Fizyka Kwantowa I Podstawy FK przypomnienie wiadomoci WYKAD

Fizyka Kwantowa I. Podstawy FK - przypomnienie wiadomości WYKŁAD 2 Równanie Schrödingera

Plan wykładu • • • postulaty mechaniki kwantowej, równanie Schrödingera zależne od czasu – ogólna metoda rozwiązania, równanie Schrödingera niezależne od czasu, cząstka swobodna, jednowymiarowa studnia i bariera potencjału (stany związane i rozproszeniowe).

Postulaty mechaniki kwantowej I. Stan cząstki jest wyznaczony przez wektor w przestrzeni Hilberta. II. Klasycznym zmiennym niezależnym x i p odpowiadają operatory hermitowskie X i P, dla których mamy: (w bazie wektorów własnych X). Zmiennym zależnym odpowiadają op. hermitowskie:

Postulaty mechaniki kwantowej III. Jeśli cząstka znajduje się w stanie , to pomiar zmiennej odpowiadającej operatorowi daje jedną z jego wartości własnych z prawdopodobieństwem W wyniku pomiaru stan cząstki zmienia się z w.

Postulaty mechaniki kwantowej IV. Wektor stanu Schrödingera: spełnia równanie gdzie jest hamiltonianem kwantowym, a H hamiltonianem dla odpowiedniego zagadnienia klasycznego.

Równanie Schrödingera Analogiczna postać równania Schrödingera w reprezentacji położeniowej (dla cząstki): jest energią potencjalną, często nazywaną potencjałem. NIE jest wektorem położenia cząstki!!!

Równanie Schrödingera Własności równania Schrödingera 1. Jest równaniem zespolonym. 2. Jest równaniem różniczkowym pierwszego rzędu względem czasu. 3. Jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu względem zmiennych przestrzennych. 4. Jest równaniem liniowym (można opisać zjawisko interferencji!!!). 5. Jest równaniem opisującym propagację fali (funkcji falowej). Brak pojęcia trajektorii cząstki!!!

Funkcja falowa Dla pojedynczej cząstki, funkcja falowa jest amplitudą gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w otoczeniu punktu w chwili czasu t, tzn. : Powinien zachodzić związek: czyli

Funkcja falowa Nie wszystkie matematycznie poprawne rozwiązania równania Schrödingera są fizycznie sensowne!!! Sens funkcji falowej mają rozwiązania należące do klasy funkcji całkowalnych z kwadratem. Klasa dopuszczalnych fizycznie rozwiązań jest węższa niż klasa wszystkich możliwych rozwiązań.

Funkcja falowa jest wektorem stanu w reprezentacji położeniowej Funkcja falowa (wektor stanu) układu kwantowego reprezentuje stan wiedzy (obserwatora) o tym układzie. .

Redukcja funkcji falowej Jeżeli w układzie fizycznym opisanym stanem dokonamy pomiaru wielkości fizycznej A otrzymując an – jedną z wartości własnych obserwabli A, to po pomiarze stanem układu jest unormowany rzut stanu na (unormowany) wektor własny odpowiadający zmierzonej wartości własnej:

Redukcja funkcji falowej

Redukcja funkcji falowej zachodząca w chwili pomiaru jest jednym z najbardziej tajemniczych aspektów mikroświata i do dziś budzi istotne kontrowersje

Wartość oczekiwana Mechanika kwantowa, w przeciwieństwie do fizyki klasycznej, nie pozwala przewidywać wyników pojedynczego pomiaru. Wiedząc jak układ jest przygotowany (znając odpowiednią funkcję falową) możemy jedynie obliczać prawdopodobieństwa takich czy innych rezultatów pomiaru.

Wartość oczekiwana • Zakładamy, że wielkości fizycznej A odpowiada obserwabla A o wartościach własnych an i wektorach własnych un stanowiących bazę ortonormalną w przestrzeni funkcji falowych. Stan układu opisywany jest funkcją falową . • Tworzymy bardzo wiele identycznych układów, każdy przygotowany w stanie . • Mamy:

Wartość oczekiwana Prawdopodobieństwo pojedynczego pomiaru o wartości ak wynosi:

Wartość oczekiwana Mamy więc (notacja „bra-ketowa”):

Równanie Schrödingera zależne od czasu Stany opisane przez funkcję zależną od czasu zmieniają się zgodnie z równaniem w którym H jest operatorem całkowitej energii układu (hamiltonianem).

Równanie Schrödingera zależne od czasu Równanie Schrödingera z dowolnym hamiltonianem zachowuje normę funkcji falowej Dowolna funkcja falowa (stan układu fizycznego) raz unormowana do jedności pozostaje unormowana w dowolnej innej chwili czasu.

Równanie Schrödingera zależne od czasu W przypadku gdy operator Hamiltona nie zależy jawnie od czasu (układ fizyczny nazywamy wtedy zachowawczym lub konserwatywnym) poszukujemy rozwiązania równania Schrödingera w postaci separowalnej: Po przekształceniach otrzymujemy: Jest to rozwiązanie szczególne.

Równanie Schrödingera niezależne od czasu Funkcja spełnia tzw. stacjonarne równanie Schrödingera: gdzie H jest hamiltonianem, E jest energią układu. Dla pojedynczej cząstki mamy:

Równanie Schrödingera zależne od czasu Rozwiązanie ogólne równania Schrödingera: gdzie jest jednym z rozwiązań zagadnienia własnego stacjonarnego równania Schrödingera:

Cząstka swobodna Rozważając przypadek cząstki swobodnej mamy: Równanie Schrödingera ma postać: Po separacji równania ogólnego otrzymamy: gdzie E jest energią cząstki.

Cząstka swobodna Rozwiązanie stacjonarnego równania Schrödingera gdzie

Cząstka swobodna Rozwiązanie ogólne równania Schrödingera dla cząstki swobodnej gdzie

Cząstka swobodna Wprowadzając oznaczenia: otrzymamy (dla jednego wymiaru):

Studnia potencjału o nieskończonych ściankach Rozważmy cząstkę bezspinową o masie m znajdującą się w studni potencjału o nieskończonych ścianach

Studnia potencjału o nieskończonych ściankach Własności funkcji falowej związanej z cząstką: • energia cząstki jest skończona, więc w studni mogą występować jedynie stany związane, • w obszarze musi spełniać stacjonarne równanie Schrödingera, • w obszarze musi znikać (siła działająca na cząstkę w pobliżu bariery staje się nieskończona), • powinna być ciągła, • musi być unormowana.

Studnia potencjału o nieskończonych ściankach Rozwiązanie stacjonarnego równania Schrödingera gdzie: Warunki brzegowe:

Studnia potencjału o nieskończonych ściankach Wyniki

Studnia potencjału o nieskończonych ściankach Wyniki Funkcje własne i gęstości prawdopodobieństwa dla studni potencjału o nieskończonej głębokości

Studnia potencjału o skończonych ściankach Rozważmy cząstkę bezspinową o masie m znajdującą się w studni potencjału o skończonych ścianach

Studnia potencjału o skończonych ściankach Własności funkcji falowej związanej z cząstką: • w przypadku energii cząstki w studni będą występować stany związane, • w przypadku energii cząstki będziemy mieć stany rozproszeniowe.

Studnia potencjału o skończonych ściankach Rozwiązanie stacjonarnego równania Schrödingera Stany związane (E < Vmax=0) gdzie:

Studnia potencjału o skończonych ściankach Warunki ciągłości:

Studnia potencjału o skończonych ściankach Wyniki Poziomy energetyczne wyznaczamy z warunków: - rozwiązania parzyste: - rozwiązania nieparzyste:

Studnia potencjału o skończonych ściankach Przechodząc do nowych zmiennych: - rozwiązania parzyste: - rozwiązania nieparzyste:

Studnia potencjału o skończonych ściankach Graficzna metoda rozwiązania Linie ciągłe – rozw. parzyste, linie przerywane – rozw. nieparzyste

Studnia potencjału o skończonych ściankach Wyniki Rozwiązania parzyste: Rozwiązania nieparzyste:

Studnia potencjału o skończonych ściankach Rozwiązanie stacjonarnego równania Schrödingera Stany rozproszeniowe (E > Vmax) gdzie:

Studnia potencjału o skończonych ściankach Rozwiązanie ogólne Znaczenie odpowiednich członów przy stałych: A – cząstki nadbiegające z lewej strony, B – cząstki odbite, F – cząstki wychodzące ze studni, G – cząstki nadbiegające z prawej strony (BRAK!!!)

Studnia potencjału o skończonych ściankach Wprowadzamy wielkości: - współczynnik odbicia R (Reflection): - współczynnik przejścia T (Transmission): Warunek zachowania liczby cząstek:

Studnia potencjału o skończonych ściankach Warunki ciągłości:

Studnia potencjału o skończonych ściankach Wyniki

Studnia potencjału o skończonych ściankach Wyniki - współczynnik przejścia: - współczynnik odbicia:

Studnia potencjału o skończonych ściankach Wyniki - współczynnik przejścia w postaci równoważnej:

Bariera potencjału o skończonych ściankach Wyniki – bariera potencjału - współczynnik przejścia (E<V 0) - współczynnik przejścia (E>V 0)

Studnia i bariera potencjału Współczynniki przejścia i odbicia (m=1, a=1, V 0=8, ħ=1) Studnia potencjału Bariera potencjału

Studnia potencjału o skończonych ściankach Paczka falowa i studnia potencjału L. I. Schiff, Mechanika Kwantowa, PWN, Warszawa 1977. Energia paczki równa połowie głębokości studni Energia paczki równa głębokości studni

Bariera potencjału Paczka falowa i bariera potencjału L. I. Schiff, Mechanika Kwantowa, PWN, Warszawa 1977. Energia paczki równa połowie wysokości bariery Energia paczki równa wysokości bariery