Metoda suprotnih koeficijenata 2 dio namjetanje suprotnih koeficijenata

Metoda suprotnih koeficijenata 2. dio (namještanje suprotnih koeficijenata)

U prošloj smo prezentaciji naučili kako ovom metodom rješavati sustave u kojima već imamo suprotne koeficijente. Sad ćemo naučiti kako primijeniti ovu metodu na sustave u kojima zadani koeficijenti nisu suprotni.

Primjer 1. : a) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -6 x + 4 y = 8 8 x + 5 y = -21 Uočimo koeficijente u ovom sustavu. Koji su to brojevi? To su: -6, 4, 8 i 5. Ima li među njima suprotnih brojeva? Nema. Da bismo mogli primijeniti metodu suprotnih koeficijenata, uz istu nepoznanicu moramo namjestiti suprotne brojeve/koeficijente. Svejedno je hoćemo li ih namjestiti uz x ili uz y ; oba načina dovest će nas do istog rješenja. Prvo riješimo zadatak namještajući koeficijente uz x. . . (kasnije ćemo i uz y, pa usporediti jesmo li dobili ista rješenja)

Primjer 1. : a) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -6 x + 4 y = 8 8 x + 5 y = -21 Dakle, želimo namjestiti suprotne koeficijente uz x. Prvo uočimo koje koeficijente već imamo uz x. To su brojevi: -6 i 8. Uočimo njihove apsolutne vrijednosti (bez predznaka). To su: 6 i 8. Sad nađimo najmanji zajednički višekratnik brojeva 6 i 8 , V(6, 8) ! Dakle, tražimo najmanji broj koji je djeljiv i sa 6 i sa 8. To je broj 24. Ako ne znaš otkud 24, za objašnjenje klikni ovdje. U suprotnom, za nastavak klikni bilo gdje izvan tog linka.

Primjer 1. : a) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -6 x + 4 y = 8 8 x + 5 y = -21 · 4 · 3 Dakle, želimo namjestiti suprotne koeficijente uz x. Prvo uočimo koje koeficijente već imamo uz x. To su brojevi: -6 i 8. Uočimo njihove apsolutne vrijednosti (bez predznaka). To su: 6 i 8. Sad nađimo najmanji zajednički višekratnik brojeva 6 i 8 , V(6, 8) ! Dakle, tražimo najmanji broj koji je djeljiv i sa 6 i sa 8. To je broj 24. Dakle, i broj 6 i broj 8 možemo pomnožiti nekim prirodnim brojem da dobijemo 24. Nađimo te brojeve! S kojim brojem trebamo pomnožiti 6 da dobijemo 24 ? Sa 4. Cijelu jednadžbu u kojoj nam je koeficijent 6 (odnosno -6) pomnožimo sa 4. S kojim brojem trebamo pomnožiti 8 da dobijemo 24 ? S 3. Cijelu jednadžbu u kojoj nam je koeficijent 8 pomnožimo sa 3.

Primjer 1. : a) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -6 x + 4 y = 8 8 x + 5 y = -21 · 4 · 3 Prije nego što nastavimo, uočimo što ćemo uz x dobiti ovim množenjima. Sad pripazimo i na predznake koje imamo!!! Kad -6 x pomnožimo sa 4, dobit ćemo -24 x. Kad 8 x pomnožimo sa 3, dobit ćemo +24 x. Dakle, tim množenjima ćemo uz x dobiti koeficijente -24 i +24, a to su suprotni brojevi (suprotni koeficijenti). To je ono što želimo postići! Krenimo na ta množenja…

Primjer 1. : a) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -6 x + 4 y = 8 8 x + 5 y = -21 -24 x + 16 y = 32 24 x + 15 y = -63 31 y = -31 y = -1 · 4 · 3 Prvu jednadžbu pomnožimo brojem 4. + Dakle, sve pribrojnike redom množimo sa 4. . . Drugu jednadžbu pomnožimo brojem 3. Dobili smo novi sustav. Dakle, sve pribrojnike redom množimo sa 3. . . : 31 U njemu imamo suprotne koeficijente! Što dobivamo zbrajanjem? Takve sustave znamo rješavati. . . Sad umjesto y možemo uvrstiti -1 u bilo koju jednadžbu. Uvrstimo u prvu. . .

Primjer 1. : a) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -6 x + 4 y = 8 8 x + 5 y = -21 -24 x + 16 y = 32 24 x + 15 y = -63 31 y = -31 y = -1 -6 x + 4 ∙ (-1) = 8 · 4 · 3 -6 x - 4 = 8 -6 x = 8 + 4 + : 31 -6 x = 12 : (-6) x = -2 Rj. ( -2, -1 ) Provjeru napravi sam. . .

Primjer 1. : a) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -6 x + 4 y = 8 8 x + 5 y = -21 -24 x + 16 y = 32 24 x + 15 y = -63 31 y = -31 y = -1 -6 x + 4 ∙ (-1) = 8 · 4 · 3 -6 x - 4 = 8 -6 x = 8 + 4 + : 31 -6 x = 12 : (-6) x = -2 Rj. ( -2, -1 ) Ponovimo još jednom kako smo razmišljali rješavajući ovaj sustav. Odlučili smo da ćemo uz x namjestiti suprotne koeficijente. Stoga smo uočili koje koeficijente imamo uz x (-6 i 8), te koje su njihove apsolutne vrijednosti (6 i 8). Našli smo najmanji zajednički višekratnik tih brojeva, V(6, 8) = 24. Našli smo brojeve s kojima trebamo množiti uočene koeficijente (6 i 8) da bismo dobili 24. To su brojevi 4 i 3. Uz sustav smo naznačili množenja tim brojevima.

Primjer 1. : a) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -6 x + 4 y = 8 8 x + 5 y = -21 -24 x + 16 y = 32 24 x + 15 y = -63 31 y = -31 y = -1 -6 x + 4 ∙ (-1) = 8 · 4 · 3 -6 x - 4 = 8 -6 x = 8 + 4 + : 31 -6 x = 12 x = -2 : (-6) . . . Rj. ( -2, -1 ) Izvršili smo množenja jednadžbi tim brojevima. . . i dobili sustav u kojem imamo suprotne koeficijente uz x. Dalje smo nastavili po starom i došli do rješenja. Kao što smo spomenuli na početku, svejedno je hoćemo li krenuti od toga da uz x namjestimo suprotne koeficijente ili od toga da ih namjestimo uz y. Mi smo u ovom sustavu odlučili namještati uz x. Riješimo sad isti sustav tako da uz y namjestimo suprotne koeficijente. Označimo to kao b primjer.

Primjer 1. : b) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -6 x + 4 y = 8 8 x + 5 y = -21 · 5 · 4 Sad želimo namjestiti suprotne koeficijente uz y. Prvo uočimo koje koeficijente već imamo uz y. To su brojevi: 4 i 5. Nađimo njihov najmanji zajednički višekratnik, V(4, 5) ! Dakle, tražimo najmanji broj koji je djeljiv i sa 4 i sa 5. To je broj 20. Dakle, i broj 4 i broj 5 možemo pomnožiti nekim prirodnim brojem da dobijemo 20. Nađimo te brojeve! S kojim brojem trebamo pomnožiti 4 da dobijemo 20 ? S 5. Stoga cijelu jednadžbu u kojoj nam je koeficijent 4 pomnožimo s 5. S kojim brojem trebamo pomnožiti 5 da dobijemo 20 ? Sa 4. Stoga cijelu jednadžbu u kojoj nam je koeficijent 5 pomnožimo sa 4.

Primjer 1. : b) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -6 x + 4 y = 8 8 x + 5 y = -21 · 5 (-5) · 4 Prije nego što nastavimo, uočimo što ćemo uz y dobiti ovim množenjima. Sad pripazimo i na predznake koje imamo!!! Kad 4 y pomnožimo sa 5, dobit ćemo 20 y. Kad 5 y pomnožimo sa 4, dobit ćemo 20 y. Hoćemo li tim množenjima uz y dobiti suprotne koeficijente? Ne, dobit ćemo jednake koeficijente (20 i 20) ! To nije ono što želimo postići! Imaš li ideju koju sitnicu (u vezi množenja) trebamo promijeniti da bismo dobili suprotne koeficijente? Jednostavno! Promijenimo predznak jednom od brojeva s kojima množimo jednadžbe. (ili broju 5 ili broju 4) Npr. promijenimo predznak broju 5. . .

Primjer 1. : b) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -6 x + 4 y = 8 8 x + 5 y = -21 · (-5) · 4 Hoće li sad ispasti suprotni koeficijenti uz y ? Provjerimo još jednom. . . Kad 4 y pomnožimo sa -5, dobit ćemo -20 y. Kad 5 y pomnožimo sa 4, dobit ćemo 20 y. Hoćemo li tim množenjima uz y dobiti suprotne koeficijente? Hoćemo! To je to! Krenimo sad na množenja. . .

Primjer 1. : b) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: · (-5) · 4 -6 x + 4 y = 8 8 x + 5 y = -21 30 x - 20 y = -40 32 x + 20 y = -84 62 x = Prvu jednadžbu pomnožimo brojem -5. + Dakle, sve pribrojnike redom množimo sa -5. . . Drugu jednadžbu pomnožimo brojem 4. Dobili smo novi sustav. Dakle, sve pribrojnike redom množimo sa 4. . . -124 : 62 U njemu imamo suprotne koeficijente! Što dobivamo zbrajanjem? Takve sustave znamo rješavati. . . x = -2 Sad umjesto x možemo uvrstiti -2 u bilo koju jednadžbu. Uvrstimo u prvu. . .

Primjer 1. : b) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: · (-5) · 4 -6 x + 4 y = 8 8 x + 5 y = -21 30 x - 20 y = -40 32 x + 20 y = -84 62 x = -124 x = -2 -6 ∙ (-2) + 4 y = 8 12 + 4 y = 8 - 12 + : 62 4 y = -4 : 4 y = -1 Rj. ( -2, -1 ) Dobili smo isto rješenje kao i u a primjeru! Dakle, svejedno je uz koju nepoznanicu namještamo suprotne koeficijente.

Primjer 1. : c) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: 6 x + 5 y = 11 9 x + 2 y = -22 Uočimo koeficijente u ovom sustavu. Koji su to brojevi? To su: 6, 9, 5 i 2. Ima li među njima suprotnih brojeva? Nema. Onda moramo namjestiti suprotne koeficijente ili uz x ili uz y, svejedno uz koju nepoznanicu. Namjestimo suprotne koeficijente uz x.

Primjer 1. : c) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: 6 x + 5 y = 11 9 x + 2 y = -22 · 3 · 2 Dakle, želimo namjestiti suprotne koeficijente uz x. Uočimo koje koeficijente već imamo uz x. To su brojevi: 6 i 9. Nađimo njihov najmanji zajednički višekratnik, V(6, 9) = 18. Dakle, i broj 6 i broj 9 možemo pomnožiti nekim prirodnim brojem da dobijemo 18. Nađimo te brojeve! S kojim brojem trebamo pomnožiti 6 da dobijemo 18 ? Sa 3. Stoga cijelu jednadžbu u kojoj nam je koeficijent 6 pomnožimo sa 4. S kojim brojem trebamo pomnožiti 9 da dobijemo 18 ? S 2. Stoga cijelu jednadžbu u kojoj nam je koeficijent 9 pomnožimo sa 2.

Primjer 1. : c) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: 6 x + 5 y = 11 9 x + 2 y = -22 · 3 · (-2) 2 Prije nego što nastavimo, uočimo što ćemo uz x dobiti ovim množenjima. Sad pripazimo i na predznake koje imamo!!! Kad 6 x pomnožimo sa 3, dobit ćemo 18 x. Kad 9 x pomnožimo sa 2, dobit ćemo 18 x. Hoćemo li tim množenjima uz x dobiti suprotne koeficijente? Ne, dobit ćemo jednake koeficijente (18 i 18) ! To nije ono što želimo postići! Što trebamo promijeniti da bismo dobili suprotne koeficijente? Trebamo promijeniti predznak jednom od brojeva s kojima množimo jednadžbe (ili broju 3 ili broju 2) ! Npr. promijenimo predznak broju 2. . .

Primjer 1. : c) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: 6 x + 5 y = 11 9 x + 2 y = -22 · 3 · (-2) Hoće li sad ispasti suprotni koeficijenti uz x ? Provjerimo još jednom. . . Kad 6 x pomnožimo sa 3, dobit ćemo 18 x. Kad 9 x pomnožimo sa -2, dobit ćemo -18 x. Hoćemo li tim množenjima uz x dobiti suprotne koeficijente? Hoćemo! To je to! Krenimo sad na množenja. . .

Primjer 1. : c) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: 6 x + 5 y = 11 9 x + 2 y = -22 18 x + 15 y = 33 -18 x - 4 y = 44 11 y = 77 y = 7 · 3 · (-2) Prvu jednadžbu pomnožimo brojem 3. + Dakle, sve pribrojnike redom brojem množimo-2 sa. 3. . . Drugu jednadžbu pomnožimo Dobili smo novi sustav. Dakle, sve pribrojnike redom množimo sa -2. . . : 11 U njemu imamo suprotne koeficijente! Što dobivamo zbrajanjem? Riješimo ga. . . Sad umjesto y možemo uvrstiti 2 u bilo koju jednadžbu. Uvrstimo u drugu. . .

Primjer 1. : c) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: 6 x + 5 y = 11 9 x + 2 y = -22 · 3 · (-2) 18 x + 15 y = 33 -18 x - 4 y = 44 + 11 y = 77 y = 7 9 x + 2 ∙ 7 = -22 9 x + 14 = -22 9 x = -22 - 14 : 11 9 x = -36 : 9 x = -4 Rj. ( -4, 7 ) Provjeru napravi sam. . .

Primjer 1. : d) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -5 x - 4 y = 12 -35 x - 30 y = 90 · (-7) Uočimo koeficijente u ovom sustavu. Koji su to brojevi? To su: -5, -35, -4 i -30. Ima li među njima suprotnih brojeva? Nema. Onda moramo namjestiti suprotne koeficijente ili uz x ili uz y, svejedno uz koju nepoznanicu. Uz koju bi ti? Ja sam odlučila namjestiti suprotne koeficijente uz x. Što misliš, koji je razlog? (pogledaj koeficijente uz x) Koeficijenti uz x su -5 i -35. Budući da je 35 djeljiv sa 5, donju ću jednadžbu ostaviti kakva je (neću je ni sa čime množiti), tj. u njoj će ostati -35 x , a gornju ću pomnožiti - sa čime? Koji koeficijent gore treba namjestiti (uz x)? Ako u donjoj jednadžbi imamo -35 x , onda u gornjoj treba namjestiti +35 x. Da bismo to dobili, gornju jednadžbu trebamo pomnožiti sa -7. Dakle, gornju jednadžbu pomnožimo sa -7, a donju samo prepišemo. Učinimo to!

Primjer 1. : d) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -5 x - 4 y = 12 -35 x - 30 y = 90 35 x + 28 y = -84 -35 x - 30 y = 90 -2 y = 6 y = -3 · (-7) + : (-2) Drugu jednadžbu samo prepišemo (jer nam Dobili smo novi sustav. u njoj odgovara koeficijent uz x). U njemu imamo suprotne koeficijente! Što dobivamo zbrajanjem? Riješimo ga. . . Sad umjesto y možemo uvrstiti -3 u bilo koju jednadžbu. Uvrstimo u prvu. . .

Primjer 1. : d) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: -5 x - 4 y = 12 -35 x - 30 y = 90 35 x + 28 y = -84 -35 x - 30 y = 90 -2 y = 6 y = -3 · (-7) -5 x - 4 ∙ (-3) = 12 -5 x + 12 = 12 + : (-2) -5 x = 12 -5 x = 0 : (-5) x = 0 Rj. ( 0, -3 ) Provjeru napravi sam. . .

Primjer 1. : e) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: 3 x - 2 y = -8 5 x - 2 y = -24 · (-1) Uočimo koeficijente u ovom sustavu. Koji su to brojevi? To su: 3, 5, -2 i -2. Ima li među njima suprotnih brojeva? Nema. Onda moramo namjestiti suprotne koeficijente ili uz x ili uz y, svejedno uz koju nepoznanicu. Uz koju bi ti? Ja sam odlučila namjestiti suprotne koeficijente uz y. Što misliš, koji je razlog? Koeficijenti uz y su -2 i -2, dakle jednaki su !!! Kako od njih stvoriti suprotne koeficijente? Vrlo jednostavno! Tako da jednog od njih pomnožimo s -1. Time će mu se promijeniti predznak! Svejedno je koju ćemo jednadžbu pomnožiti s -1. Npr. pomnožimo donju. Dakle, gornju jednadžbu samo prepišemo, a donju pomnožimo sa -1. Učinimo to!

Primjer 1. : e) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: 3 x - 2 y = -8 5 x - 2 y = -24 3 x - 2 y = -8 -5 x + 2 y = 24 -2 x = 16 x = -8 · (-1) + Prvu smo jednažbu prepisali. U drugoj svaki pribrojnik pomnožimo s : (-2) Dobili smo sustav sa suprotnim koeficijentima. 1. Riješimo ga! Sad umjesto x možemo uvrstiti -8 u bilo koju jednadžbu. Uvrstimo u prvu. . . Dakle, gornju jednadžbu samo prepišemo, a donju pomnožimo sa -1. Učinimo to!

Primjer 1. : e) Riješimo metodom suprotnih koeficijenata: 3 x - 2 y = -8 5 x - 2 y = -24 3 x - 2 y = -8 -5 x + 2 y = 24 -2 x = 16 x = -8 · (-1) + 3 ∙ (-8) - 2 y = -8 -24 - 2 y = -8 -2 y = -8 + 24 : (-2) -2 y = 16 : (-2) y = -8 Rj. ( -8, -8 ) Provjeru napravi sam. . .

Nadam se da si shvatio postupak. Provjerimo! Uzmi papir i riješi sljedeće zadatke. Nakon zadataka, na sljedeći klik prikazat će ti se i rješenja. Sretno! 1. ) Riješi metodom suprotnih koeficijenata: a) x - 8 y = 26 3 x + 5 y = 20 b) -21 x + 16 y = 122 -7 x - 2 y = 4 c) 2 x - 3 y = 2 3 x - 5 y = 5 d) -x + 8 y = -6 -3 x + 5 y = 20 e) 10 x - 3 y = -22 -6 x + 4 y = 0 f) x + 2 y = -22 2 x + 6 y = -60 -3 2 3 -2 x - y = 2 g) -x - 2 y = h) x - 2 y = 40 x + 3 y = -60 i) -3 x - y = 9 -x - 2 y = -2 j) 4 x - 3 y = -28 -2 x + y = 14 k) -5 x + 3 y = 27 -x - 7 y = 51 Rješenja: a) 10, -2) b) (-2, 5) c) (-5, -4) d) (-10, -2) e) (-4, -6) f) (-6, -8) g) (-3/2, 3/2) h) (0, - 20) i) (-4, 3) j) (-7, 0) k) (-9, -6)

Nadam se da si uspješno riješio zadatke. Time smo svladali metodu suprotnih koeficijenata, tj. naučili kako je primijeniti na bilo koji sustav jednadžbi.

Jedino nam još preostaje odgovoriti na pitanje: Ako isti sustav riješimo i metodom supstitucije i metodom suprotnih koeficijenata, hoćemo li doći do istog rješenja? Provjerimo na jednom jednostavnom sustavu. Primjer: Sljedeći sustav riješi i metodom suspstitucije i metodom suprotnih koeficijenata: x - 2 y = -16 3 x + 2 y = -8 (Sustav riješi sam, a nakon sljedećeg klika ovdje će ti se prikazati rješenje. ) Rj. ( -6, 5 ) Oba postupka vode do istog rješenja! Koji postupak kad koristiti, ovisi o samom sustavu (kod nekih sustava neki postupak brže vodi do rješenja od onog drugog), kao i o sklonostima onoga tko rješava sustav.

To bi bilo sve. Sretno!!!

Autorica prezentacije: Antonija Horvatek svibanj 2011.

Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima, udžbenicima, na CD-ima. . . , za korištenje na predavanjima, radionicama. . . , potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare. . . Antonija Horvatek ahorvatek@yahoo. com http: //public. carnet. hr/~ahorvate