Metody optymalizacji Energetyka 20152016 Metody programowania liniowego Metody

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Metody optymalizacji Energetyka - studia stacjonarne I stopnia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 2 - 2015/2016 Metody programowania liniowego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego – postać zagadnienia optymalizacyjnego, podstawowe pojęcia, rozwiązania graficzne Postać matematyczna zagadnień programowania liniowego I. Postać mieszana (1) Funkcja celu (2) Warunki ograniczające (3) Warunki nieujemności © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Warunki nieujemności nie muszą dotyczyć wszystkich zmiennych. Jeżeli warunki nieujemności nazywamy pełnymi , to Przy rozwiązywaniu zadań programowania liniowego (PL) metodą simpleks, najpopularniejszą metodą rozwiązywania zadań PL, należy je zapisać w postaci standardowej II. Postać standardowa (1) zasadnicze warunki ograniczające są dane w postaci równań (2) elementy prawej strony ograniczeń są nieujemne (3) warunki nieujemności są pełne dodamy ponadto (4) funkcja celu jest minimalizowana © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Postać standardowa – Zapis I © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Twierdzenie 1: Zadanie programowania liniowego z funkcją celu: jest równoważne zadaniu programowania liniowego z funkcją celu: Spełniona jest przy tym zależność: Twierdzenie 2: Jeżeli w zadaniu programowania liniowego zastąpimy funkcję celu postaci: funkcją celu postaci: to rozwiązanie optymalne, o ile ono istnieje, dla obu zadań będzie identyczne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Nieujemność elementów prawej strony: Zasada 1: Jeżeli , to i-te ograniczenie należy pomnożyć przez -1 Nieujemność zmiennych: Zasada 2: Jeżeli zmienna ma być ujemna, to dokonujemy podstawienia: Zasada 3: Jeżeli zmienna podstawienia © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. nie ma ograniczenia na znak, to dokonujemy Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Równościowe warunki ograniczające: Zasada 4: Każda nierówność: jest równoważna układowi warunków: Zasada 5 Każda nierówność: jest równoważna układowi warunków: - zmienne swobodne lub uzupełniające © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Postać standardowa – Zapis III gdzie: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Postać standardowa – Zapis IV gdzie: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Przykład 1: Sformułowano zadanie optymalizacyjne w postaci (1) (2) (3) (4) (5) Sprowadź podane sformułowanie do postaci standardowej © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Dla uzyskania postaci standardowej należy: (1) funkcję celu (1) sprowadzić do formy minimalizacji (2) podstawić (3) przemnożyć ograniczenie (4) przez -1 (4) wprowadzić zmienną swobodną do ograniczenia (2) (5) wprowadzić zmienną swobodną do ograniczenia (3) Wykonamy to kolejno: (1) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego (2) (1) (2) (3) (4) (5) (3) (1) (2) (3) (4) (5) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 (4) Metody programowania liniowego (1) (2) (3) (4) (5) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Rozwiązania zagadnienia programowania liniowego są wektorami, kolumny macierzy współczynników ograniczeń są wektorami, współczynniki funkcji celu tworzą wektor, prawa strona ograniczeń tworzy wektor …… © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Przestrzeń liniowa Definicja 1. © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 1. – c. d. © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 2. Definicja 3. © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 4. © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Twierdzenie 1. © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Zbiory wypukłe Definicja 5. Definicja 6 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 7 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Twierdzenie 2. Definicja 8. © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Rozwiązywanie układu równań liniowych algebraicznych © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 9. © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 10. © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Właściwości rozwiązań zadania programowwania liniowego (a) (b) (c) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 11. (a) – (c) (b) – (c) Definicja 12. (b) Definicja 13. (c) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 14. Definicja 15. © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Twierdzenie 3. © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Twierdzenie 4. (a) maksymalną © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Twierdzenie 4. - c. d. © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Geometria i algebra programowania liniowego Twierdzenie 5. Wnioski © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Rozwiązywanie graficzne zadań programowania liniowego - studium przypadku Przykład 2: Pewna firma produkuje dwa rodzaje farb: dla prac wewnętrznych (I) i zewnętrznych (E). Wyprodukowane farby kierowane są do sprzedaży hurtowej. Do produkcji farb stosuje się dwa surowce A i B. Maksymalne dostępne dziennie ilości tych surowców wynoszą odpowiednio 6 i 8 t. Zużycie surowców A i B na jedną tonę odpowiedniej farby podaje tabela. Surowiec Zużycie surowca w tonach na tonę farby Farba E Maksymalna dostępna dziennie ilość surowca Farba I A 1 2 6 B 2 1 8 Badanie rynku pokazało, że dzienny popyt na farbę I nigdy nie przewyższa popytu na farbę E o więcej niż 1 tonę. Poza tym ustalono, że popyt na farbę I nigdy nie przekracza 2 ton na dobę. Ceny hurtowe jednej tony farb są równe: 3 j. p. dla farby E, i 2 j. p. dla farby I. Jakie ilości farby E i I powinna produkować firma, aby dochód z produkcji był maksymalny? © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Opcje decyzyjne: - dzienna produkcja farby E w tonach - dzienna produkcja farby I w tonach Funkcja celu: zmaksymalizować: Ograniczenia: Zasoby dzienne surowca A: 1 Zasoby dzienne surowca B: 2 Różnica popytu na farbę I i E: 3 4 Popyt na farbę I: Warunki nieujemności: 5 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 6 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Rozwiązywanie graficzne dla zadania maksymalizacji i malenia dla minimalizacji © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Obszar rozwiązań dopuszczalnych i linia stałej wartości funkcji celu: 1 2 3 4 5 3 5 4 1 6 2 6 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Znajdowanie rozwiązania optymalnego: . 6 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Rozwiązanie optymalne: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Metody programowania liniowego Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Metody programowania liniowego Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Rozwiązanie optymalne jest punktem wierzchołkowy jest rozwiązaniem bazowym wierzchołkowym; punkt Punkt optymalny: oraz: Ponadto (nietrudno policzyć): 6 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Inne przypadki Przykład 3: 2 5 3 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Przykład 4: 3 2 4 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Przykład 5: 1 4 5 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 2 3 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Przykład 6: 1 2 3 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Przykład 7: 2 3 1 4 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Przykład 8: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Elementy algorytmu simpleksowego Postać standardowa przykładu Początkowa tablica simpleksowa © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Rozpoczęcie obliczeń © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 49

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Elementy jednego kroku algorytmu simpleksowego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 50

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Metody programowania liniowego Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 51

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Drugie rozwiązanie © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 52

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Metody programowania liniowego Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 53

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Metody programowania liniowego Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 54

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Tablica optymalnego rozwiązania © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 55

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Podsumowanie rozwiązywania - Tablice kolejnych kroków © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 56

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Podsumowanie rozwiązywania - Interpretacja geometryczna kolejnych kroków 3 5 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 4 6 1 2 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 57

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Rozwiązanie optymalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 58

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Analizy postoptymalizacyjne Pierwsze zadanie analizy wrażliwości Wpływ zmiany ilości poszczególnych zasobów na aktualne rozwiązanie optymalne Formalna nazwa: analiza wrażliwości na zmiany prawej strony ograniczeń Ograniczenia: aktywne i nieaktywne Ograniczenie jest aktywne dla aktualnego rozwiązania optymalnego jeżeli przechodzi przez punkt tego rozwiązania spełnione jest równościowo w punkcie tego rozwiązania W przeciwnym przypadku ograniczenie jest nieaktywne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 59

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Analizy postoptymalizacyjne Składnik: deficytowe i niedeficytowe Składnik jest deficytowy dla aktualnego rozwiązania optymalnego jeżeli odpowiadające mu ograniczenie jest aktywne W przeciwnym przypadku składnik jest niedeficytowy Dwa aspekty analizy wrażliwości na zmiany prawej strony ograniczeń graniczne dopuszczalne zwiększenie zasobu składnika deficytowego pozwalające poprawić aktualne rozwiązanie optymalne (nie zmieniające aktualnych zmiennych bazowych rozwiązania bazowego) granicznie dopuszczalne zmniejszenie zasobu składnika niedeficytowego nie zmieniające aktualnych zmiennych bazowych rozwiązania optymalnego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 60

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Analizy postoptymalizacyjne Zwiększanie zasobów deficytowych 3 5 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 4 1 6 2 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 61

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Analizy postoptymalizacyjne Zmniejszanie zasobów niedeficytowych 4 3 5 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 6 1 2 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 62

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Analizy postoptymalizacyjne Podsumowanie Maksymalna zmiana zasobu składnika Wartość zmieniona – wartość aktualna Składnik Rodzaj składnika Maksymalna zmiana dochodu Wartość zmieniona – wartość aktualna 1 Deficytowy 7– 6=1 13 – 12 2 3 = +1 3 2 Deficytowy 12 – 8 = 4 18 – 12 2 3 = +5 1 3 3 Niedeficytowy - 2 – 1 = -3 12 2 3 - 12 2 3 = 0 4 Niedeficytowy © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 1 13 - 2 = - 2 3 12 2 3 - 12 2 3 = 0 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 63

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Analizy postoptymalizacyjne Drugie zadanie analizy wrażliwości Zasoby którego ze składników deficytowych powiększać w pierwszej kolejności należałoby Charakterystyka cenności dodatkowej jednostki zasobu składnika deficytowego 1 Rodzaj składnika Deficytowy Cenność dodatkowej jednostki zasobu składnika 1 = 1 3 ÷ 1 = 1 3 2 Deficytowy 2 = 5 1 3 ÷ 4 = 4 3 3 Niedeficytowy 3 = 0 4 Niedeficytowy 4 = 0 Składnik © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 64

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Analizy postoptymalizacyjne Trzecie zadanie analizy wrażliwości Wpływ wartości współczynników f. c. na rozwiązanie optymalne Dwa aspekty analizy wrażliwości na zmiany współczynników funkcji celu przedział zmian (zmniejszenia lub zwiększenia) danego współczynnika funkcji celu, dla którego nie dochodzi do zmiany rozwiązania optymalnego? o ile należy zmienić dany współczynnik funkcji celu, aby uczynić określony składnik niedeficytowym i na odwrót? © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 65

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Analizy postoptymalizacyjne Pierwszy aspekt – c 1 = var, c 2 = const = 2; c 1 = const = 3, c 2 = var 4 1 3 5 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 6 2 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 66

Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Metody programowania liniowego Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 67