed in terms of recursive solutions of consecutive problems using the same stiffness matrix. One can assume that the mass matrix does not vary (which is a typical case in damage identification) and only stiffness matrix varies with structural parameters. Thus, one can write: and For small variation of eigenvalues and eigenvectors, one can assume: and where Thus: and the recursive formula of static eigenvector correction is obtained in the form: or Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

A more accurate recursive formula can be obtained as follows: Thus, one can obtain the recursive formula: with The eigenvalue correction can be expressed in terms of initial eigenvectors, namely: and, similarly as previously, one can have: Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Free vibration problem: In order to increase the changes in eigenvalues with respect to damage some additional support or attached concentrated masses can be introduced. Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Example: Real damaged beam or plate and their mathematical models described mostly numerically using FEM Control parameters within the beam or plate domain : • Additional support (rigid or elastic); • Additional mass (rigidly or elastically attached to the structure); • Additional load. introduced into structure in order to increase the sensitivity of vibration frequencies and modes with respect to localized damage. Damage can be modeled as the change of stiffness of some finite elements of structure model accompanied with no change of its mass. Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Sensitivity of damage indices in beam for translating support or mass with respect to damage location Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Global Indices for lightly damaged beam vs. moving support (damage in element No. 10) Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Global Indices for severely damaged beam vs. moving support (damage in elements No. 10 and 20) Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Global Indices for lightly damaged beam (damage in element No. 10) Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Global Indices for damaged beam vs. moving mass (damage in elements No. 10 and 20) Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Sensitivity of damage indices in a rectangular plate • Consider a rectangular plate with two edges built-in and two edges free. • Two concentrated masses, first one mowing along x-line and second one mowing along y-line, are attached to the plate. • The plate is divided into 8 x 4 elements, one element undergoes damage. The variations of three first damage indices with respect to location of masses is considered. Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Variation of DI 1 versus masses locations Variation of DI 2 versus masses locations Variation of DI 3 versus masses locations Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Damage identification based on distance norm dependent on varying structural parameter Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Formulation of identification problem: subject to where: di - identification parameters pk - structural parameters More general formulation : Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Error +/- 0. 5% Error +/- 1. 0% Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Error +/- 0. 5% Error +/- 1. 0% Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

No error Error 0. 5% Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Identification problem: subjected to: Sensitivity analysis needs the introducing the adjoint structures described by: Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Identification problem (similarly to the static case): subjected to: Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Identification problem: subjected to: Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Following the adjoint sensitivity analysis, the adjoint structures described by: are introduced and then the optimal mass distribution is defined by the condition: where µ is the proper Lagrange multipler. Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Control parameters: Location of distributed heat sources or applied temperatures. Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Simple illustrative example One-dimensional structure subjected to internal heat source varying linearly. f 0 λ 1 λ 2 λ 1 T 0 =0 k f 0 T, x =0 s 1 Δs s x Real structure: S 1 – fixed k, f 0 - varying Model: S 1 – varying k , f 0 - varying Distance norm: Identification problem: Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Particular data: Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

History of identification (bisection method for d. I/ds 1 = 0 , d. I/dk = 0 ) k_max = 13. 731836 k_max = 13. 940742 k_max = 13. 865089 k_max = 13. 908579 k_max = 13. 888414 k_max = 13. 898869 k_max = 13. 893738 k_max = 13. 896326 k_max = 13. 895039 k_max = 13. 895683 k_max = 13. 895361 k_max = 13. 895523 k_max = 13. 895443 k_max =13. 895483 for s 1 = for s 1 = for s 1 = for s 1 = 0. 250000, 0. 400000, 0. 325000, 0. 362500, 0. 343750, 0. 353125, 0. 348437, 0. 350781, 0. 349609, 0. 350195, 0. 349902, 0. 350049, 0. 349976, 0. 350012, I= I= I= I= 0. 1591 E+01 0. 1098 E+01 0. 4694 E+00 0. 2541 E+00 0. 1221 E+00, 0. 6229 E-01 0. 3084 E-01 0. 1550 E-01 0. 7729 E-02 0. 3870 E-02 0. 1934 E-02 0. 9674 E-03 0. 4833 E-03 0. 2420 E-03 (s 1_min. ) Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków

Thanks for your attention !!! Zebranie połączonych Sekcji Optymalizacji i Sterowania oraz Metod Komputerowych Mechaniki KM-PAN 17 grudnia 2009 r. , AGH, Kraków