Mechanika Kwantowa IV Atom wodoru WYKAD 13 Atom

Mechanika Kwantowa IV. Atom wodoru WYKŁAD 13 Atom wodoropodobny

Plan wykładu • • stabilność atomu, rozwiązanie równania radialnego, liczby kwantowe dla atomu wodoropodobnego, radialne funkcje falowe.

Podstawowe informacje Podstawowe dane dla atomu wodoru • masa protonu: • masa elektronu: • masa zredukowana elektronu: • energia jonizacji atomu wodoru:

Podstawowe informacje Podstawowe dane dla atomu wodoru • promień protonu: • promień najniższej „orbity” elektronowej:

Podstawowe informacje Gdyby proton miał promień r=1 m to promień orbity elektronu wynosiłby ok. 32 km. Na rysunku: proton umieszczony w centrum Rzeszowa; okrąg – „orbita” elektronu.

Podstawowe informacje Od teraz zajmiemy się atomem wodoropodobnym, tzn. atomem o ładunku jądra Ze wokół którego „krąży” jeden elektron. Dla atomu wodoru mamy Z=1. Energia potencjalna elektronu w polu jądra atomowego dana jest równaniem: gdzie:

Stabilność atomu Obliczenia szacunkowe Średni pęd i średnia odległość elektronu od jądra muszą spełniać relację: czyli:

Stabilność atomu Energia całkowita: Minimum prawej strony nierówności wynosi: skąd otrzymamy: Minimalizacja zachodzi dla:

Stabilność atomu Wyniki: Dane tablicowe: energia jonizacji: promień Bohra:

Równanie radialne Przypomnienie wiadomości (Wykład 12) • Funkcje falowe mają postać: • Funkcja radialna spełnia równanie: • W otoczeniu zera:

Równanie radialne Przypomnienie wiadomości (Wykład 12) • Rozważaliśmy potencjał w postaci: gdzie • Rozważany obecnie potencjał ma postać: więc wszystkie wyniki uzyskane w poprzednim wykładzie mogą zostać użyte.

Równanie radialne Dokonując podstawienia: gdzie: promień Bohra otrzymamy:

Równanie radialne Od teraz rozważamy przypadek Eal < 0 Wprowadzając podstawienie: gdzie: otrzymamy:

Równanie radialne Uwzględniając zachowanie asymptotyczne dla funkcji u otrzymamy: gdzie f jest funkcją spełniającą równanie: przy warunku:

Równanie radialne Szukamy funkcji f w postaci szeregu: otrzymując związek rekurencyjny dla Cq: oraz warunek wiążący wskaźniki s oraz l: otrzymując ostatecznie:

Liczby kwantowe Uwzględniając warunek „fizyczności” zagadnienia (tzn. odrzucamy rozwiązania dające szeregi nieskończone) otrzymujemy warunek kwantowania energii ( ) skąd otrzymamy:

Liczby kwantowe Ponieważ dla atomu wodoropodobnego energia zależy od sumy liczb k i l, więc możemy napisać: ponieważ Aby spełnić warunek k>0 musi zachodzić związek:

Liczby kwantowe – podsumowanie Na podstawie ogólnych rozważań na temat atomu wodoropodobnego (bez uwzględnienia spinu) otrzymaliśmy trzy liczby kwantowe: - główna liczba kwantowa - orbitalna liczba kwantowa - magnetyczna liczba kwantowa

Liczby kwantowe Stany charakteryzowane określoną liczbą n nazywamy powłoką elektronową. Liczba orbitalna l określa podpowłoki. Notacja spektroskopowa:

Liczby kwantowe Przykład:

Radialne funkcje falowe Można wykazać, że radialne funkcje falowe atomu wodoropodobnego mają postać: gdzie: oraz (stowarzyszone wielomiany Laguerre’a):

Radialne funkcje falowe r/a 0 Radialne gęstości prawdopodobieństwa r/a 0

Radialne funkcje falowe Wizualizacja orbitali atomu wodoru: http: //www. falstad. com/qmatom/index. html