Metoda suprotnih koeficijenata 1 dio kad su u

Metoda suprotnih koeficijenata 1. dio (kad su u polaznom sustavu već zadani suprotni koeficijenti)

Prvo razjasnimo značenja riječi iz naziva metode. Prisjetimo se što su koeficijenti i kakvi su to suprotni brojevi. Koeficijenti (u sustavu jednadžbi) su brojevi koji se pojavljuju uz nepoznanice. Npr. U sustavu 5 x - 2 y = 7 -x + y = -9 koeficijenti su: 5, -2, -1 i 1. Brojevi 7 i -9 nazivaju se slobodni članovi. U 6. razredu naučili smo kakvi su to suprotni brojevi. Sjećaš li se? Suprotni brojevi su brojevi koji imaju jednake apsolutne vrijednosti a različite predznake. Navedi nekoliko primjera! Npr. suprotni brojevi su: 6 i -6, 15 i -15, -9 i 9, -100 i 100. . . Zbroj suprotnih brojeva je uvijek jednak nuli ! Npr. 7 - 7 = 0 , -19 + 19 = 0 , 57 - 57 = 0 , - 43 + 43 = 0. . .

Sad ćemo krenuti na rješavanje sustava metodom suprotnih koeficijenata. U ovoj prezentaciji ćemo rješavati jednostavnije primjere u kojima već imamo suprotne koeficijente. Kad takve dobro savladamo, u drugoj ćemo prezentaciji objasniti i složenije slučajeve (u kojima ćemo namještati suprotne koeficijente).

Primjer 1. : a) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -3 x - 2 y = 14 -7 x + 2 y = 26 + Uočimo keficijente u ovom sustavu. Koji su to brojevi? To su: -3, -2, -7 i 2. Ima li među njima suprotnih brojeva? Ima! Uz nepoznanicu y imamo suprotne brojeve -2 i +2 ! Što dobivamo njihovim zbrajanjem? Nulu! Oni se poništavaju! To ćemo sad iskoristiti. Zbrojimo lijeve strane ovih dviju jednažbi i desne strane istih jednadžbi, pa vidimo do čega će nas to dovesti. . .

Primjer 1. : a) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -3 x - 2 y = 14 -7 x + 2 y = 26 -10 x = 40 + Što dobivamo zbrajanjem -3 x - 7 x ? Koliko je to? Sad računamo -2 y + 2 y. : (-10) Koliko je to? -2 y i 2 y se poništavaju (daju nulu), a nulu ne moramo pisati (ona ne utječe na daljnje Pogledajmo što smo dobili! zbrajanje). Što je ovo? Nastavljamo dalje. . . To je jednadžba s jednom nepoznanicom; imamo samo x! Prepišemo znak jednakosti. Riješimo je! Završili smo sa zbrajanjem lijevih strana Kako ćemo riješiti tu jednadžbu? i krećemo na zbrajanje desnih. Računamo 14 + 26. To je. . . Dakle, zbrojili smo lijeve strane zadanih jednadžbi i desne strane istih jednadžbi. Zapamti da prilikom zbrajanja moramo uvažavati predznake! Npr. na početku smo imali -3 x i -7 x (a ne 3 x i 7 x)! Na to moramo paziti kod svih pribrojnika!!!

Primjer 1. : a) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -3 x - 2 y = 14 -7 x + 2 y = 26 -10 x x = 40 -3 ∙ (-4) - 2 y = 14 + : (-10) 12 - 2 y = 14 = -4 - 2 y = 14 - 12 - 2 y = 2 : (-2) y = -1 Što smo dobili? Dobili smo jednadžbu u kojoj je Nastavimo s. Rj. rješavanjem ( -4, -1 ) jednadžbe! nepoznanica Nepoznanicey. na jednu, a poznanice Dakle, iz nje ćemo izračunati y. na drugu stranu. . . Budući da smo saznali da je x jednak -4, umjesto x možemo uvrstiti broj -4, Što ćemo prvo napraviti? (Promotri bilo u prvu ili u drugu jednadžbu. malo tu jednadžbu. ) Uvrstimo u prvu. . . Izračunali smo koliki je x. Imaš li ideju kako sad izračunati y ? Izračunajmo množenje, -3 ∙ (-4) !

Primjer 1. : a) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -3 x - 2 y = 14 -7 x + 2 y = 26 -10 x x = 40 -3 ∙ (-4) - 2 y = 14 + : (-10) = -4 12 - 2 y = 14 - 12 - 2 y = 2 : (-2) y = -1 Time smo riješili zadani sustav. Rj. ( -4, -1 ) Ponovimo još jednom: U zadanom sustavu smo imali suprotne koeficijente uz y, pa smo zbrajanjem jednadžbi dobili jednu jednadžbu s jednom nepoznanicom (u ovom slučaju sa x) i iz te smo jednadžbe izračunali x. Dobili smo da je x jednak -4, pa smo to uvrstili u prvu jednadžbu i dobili y. Pitanje: Bismo li dobili isto da smo to uvrstili u drugu jednadžbu? Odgovor: Da! Svejedno je u koju jednadžbu uvrštavamo! Ukoliko se želiš uvjeriti u to, klikni ovdje.

Primjer 1. : a) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -3 x - 2 y = 14 -7 x + 2 y = 26 -10 x x = 40 = -4 -3 ∙ (-4) - 2 y = 14 + : (-10) 12 - 2 y = 14 - 12 - 2 y = 2 : (-2) y = -1 Rj. ( -4, -1 ) Provjera rješenja: -3 · (-4) - 2 · (-1) = 12 + 2 = 14 Uvrstimo vrijednosti za x i yrezultat. Izračunajmo to. . . Dobilidobivene smo predviđeni u izraz na lijevoj. Otuda stranizaključujemo prve jednadžbe, da uređeni par (-4, -1) te provjerimo hoće li rezultat bitijednadžbu. jednak zadovoljava prvu desnoj strani iste jednadžbe. . . A drugu? . . .

Primjer 1. : a) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -3 x - 2 y = 14 -7 x + 2 y = 26 -10 x x = 40 = -4 -3 ∙ (-4) - 2 y = 14 + : (-10) 12 - 2 y = 14 - 12 - 2 y = 2 : (-2) y = -1 Rj. ( -4, -1 ) Provjera rješenja: -3 · (-4) - 2 · (-1) = 12 + 2 = 14 -7 · (-4) + 2 · (-1) = 28 - 2 = 26 I tu smo dobili predviđeni rezultat. Izračunajmo Dakle, uređeni to. . . par (-4, -1) zadovoljava i drugu jednadžbu. Stoga on zadovoljava obje jednadžbe, pa je on rješenje zadanog sustava.

Primjer 1. : b) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -x - 5 y = 26 x + 2 y = -11 + Imamo li i ovdje suprotne koeficijente? Imamo! Uz nepoznanicu x su koeficijenti -1 i +1 ! Zbrojimo i ovdje lijeve i desne strane jednadžbi. . .

Primjer 1. : b) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -x - 5 y = 26 x + 2 y = -11 -3 y = 15 + : (-3) Pogledajmo što smo dobili! Što je ovo? Što dobivamo zbrajanjem -x + x ? Koliko je to? -x i +x se poništavaju (daju nulu), a nulu ne moramo pisati (ona ne utiče na daljnje zbrajanje). Nastavljamo dalje. . . Sad računamo -5 y + 2 y. Koliko je to? To je jednadžba s jednom nepoznanicom; imamo samo y! Prepišemo znak jednakosti. Riješimo je! Završili smo sa zbrajanjem lijevih strana Kako ćemo riješiti tu jednadžbu? i krećemo na zbrajanje desnih. Računamo 26 - 11. To je. . .

Primjer 1. : b) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -x - 5 y = 26 x + 2 y = -11 -3 y = 15 + : (-3) y = -5 x + 2 ∙ (-5) = -11 x - 10 = -11 Riješimo x tu = jednadžbu. -11 + 10 Što ćemo prvo u njoj uraditi? Izmnožimo 2 ∙ (-5) ! x = -1 Izračunali smo koliki je y. Kako sad izračunati x ? Rj. ( -1, -5 ) Budući da smo saznali da je y jednak -5, umjesto y možemo uvrstiti broj -5, Provjeru napravi sam. . . bilo u prvu ili u drugu jednadžbu. Uvrstimo u drugu. . .

Primjer 1. : c) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -x - y = -2 -x + y = 14 + Imamo li i ovdje suprotne koeficijente? Uz koju nepoznanicu? Imamo, uz y su koeficijenti -1 i +1 ! A kakvi su koeficijenti uz x ? Uz x su jednaki koeficijenti ! Oba su -1. Hoćemo li zbrajanjem koeficijenata uz x dobiti nulu? Poništavaju li se oni? Ne! -1 - 1 = -2 A što dobivamo zbrajanjem koeficijenata uz y ? Ti su koeficijenti suprotni, pa njihovim zbrajanjem dobivamo nulu! -1 + 1 = 0 Zbrojimo. . .

Primjer 1. : c) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -x - y = -2 -x + y = 14 -2 x = 12 ( jer je -1 - 1 = -2 ) + Što dobivamo zbrajanjem -x - x ? Koliko je to? : (-2) Sad računamo -y + y. Koliko je to? y i -y se poništavaju (daju nulu), a nulu ne moramo pisati (ona ne utiče na daljnje zbrajanje). Nastavljamo dalje. . . Što ovdje računamo? Računamo -2 + 14. To je. . .

Primjer 1. : c) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -x - y = -2 -x + y = 14 -2 x = 12 x = -6 + : (-2) - (-6) - y = -2 6 - y = -2 - 6 Što ćemo napraviti? -y =tu-8 : (-1) (Promotri malo tu jednadžbu. ) y = 8 Sredimo onaj -(-6) ! Riješimo se zagrade. . . Sad izračunajmo y. . . Svejedno je u koju ćemo jednadžbu uvrstiti. Uvrstimo u prvu. . . Rj. ( -6, 8 ) Provjeru napravi sam. . .

Primjer 1. : d) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -x + 2 y = -4 x - 3 y = 4 + Uz koju nepoznanicu ovdje imamo suprotne koeficijente? Uz x su koeficijenti -1 i +1 !

Primjer 1. : d) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -x + 2 y = -4 x - 3 y = 4 -y = 0 + : (-1) ( Naime, 2 y - 3 y = -1 y , a umjesto -1 y je uobičajeno pisati samo -y. ) Što tu računamo? Računamo -x + x. Koliko je to? -x i +x se poništavaju (daju nulu), a nulu ne moramo pisati (ona ne utiče na daljnje zbrajanje). Nastavljamo dalje. . . Što sad računamo? Računamo 2 y - 3 y. Koliko je to? Što tu računamo? Računamo -4 + 4. To je. . .

Primjer 1. : d) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -x + 2 y = -4 x - 3 y = 4 -y = 0 + : (-1) x-3∙ 0 =4 x - 0 = 4 x = 4 Rj. ( 4, 0 ) Sad izračunajmo x. Svejedno je u koju ćemo jednadžbu uvrstiti. Provjeru napravi sam. . . Uvrstimo u drugu. . .

Sad uzmi papir i riješi sljedeće zadatke. Nakon zadataka, na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja. Sretno! 1. ) Riješi metodom suprotnih koeficijenata: a) -3 x - 2 y = -14 3 x - 6 y = -66 b) -3 x - y = -7 3 x - y = 11 c) -6 x + 3 y = -15 -5 x - 3 y = 26 d) x - y = 9 -x - y = -1 e) -4 x - 5 y = -48 3 x + 5 y = 46 f) -x + 3 y = 10 -x - 3 y = -2 Rješenja: a) (-2, 10) b) (3, -2) c) (-1, -7) d) (5, -4) e) (2, 8) f) (-4, 2)

Nadam se da si uspješno riješio zadatke. Time smo svladali metodu suprotnih koeficijenata u slučaju kad već u zadanom sustavu imamo suprotne koeficijente uz istu nepoznanicu. U sljedećoj prezentaciji ćemo naučiti kako primijeniti ovu metodu i na sustave u kojima nemamo suprotne koeficijente.

Autorica prezentacije: Antonija Horvatek svibanj 2011.

Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima, udžbenicima, na CD-ima. . . , za korištenje na predavanjima, radionicama. . . , potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare. . . Antonija Horvatek Matematika na dlanu http: //www. antonija-horvatek. from. hr/