Mechanika Kwantowa II Matematyczne podstawy MK WYKAD 4

Mechanika Kwantowa II. Matematyczne podstawy MK WYKŁAD 4 Formalizm matematyczny MK – cz. II

Plan wykładu • • • operatory liniowe, zagadnienie własne, diagonalizacja macierzy, formalizm hamiltonowski mechaniki klasycznej, równania kanoniczne, nawiasy Poissona.

Operatory liniowe Operator to odwzorowanie przyporządkowujące pewnemu wektorowi wektor , co zapisujemy w postaci: inny Operatory mogą także działać na wektory bra: UWAGA! Będziemy zajmować się wyłącznie operatorami, które nie wyprowadzają nas poza daną przestrzeń wektorową, tzn. :

Operatory liniowe spełniają następujące relacje:

Operatory liniowe Iloczyn dwóch operatorów to odwzorowanie polegające na działaniu dwóch operatorów w zadanej kolejności: Komutator operatorów i definiujemy jako: Bardzo ważna jest kolejność operatorów. Na ogół komutator nie jest równy zeru!!!

Operatory liniowe Własności komutatorów: (Slajd nr 22)

Operatory liniowe Operator odwrotny do operatora (oznaczany jako -1) spełnia równanie: gdzie I jest macierzą jednostkową. UWAGA. Nie każdy operator ma operator odwrotny!

Operatory liniowe Operator liniowy można przedstawić w pewnej bazie za pomocą zbioru n 2 liczb zapisanych jako macierz n n, nazywanych jego elementami macierzowymi w tej bazie: Liczby ij to elementy macierzowe operatora w bazie.

Operatory liniowe Jeśli mamy Przykład to: lub, w analogicznej postaci:

Operatory liniowe Przydatne operatory: - operator jednostkowy: - operator rzutowy: Relacja zupełności:

Operatory liniowe Ketowi Operator sprężony: odpowiada wektor bra: co stanowi definicję operatora sprzężonego (czytamy „omega z krzyżem”). Mamy:

Operatory liniowe Operator jest hermitowski, gdy: Operator jest antyhermitowski, gdy: Operator jest unitarny, gdy:

Zagadnienie własne Dla operatora liniowego i niezerowego wektora możemy napisać tzw. równanie własne: Wektory spełniające równanie własne nazywamy wektorami własnymi, natomiast odpowiadające im wartości nazywamy wartościami własnymi.

Zagadnienie własne Warunek istnienia niezerowych wektorów własnych ma postać: Z tego warunku obliczamy wartości własne. Równanie pozwalające przedstawić wektory własne ma postać:

Diagonalizacja macierzy hermitowskich Każda macierz hermitowska działająca w przestrzeni Vn(C) może być zdiagonalizowana przez unitarną zmianę bazy. lub w postaci analogicznej: Dla każdej macierzy hermitowskiej istnieje macierz unitarna U (wyrażona przez wektory własne ), taka że macierz U+ U jest macierzą diagonalną. Slajd nr 23

Formalizm Hamiltona w mechanice kl. Równania Lagrange’a: gdzie funkcja zwana lagranżjanem zdefiniowana jest jako (dla sił zachowawczych):

Formalizm Hamiltona w mechanice kl. Wprowadzając wielkości: pęd kanonicznie sprzężony z qi siła uogólniona sprzężona z qi możemy równania Lagrange’a zapisać w postaci:

Formalizm Hamiltona w mechanice kl. W mechanice hamiltonowskiej zamiast lagranżjanu L wprowadza się hamiltonian H (transformacje Legendre’a): otrzymując równania kanoniczne Hamiltona: Dla sił zachowawczych mamy:

Formalizm Hamiltona w mechanice kl. Jeżeli hamiltonian nie zależy od współrzędnej qi to: czyli zmiana pędu kanonicznego jest zerowa, a więc sam pęd kanoniczny jest zachowany. (Współrzędna qi to tzw. współrzędna cykliczna).

Formalizm Hamiltona w mechanice kl. Załóżmy, że jest pewną funkcją stanu układu, która nie zależy jawnie od czasu t. Jej zmienność w czasie wyraża się jako: gdzie nawias Poissona dla wielkości i :

Formalizm Hamiltona w mechanice kl. Równania Hamiltona zapisane przy użyciu nawiasów Poissona mają postać: Mamy także:

Formalizm Hamiltona w mechanice kl. Własności nawiasów Poissona: Porównać z własnościami komutatorów!!! (slajd nr 6)

Przykłady • Wyznaczyć wszystkie wartości własne i wektory własne macierzy • Czy jest macierzą hermitowską? • Sprawdzić, że U+ U jest macierzą diagonalną (U jest macierzą wyrażoną przez wektory własne ).