Badania operacyjne metody optymalizacji w problemach decyzyjnych 1

Badania operacyjne – metody optymalizacji w problemach decyzyjnych 1

Badania Operacyjne (Operations Research, Management Science) • Badania Operacyjne (BO) należą do matematycznych nauk interdyscyplinarnych zajmujących się efektywnym wykorzystaniem środków przez różnego typu organizacje. • BO wprowadzają naukowe metody rozwiązywania problemów z zakresu podejmowania decyzji kierowniczych. • Istotne znaczenie w BO ma interakcja pomiędzy człowiekiem a technologią – nacisk na praktyczne zastosowania metod 2 matematycznych.

Model • Modelem nazywamy równanie (lub układ równań), za pomocą którego odzwierciedlamy zależności występujące w procesach decyzyjnych w skali mikro (człowiek, przedsiębiorstwo) lub na wyższych szczeblach struktury społeczno-gospodarczej. • Model jest zawsze uproszczeniem badanej rzeczywistości – ujmuje tylko najistotniejsze zależności 3

Klasyfikacja modeli 1. Ze względu na złożoność: – – Modele jednorównaniowe Modele wielorównaniowe 2. Ze względu na postać analityczną – – Modele liniowe Modele nieliniowe 3. Ze względu na charakter zmiennych modelu – – Modele deterministyczne (zmienne są nielosowe) Modele stochastyczne (przynajmniej jedna ze zmiennych jest zmienną losową) 4. Ze względu na czynnik czasu – Modele statyczne (konstruowane dla wybranego okresu/momentu czasu) 4

Klasyfikacja modeli c. d. 4. Ze względu na czynnik czasu – – Modele statyczne (konstruowane dla wybranego okresu/momentu czasu) Modele dynamiczne (występuje zmienna czasowa, modele rekurencyjne opisujące zależności w czasie) 5. Ze względu na cel konstrukcji – – – Modele opisowe Modele prognostyczne Modele decyzyjne - optymalizacyjne 5

Warunki podejmowania decyzji • Pewność - każdej decyzji odpowiada tylko jeden wynik • Niepewność – każdej decyzji odpowiada więcej niż jeden wynik i nie znamy prawdopodobieństwa z jakim dany wynik może wystąpić ani nie możemy go oszacować z powodu braku dostępnej informacji • Ryzyko – Każdej decyzji odpowiada więcej niż jeden wynik i znamy prawdopodobieństwo z jakim może on wystąpić • Informacja częściowa - Każdej decyzji odpowiada więcej niż jeden wynik. Nie znamy prawdopodobieństwa z jakim dany wynik może wystąpić, ale możemy je oszacować na podstawie 6

Badania operacyjne – zakres metod BO korzystają z narzędzi, m. in. : • Rachunku prawdopodobieństwa, • Statystyki, • Ekonometrii, • Metod optymalizacji, • Teorii podejmowania decyzji i teorii gier, • Teorii kolejek (masowej obsługi), • Teorii grafów, • Symulacji. 7

LINIOWE MODELE DECYZYJNE Programowanie Liniowe (PL) 8

Wstęp do PL Zastosowania modeli PL w różnych dziedzinach: • Produkcja • Finanse • Rolnictwo • Marketing i reklama, itd. . . 9

Wstęp do Programowania Liniowego (PL) • Podstawowym narzędziem PL jest model matematyczny analizowanego problemu • Model PL ma na celu poszukiwanie maksimum bądź minimum funkcji liniowej przy liniowych ograniczeniach • Elementy modelu PL: – Zbiór zmiennych decyzyjnych – Funkcja kryterium. – Układ ograniczeń. 10

Model PL - symbolika x –wektor zmiennych decyzyjnych, nx 1 c – wektor parametrów funkcji kryterium, nx 1 A – macierz parametrów lewych stron ogranicz b – wektor prawych stron ograniczeń, mx 1 11

Wstęp do PL • Istotna rola Programowania Liniowego – Efektywne algorytmy obliczeniowe gwarantujące znalezienie rozwiązania optymalnego – Możliwa analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego – co by było, gdyby. . . ? . 12

Wstęp do PL • Założenia modelu PL: – Znane wartości parametrów, – Funkcja kryterium i ograniczenia mają własność stałych przyrostów (constant returns to scale) – ten sam co do wielkości przyrost zmiennej, bez względu na początkowy poziom, powoduje zawsze taki sam przyrost wartości funkcji – Addytywność efektów, – Zmienne decyzyjne mają charakter ciągły – mogą przyjąć każdą wartość z określonego przedziału liczbowego (inne modelowanie dla zmiennych całkowitoliczbowych czy też binarnych), – Zakłada się nieujemność zmiennych decyzyjnych. 13

Firma „Puchatek” – problem optymalnego planu produkcji • Firma produkuje dwa rodzaje zabawek plastikowych - samochodzików - dla dzieci powyżej 1 roku: ciężarówki i traktory. • Występują ograniczone zasoby dwóch środków produkcji: – 1000 kg specjalnego plastiku. – Tygodniowy czas produkcji ograniczony jest do 40 godzin. 14

Firma „Puchatek” – problem optymalnego planu produkcji • Wymagania rynkowe – Wielkość produkcji nie może przekroczyć 7000 szt. – Liczba ciężarówek nie może przekroczyć liczby traktorów o więcej niż 3500 szt. • Informacja technologiczna – Ciężarówka wymaga 20 dkg plastiku i 3 minut czasu produkcji, – Traktor wymaga 10 dkg plastiku i 4 minut czasu pracy. 15

Firma „Puchatek” – problem optymalnego planu produkcji • Obecna strategia planowania produkcji: – Produkować jak najwięcej produktu bardziej zyskownego (Ciężarówka – zysk jedn. 8 zł za dziesięć sztuk), – Pozostałe środki przeznaczyć na produkt mniej zyskowny (Traktor – zysk jedn. 5 zł za dziesięć sztuk), pamiętając o zaleceniach działu marketingu. • Obecny tygodniowy plan produkcji: Ciężarówka Traktor Szacowany zysk 8(450) + 5(100) = 4500 sztuk = 1000 sztuk = 4100 zł tygodniowo 16

Firma szuka rozwiązania, które może przynieść zwiększenie zysku 17

Model PL dla firmy „Puchatek” • Zmienne decyzyjne: – X 1 = tygodniowa wielkość produkcji ciężarówek (w 10 szt. ) – X 2 = tygodniowa wielkość produkcji traktorów (w 10 szt. ) • Funkcja kryterium: – maksymalizacja zysku tygodniowego 18

Model PL dla firmy „Puchatek” Max z(x) = 8 X 1 + 5 X 2 zł) (zysk tygodniowy w przy ograniczeniach: 2 X 1 + 1 X 2 £ 1000 3 X 1 + 4 X 2 £ 2400 (plastik w kg) (czas produkcji w minutach) X 1 + X 2 £ 700 (wielkość produkcji w X 1 - X 2 £ 350 Xj 0, j = 1, 2 (Mix) 10 szt. ) (nieujemność zmiennych 19

Analiza graficzna zadania PL Zbiór punktów, o współrzędnych (X 1, X 2) które spełniają wszystkie ograniczenia to ZBIÓR ROZWIĄZAŃ DOPUSZCZALNYCH 20

Analiza graficzna – zbiór rozwiązań dopuszczalnych X 2 Ograniczenia na nieujemność zmiennych X 1 21

Analiza graficzna – zbiór rozwiązań dopuszczalnych X 2 1000 700 500 Plastik 2 X 1+X 2 <= 1000 Produkcja całkowita: X 1+X 2 <=700 (nieistotne) Niedopuszczalne Czas produkcji Dopuszczalne 3 X 1+4 X 2 <=2400 500 700 X 1 22

Analiza graficzna – zbiór rozwiązań dopuszczalnych X 2 1000 700 500 Plastik 2 X 1+X 2 <= 1000 Produkcja całkowita: X 1+X 2 <=700 (nieistotne) Niedopuszczalne Mix X 1 -X 2 <= 350 Czas produkcji Dopuszczalne 3 X 1+4 X 2<= 2400 500 700 X 1 Punkty brzegowe Punkty wierzchołkowe Punkty wewnętrzne. • Trzy rodzaje rozwiązań 23

Poszukiwanie rozwiązania optymalnego 24

Poszukiwanie rozwiązania optymalnego X 2 1000 700 500 Ustalamy dowolną wielkość zysku, np. = 2000 zł, i rysujemy odpowiadającą izokwantę funkcji kryterium. (Izokwanta liniowej funkcji kryterium to prosta mająca tę własność, że dla wszystkich punktów tej prostej wartość funkcji jest =4360 jednakowa). Zysk zł Zwiększamy zysk tak dalece jak to mo. . . i kontynuujemy, dopóki jest to dopus X 1 500 25

Podsumowanie rozwiązania optymalnego Ciężarówki = 3200 szt. Traktory = 3600 szt. Zysk maksymalny = 4360 zł – Rozwiązanie optymalne wykorzystuje cały zasób surowca – plastik oraz czasu produkcji – ograniczenia wiążące. – Produkcja całkowita to 6800 szt. (a nie max 7000 szt. ) – Ograniczenie na Mix produktów spełnione jako nierówność: 320 - 360 = -40 < 350 26

Punkty wierzchołkowe a rozwiązanie optymalne – Jeżeli problem PL posiada rozwiązanie optymalne, to jest nim punkt wierzchołkowy, przynajmniej jeden. 27

Punkty wierzchołkowe a rozwiązanie optymalne Ø Jeżeli dokonany zostanie wybór rozwiązania optymalnego, to proste przecinające się w punkcie wierzchołkowym, będącym rozwiązaniem optymalnym, odpowiadają ograniczeniom wiążącym, tj. spełnionym jakoØrównania. W problemie firmy „Puchatek” ograniczeniami wiążącymi są: zapas plastiku oraz czas produkcji. Oznacza to, że cały zapas surowca jest wykorzystany. Również czas produkcji ØPozostałe ograniczenia są niewiążące – wykorzystany w 100% na wielkość obserwujemy zapas wjest ograniczeniu produkcji oraz mix produktów. Zapas – różnica między wartością prawej i lewej strony ograniczenia 28

Niejednoznaczne rozwiązanie optymalne • W przypadku niejednoznaczności rozwiązania optymalnego, izokwanta funkcji kryterium jest równoległa do jednego z ograniczeń. • W przypadku niejednoznacznosci każda liniowa kombinacja (średnia ważona) optymalnych rozwiązań wierzchołkowych jest również optymalna 29

Analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego • Jak wrażliwe jest rozwiązanie optymalne na zmiany parametrów modelu? • Powody przeprowadzania analizy wrażliwości: – Założenie o znanych wartościach parametrów nie jest prawdziwe – znamy tylko wartości ocen statystycznych lub eksperckich parametrów – możliwy błąd szacunku, 30

Wrażliwość rozwiązania na zmiany parametrów funkcji kryterium. • Przedział optymalności – Rozwiązanie optymalne pozostaje niezmienne tak długo jak • Parametr funkcji kryterium należy do przedziału optymalności • Nie obserwujemy zmian innych parametrów modelu. – Wartość funkcji kryterium ulegnie zmianie, jeżeli analizowany parametr dotyczy zmiennej, której wartość jest 31

Wrażliwość rozwiązania na zmiany parametrów funkcji kryterium. X 2 1000 M 8 X 1 + 5 X 500 ax 2 M ax x 3 4 X. 75 1 + X 5 X 2 Max 2 X 1 + 5 X 2 X 1 500 800 32

Wrażliwość rozwiązania na zmiany parametrów funkcji kryterium. X 2 1000 1 8 X ax M + Przedział optymalności: [3. 75, 10] 5 X 3. 7 1 1 +5 X 2 5 X +5 Ma x 0 X x 1 Ma 2 500 X 2 400 600 800 X 1 33

Wrażliwość rozwiązania na zmiany parametrów funkcji kryterium. Interpretacja przedziału optymalności dla parametru c 1: Zakładając, że inne elementy modelu (parametry, ograniczenia) nie ulegną zmianie, to zmiana zysku jednostkowego (w 10 szt. ) dla ciężarówek w przedziale [3, 75 ; 10] zł nie spowoduje utraty optymalności przez uzyskane rozwiązanie. Maksymalny zysk odpowiada produkcji 3200 ciężarówek i 3600 szt. traktorów. Oczywiście, zmiana zysku jednostkowego dla ciężarówek spowoduje zmianę wartości maksymalnego zysku, np. dla c 1=9 zł/10 szt. maksymalny zysk wyniesie 320*9+360*5= 4680 zł. 34

Analiza wrażliwości rozwiązania na zmianę prawych stron ograniczeń • Jak zmieni się optymalna wartość funkcji kryterium (np. maksymalny zysk), jeżeli prawa strona wybranego ograniczenia wzrośnie o jednostkę? • Dla jak dużych przyrostów bądź spadków wartości prawej strony ograniczenia, wyznaczona wartość przyrostu funkcji kryterium pozostanie niezmieniona? 35

Analiza wrażliwości rozwiązania na zmianę prawych stron ograniczeń • Każda zmiana wartości prawej strony ograniczenia wiążącego spowoduje zmianę rozwiązania optymalnego. • Dowolna zmiana prawej strony ograniczenia niewiążącego, mniejsza od wielkości zapasu, nie spowoduje zmiany rozwiązania optymalnego, 36

Wyceny dualne (Shadow Prices) • Zakładając, że nie występują zmiany żadnych innych parametrów wejściowych modelu, zmiana wartości funkcji kryterium na jednostkę przyrostu wartości prawej strony ograniczenia nazywana jest wyceną dualną (najczęściej, wyceną dualną zasobu) 37

Plastik Wyceny dualne – ilustracja graficzna X 2 1000 Max zysk = 4360 zł x 2 +1 01 10 <= 00 x 2 10 +1 <= 2 X 1 Jeżeli dostępna jest większa ilość plastiku (ograniczenie na zasób plastiku będzie rozluźnione), wzrasta wartość prawej strony ograniczenia 500 Max zysk = 4363. 4 zł Wycena dualna = 4363. 40 – 4360. 00 = 3. 40 Czas produkcji X 1 500 38

Przedział dopuszczalności • Zakładając brak zmian wartości innych parametrów wejściowych modelu, przedziałem dopuszczalności nazywamy: – Przedział wartości prawej strony ograniczenia, w zakresie którego nie ulegają zmianie wyceny dualne. • W obrębie przedziału dopuszczalności, zmianę optymalnej wartości funkcji kryterium możemy wyznaczyć następująco: Zmiana wartości f. kryterium = [wycena dualna]x[zmiana wartości prawej 39 strony ograniczenia]

Przedział dopuszczalności Plastik X 2 2 X 1 x 2 +1 1000 00 10 <= Produkcja całkowita X 1 + X 2 £ 700 Zwiększanie zasobu plastiku przynosi efekt tylko do czasu, aż pojawi się nowe ograniczenie Nowe ograniczenie wiążące 500 To jest rozwiązanie niedopuszczaln Czas produkcji X 1 500 40

Plastik Przedział dopuszczalności X 2 2 X 1 x 2 +1 1000 0 0 10 <= Zauważmy, jak zmienia się zysk, gdy rośnie zasób plastiku. 500 Czas produkcji X 1 500 41

Przedział dopuszczalności X 2 Zasób plastiku zmniejsza się (ograniczenie jest bardziej 1000 Rozwiązanie niedopuszczalne restrykcyjne). Zysk zmniejsza się 500 2 X 1 + 1 X 2 <= 1100 Nowe ograniczenie wiążące X 1 500 42

„Puchatek” – rozwiązanie w programie STORM 43

„Puchatek” – rozwiązanie w programie STORM 44

„Puchatek” – rozwiązanie w programie STORM 45

GALAXY – STORM solution 46

„Puchatek” – rozwiązanie w programie STORM 47

„Puchatek” – rozwiązanie w programie STORM 48

• Możliwe, inne niż jednoznaczne, wyniki optymalizacji Sprzeczność zadania: Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest pusty. Powodem są zbyt restrykcyjne ograniczenia. • Nieograniczoność: Funkcja kryterium może być dowolnie duża. Powodem jest brak istotnego ograniczenia w modelu. • Rozwiązanie niejednoznaczne: Więcej niż jeden punkt odpowiada optymalnej wartości funkcji kryterium 49

Zadanie PL jest sprzeczne . 2 3 1 50

Rozwiązanie nieograniczone fu nk cji ro Zb do zwią iór h pus zań zc za ln y Ma kr yte ks ym riu ali m za c c 51 ja