Mechanika Kwantowa II Matematyczne podstawy MK WYKAD 6

Mechanika Kwantowa II. Matematyczne podstawy MK WYKŁAD 6 Równanie Schrödingera

Plan wykładu • • • równanie Schrödingera zależne od czasu – ogólna metoda rozwiązania, równanie Schrödingera niezależne od czasu, cząstka swobodna.

Równanie Schrödingera zależne od czasu Stany opisane przez wektor stanu zależny od czasu zmieniają się zgodnie z równaniem w którym H jest operatorem całkowitej energii układu (hamiltonianem).

Równanie Schrödingera zależne od czasu Równanie Schrödingera z dowolnym hamiltonianem zachowuje normę funkcji falowej Dowolna funkcja falowa (stan układu fizycznego) raz unormowana do jedności pozostaje unormowana w dowolnej innej chwili czasu.

Równanie Schrödingera zależne od czasu W przypadku gdy operator Hamiltona nie zależy jawnie od czasu (układ fizyczny nazywamy wtedy zachowawczym lub konserwatywnym) poszukujemy rozwiązania równania Schrödingera w postaci separowalnej: Po przekształceniach otrzymujemy: Jest to rozwiązanie szczególne.

Równanie Schrödingera niezależne od czasu Funkcja spełnia tzw. stacjonarne równanie Schrödingera: gdzie H jest hamiltonianem, E jest energią układu. Dla pojedynczej cząstki mamy:

Równanie Schrödingera zależne od czasu Rozwiązanie ogólne równania Schrödingera: gdzie jest jednym z rozwiązań zagadnienia własnego stacjonarnego równania Schrödingera:

Cząstka swobodna Rozważając przypadek cząstki swobodnej mamy: Równanie Schrödingera ma postać: Po separacji równania ogólnego otrzymamy: gdzie E jest energią cząstki.

Cząstka swobodna Rozwiązanie stacjonarnego równania Schrödingera gdzie

Cząstka swobodna Możemy także „rozseparować” zmienne, otrzymując: gdzie:

Cząstka swobodna Rozwiązanie równania Schrödingera dla cząstki swobodnej gdzie:

Cząstka swobodna Wprowadzając oznaczenia: otrzymamy (dla jednego wymiaru):