Mechanika Kwantowa II Matematyczne podstawy MK WYKAD 7

Mechanika Kwantowa II. Matematyczne podstawy MK WYKŁAD 7 Równanie Schrödingera

Plan wykładu • • równanie Schrödingera zależne od czasu – ogólna metoda rozwiązania, równanie Schrödingera niezależne od czasu, cząstka swobodna, ewolucja paczki gaussowskiej.

Równanie Schrödingera zależne od czasu Stany opisane przez funkcję zależną od czasu zmieniają się zgodnie z równaniem w którym H jest operatorem całkowitej energii układu (hamiltonianem).

Równanie Schrödingera zależne od czasu Równanie Schrödingera z dowolnym hamiltonianem zachowuje normę funkcji falowej Dowolna funkcja falowa (stan układu fizycznego) raz unormowana do jedności pozostaje unormowana w dowolnej innej chwili czasu.

Równanie Schrödingera zależne od czasu W przypadku gdy operator Hamiltona nie zależy jawnie od czasu (układ fizyczny nazywamy wtedy zachowawczym lub konserwatywnym) poszukujemy rozwiązania równania Schrödingera w postaci separowalnej: Po przekształceniach otrzymujemy: Jest to rozwiązanie szczególne.

Równanie Schrödingera niezależne od czasu Funkcja spełnia tzw. stacjonarne równanie Schrödingera: gdzie H jest hamiltonianem, E jest energią układu. Dla pojedynczej cząstki mamy:

Równanie Schrödingera zależne od czasu Rozwiązanie ogólne równania Schrödingera: gdzie jest jednym z rozwiązań zagadnienia własnego stacjonarnego równania Schrödingera:

Cząstka swobodna Rozważając przypadek cząstki swobodnej mamy: Równanie Schrödingera ma postać: Po separacji równania ogólnego otrzymamy: gdzie E jest energią cząstki.

Cząstka swobodna Rozwiązanie stacjonarnego równania Schrödingera gdzie

Cząstka swobodna Rozwiązanie ogólne równania Schrödingera dla cząstki swobodnej gdzie

Cząstka swobodna Wprowadzając oznaczenia: otrzymamy (dla jednego wymiaru): Gęstość prawdopodobieństwa wynosi: Gęstość prądu prawdopodobieństwa:

Cząstka swobodna • Wyrażenie na gęstość prawdopodobieństwa zawiera człon interferencyjny (dla A = B mamy falę stojącą):

Ewolucja paczki gaussowskiej Rozważamy ruch cząstki o masie m wzdłuż osi x: gdzie k jest rzeczywistym parametrem ciągłym. Pełna funkcja falowa ma postać paczki fal:

Ewolucja paczki gaussowskiej Dla warunku początkowego w postaci: Korzystając z faktu, że: otrzymamy:

Ewolucja paczki gaussowskiej Tak więc pełna funkcja falowa przyjmie postać: skąd:

Ewolucja paczki gaussowskiej Wykres funkcji dla różnych wartości t (t=0, 2. 5, 5, 10). Stałe równe jedności.

Ewolucja paczki gaussowskiej Czas podwojenia szerokości paczki: • w przypadku ciała makroskopowego (m = 10 -9 g, a = 0. 001 cm): • w przypadku elektronu zlokalizowanego na obszarze a = 10 -8 cm:

Ewolucja paczki gaussowskiej • Prędkość fazowa paczki falowej: • Prędkość grupowa paczki falowej: kolor czerwony – prędkość fazowa, kolor zielony – prędkość grupowa