Meccanica 15 19 aprile 2011 Fluidi Viscosita Pressione

Meccanica 15 19 aprile 2011 Fluidi. Viscosita`. Pressione Fluidostatica. Leggi di Stevino, Pascal, Archimede Fluidodinamica. Moto stazionario. Tubo di flusso. Portata Legge di Leonardo Legge di Bernoulli

Fluidi • Comprendono i liquidi e i gas • I fluidi possono fluire o scorrere, e quindi, a differenza dei solidi, non riescono a sostenere staticamente uno sforzo di taglio • I liquidi, a differenza dei gas, sono essenzialmente incomprimibili, quindi la loro densità si può considerare (approssimativamente) costante • La meccanica dei fluidi si divide in – Statica – Dinamica • Lo studio concerne non solo i fluidi, ma anche i corpi immersi in essi o le pareti che li contengono 2

Fluidi • Riguarderemo i fluidi come sistemi continui, caratterizzati da densità e composti di elementi di massa dm e volume d. V: • In realtà la materia di cui sono fatti i fluidi ha struttura discreta, cioè è costituita di atomi e molecole • Considerarli sistemi continui è un’utile approssimazione • I fluidi possono trasmettere sforzi: – Nei liquidi grazie alle forze intermolecolari a corto raggio d’azione – Nei gas grazie alle collisioni tra le molecole che li costituiscono 3

Viscosità • In un fluido in moto lo sforzo può trasmettersi anche perpendicolarmente alla direzione lungo cui è applicata la sollecitazione • Questo è possibile grazie ad una grandezza fisica propria dei fluidi detta viscosità (e indicata con ) • Quando c’è scorrimento relativo tra due elementi di fluido, compaiono sull’area di contatto forze tangenziali d’attrito interno • I due elementi esercitano l’uno sull’altro due forze uguali e contarie (3° principio) 4

Viscosità • In un fluido in equilibrio statico non ci sono forze viscose, quindi le condizioni di equilibrio sono le stesse per fluidi viscosi e non viscosi • Non esiste il corrispondente dell’attrito statico: in assenza di moto (v=0) non c’è attrito viscoso • Per semplicità si considera spesso il caso ideale in cui la viscosità sia nulla e la densità sia uniforme (fluido ideale) 5

Pressione • In un intorno di un punto P qualunque di una superficie a contatto con un fluido, consideriamo una superficie infinitesima di area d. A • Su di essa il fluido agisce con una forza d. F • Definiamo (in termini differenziali) la pressione come forza per unità di superficie: • La forza d. F, e quindi la pressione, possono variare da punto della superficie, perciò abbiamo usato la definizione differenziale 6

Pressione • TH: la forza esercitata da un fluido in equilibrio statico su una superficie è perpendicolare alla stessa, punto per punto • DIM: se esistesse una componente parallela, il fluido scorrerebbe e non sarebbe in condizioni statiche 7

Pressione • In un fluido in equilibrio statico la pressione non dipende dalla giacitura della superficie su cui agisce • Consideriamo un volume di fluido a forma di prisma, le cui sezioni con i piani verticali xz siano un triangolo rettangolo z y x z y x 8

Pressione • Consideriamo la sezione contenente il CM del prisma (per simmetria è quella mediana) • Le risultanti delle forze di pressione sulle facce, F 1, F 2, F 3, siano applicate ai punti P 1, P 2 , P 3 • Il fluido è in equilibrio, usiamo la 1 a eq. cardinale F 3 P 3 z F 1 P 1 CM W x P 2 F 2 9

Pressione • In termini di pressione: F 1 F 3 P 3 z P 1 CM W x P 2 F 2 • Esprimendo le aree in funzione dei lati • E semplificando 10

Pressione • Le pressioni sono calcolate nei punti Pi F 1 • Esprimiamole come sviluppo in serie al 1° ordine rispetto al CM F 3 P 3 z P 1 CM W x P 2 F 2 11

Pressione • Se facciamo tendere le dimensioni del prisma a zero, mantenendo fisso il CM: • E quindi la pressione non dipende dalla giacitura della superficie su cui agisce 12

Legge di Stevino • TH: in un fluido in equilibrio statico nel campo di gravità la pressione aumenta linearmente con la profondità p(z 1) • DIM: sia dato un elemento cilindrico di fluido di volume V, base A e altezza z 2 -z 1 • L’equilibrio statico impone che la forza W risultante sia nulla • Nel piano xy questo è dovuto alla p(z 2) simmetria z 13

Legge di Stevino • Lungo z le forze di pressione e la forza peso devono bilanciarsi • Detta la densità del fluido • Se le quote differiscono per un infinitesimo • Abbiamo cioè la versione differenziale della legge 14

Legge di Stevino • Se avessimo scelto il verso opposto sull’asse z, avremmo p(z 2) • ovvero W • Ovviamente bisogna introdurre un segno meno anche nella versione diferenziale p(z 1) z 15

Legge di Pascal • Orientiamo z verso il basso e poniamo come origine (z=0) la superficie limite del liquido, sia p 0 la pressione esterna agente su tale superficie, abbiamo • Ogni variazione della pressione esterna comporta un uguale cambiamento della pressione in ciascun punto del fluido 16

Pressa idraulica • E` un’applicazione della legge di Pascal • E` formata da due contenitori idraulici a tenuta C 1 e C 2 , collegati da un condotto e dotati di due pistoni scorrevoli di area A 1 e A 2 • Applicando una forza F 1 sul pistone 1, la pressione in ogni punto del fluido aumenta di • Sul pistone 2 questo aumento di pressione si traduce in una forza F 2 F 1 A 2 A 1 C 2 C 1 17

Vasi comunicanti • L’altezza raggiunta da un liquido in vasi comunicanti e` uguale in tutti i vasi: h 1=h 2 • Il principio si dimostra con la legge di Stevino: la pressione sulla superficie libera è uguale per i diversi vasi, così come quella alla base • Ne segue che la differenza di pressione è uguale per i diversi vasi, il che si traduce in un’uguale altezza delle colonne di fluido h 1 h 2 18

Paradosso idrostatico • La pressione dipende solo dall’altezza del fluido sovrastante e non dalla sua massa • Quindi nei tre contenitori in figura, la pressione sul fondo e` la stessa, nonostante la massa del fluido sia diversa nei tre casi • Ciò è dovuto al fatto che le pareti contribuiscono con una forza che si compone col peso del fluido Pressione all’interno del contenitore 19

Barometro di Torricelli • E` costituito da un tubo di vetro aperto ad un’estremita` e riempito di mercurio e da una vaschetta contenente mercurio in cui capovolgere il tubo • Esso servì a dimostrare per la prima volta che l’atmosfera ha un peso ed è usato ancor oggi per misurare la pressione atmosferica (barometro di Fortin) • La pressione esercitata dalla colonna di mercurio di altezza h e` bilanciata dalla pressione atmosferica agente sulla h p superficie libera del mercurio nella vaschetta 20

Manometro a liquido • E` costituito da un tubo a ”U” riempito da un liquido di densita` nota • Serve per misurare una differenza di pressione (o pressione differenziale) 21

Superfici isobariche • Dalla legge di Stevino • Vediamo che per z=costante la pressione è costante • Ma z=costante rappresenta un piano orizzontale • Superfici di questo tipo per cui la pressione è costante si dicono isobare 22

Forza di Archimede • Sia dato un corpo di peso W e densità immerso in un fluido di densità f • Esiste una forza, detta di Archimede, che agisce sul corpo, uguale al peso del volume di fluido occupato dal corpo e diretta in direzione opposta al suo peso • Il corpo sia delimitato da una superficie S • Immaginiamo un secondo corpo, fluido, delimitato dalla stessa superficie S e costituito dello stesso fluido in cui è immerso S 23

Forza di Archimede • Poiché il fluido è in equilibrio, il corpo fluido è pure in equilibrio, questo significa che il suo peso Wf è bilanciato dalla forza risultante A dovuta all’azione della pressione del fluido esterno sulla superficie S, quindi • Ove V è il volume comune dei due corpi e Mf è la massa del corpo fluido • Ma la forza A dipende solo dalla superficie S e non da quello che essa contiene • Ne segue che A agisce anche sul primo corpo A W 2 A W 1 24

Forza di Archimede • La forza risultante è infine • E ha verso uguale al peso (il corpo tenderà a scendere nel fluido) o opposto (tenderà a salire) a seconda del segno della differenza delle densità 25

Forza di Archimede • Abbiamo visto che la forza di Archimede, bilanciando il peso del corpo fluido, è applicata nel suo CM • Se soltanto una parte del corpo è immersa, la forza di Archimede è relativa a questa parte soltanto • Poiché il primo corpo può avere il CM in un punto diverso dal corpo fluido (corpo non omogeneo, ad esempio una barca), avremo in generale anche un momento risultante A A W Situazione di non equilibrio W 26

Galleggiamento • Iceberg in equilibrio statico • Ovvero A G B W • Da cui troviamo il volume immerso 27

Galleggiamento di una barca • • G: centro di gravita` della barca B: centro di spinta di Archimede M: metacentro f: angolo di inclinazione f 28

Misura di densita` di un liquido: Densimetro • Sia m la massa del densimetro, A sia la sezione dello stelo su cui e` incisa una scala che permette di leggere la lunghezza immersa h dello stelo • Sia V 0 il volume del bulbo • All’equilibrio • Da cui la densita` del liquido 29

Misura di densita` di un corpo sommerso • Mediante un dinamometro si eseguono due misure, la prima con il corpo in aria e la seconda con il corpo immerso in un liquido di densita` nota L T T’ A W W 30

Moto di un fluido • La descrizione del moto di un fluido è, in generale, molto complessa • Adotteremo la descrizione euleriana del moto: fissiamo l’attenzione su di un punto P(x, y, z) dello spazio e sulla velocità v(x, y, z, t) di un elemento fluido che passa per tale punto • Scopo della dinamica dei fluidi è determinare la funzione v, in base ai principi della meccanica, per tutti i punti in cui si trova il fluido, e per tutti i valori di t 31

Moto stazionario • Per semplicità studieremo solo fluidi ideali e il moto in regime stazionario, caratterizzato dal fatto che v dipenda solo dalle coordinate spaziali, ma sia costante nel tempo: v=v(x, y, z) • Linee di corrente o di flusso: sono linee (traiettorie) percorse da ciascun elemento ideale di volume • In ogni punto hanno la direzione e il verso della velocità v, ne segue che due linee di flusso non possono intersecarsi • Sperimentalmente si possono visualizzare, almeno approssimativamente, iniettando nel fluido polveri particolari che vengano trasportate dalla corrente del fluido 32

Tubo di flusso • Tutte le linee di corrente che passano attraverso una generica superficie attraversata dal fluido, individuano un tubo di flusso • Un condotto chiuso, se riempito completamente di fluido, è un esempio di tubo di flusso, in cui la superficie in questione è una generica sezione del condotto • Per un tubo finito, possiamo definire una superficie laterale e due superfici di base • In situazione stazionaria le linee di flusso non possono intersecare la superficie laterale 33

Portata • Consideriamo un tubo di flusso di sezione d. S (e area d. A) perpendicolare alle linee di corrente • Il volume di fluido che attraversa d. S nel tempo dt è pari al volume del solido di base d. S e altezza vdt d. A v 34

Portata • Il volume di fluido passato nell’unità di tempo prende il nome di portata • Se la sezione è finita, la portata relativa è data dall’integrale esteso a tutta la sezione • La portata ha dimensioni • E l’unità di misura è il m 3/s 35

Portata, flusso, corrente • Il concetto di portata in idrodinamica e` analogo al concetto di flusso e di corrente in altri ambiti • Portata volumica Supposta la velocita` uniforme sulla superficie • Flusso di massa • Corrente elettrica • Ove e` la densita` di corrente 36

Equazione di continuita` • Supponiamo che il tubo di flusso cambi sezione • Siano d. S 1 e d. S 2 le sezioni diverse del tubo e consideriamo il volume di fluido contenuto nel tubo tra queste sezioni • In condizioni stazionarie il fluido può soltanto entrare da d. S 1 e uscire da d. S 2 ma non dalla superficie laterale del tubo di flusso • La massa entrante da d. S 1 e quella uscente da d. S 2 sono d. S 1 v 1 dt d. A 1 v 1 d. S 2 d. A 2 v 2 dt v 2 37

Equazione di continuita` • Poiche’ la massa si conserva, esse devono essere uguali • ovvero • Stesse considerazioni per • Per una superficie finita S dovremo integrare i contributi infinitesimi su tutta la superficie • La costanza del flusso di massa prende il nome di equazione di continuita` 38

Conservazione della portata • Se la densita` e` uniforme, la si puo` eliminare dalle eqq. , ottenendo • Cioe`, se il fluido è incompressibile, in un dato intervallo di tempo, tanto volume entra da S 1 quanto ne esce da S 2, in quanto non è possibile che il volume tra le due sezioni vari riducendosi o espandendosi • Ne segue che la portata attraverso le due sezioni è uguale 39

Legge di Leonardo • Usando il valore medio della velocità sulla sezione, la portata può scriversi • E su sezioni di area diversa, il teorema precedente diviene • Ovvero area e velocità sono inversamente proporzionali 40

Densita` delle linee di flusso • Siano N le linee di flusso contenute in un tubo di flusso, la loro densita` superficiale sulle due basi e` • Tali densita` sono quindi inversamente proporzionali all’area della sezione attraversata e, per la legge di Leonardo, direttamente proporzionali alla velocita` del fluido nelle sezioni 41

Legge di Bernoulli • Consideriamo un tubo di flusso e due sezioni perpendicolari S 1, S 2 • Supponiamo che la velocità del fluido su ciascuna sezione abbia un valore uniforme v 1, v 2 • Nell’intervallo dt la sezione S 1 si trasformerà nella sezione S’ 1 e la S 1 S’ 1 sezione S 2 nella sezione S’ 2 e la massa di fluido che al tempo t si ds 1=v 1 dt trova tra S 1 e S 2, al tempo t+dt si troverà tra S’ 1 e S’ 2 ds 2=v 2 dt z 1 S 2 z 2 S’ 2 42

Legge di Bernoulli • Il volume di fluido contenuto tra le sezioni S 1 e S’ 1 e quello contenuto tra S 2 e S’ 2 è S 1 S’ 1 ds 1=v 1 dt • Per la legge di Leonardo, i volumi sono uguali; le corrispondenti masse sono pure uguali ds 2=v 2 dt z 1 S 2 z 2 S’ 2 43

Legge di Bernoulli • Applichiamo la conservazione dell’energia meccanica alla massa di fluido che al tempo t si trova tra S 1 e S 2 e al tempo t+dt si trova tra S’ 1 e S’ 2 S 1 S’ 1 ds 1=v 1 dt • Poiché siamo in regime stazionario, il fluido compreso tra le sezioni S’ 1 e S 2 non cambia il suo stato di moto • Un cambiamento avviene per le masse contenute tra le sezioni S 1, S’ 1 e S 2, S’ 2 ds 2=v 2 dt z 1 S 2 z 2 S’ 2 44

Legge di Bernoulli • Basterà quindi applicare la conservazione dell’energia alle due masse dm 1, dm 2 • Il lavoro delle forze di pressione e di gravità dev’essere uguale alla variazione di energia cinetica • Lavoro della forze di gravità p 1 S’ 1 ds 1=v 1 dt • Le forze di pressione agiscono sulle sezioni S 1, S 2, e sulle pareti laterali del tubo ds 2=v 2 dt z 1 S 2 z 2 S’ 2 p 2 45

Legge di Bernoulli • Queste ultime compiono lavoro nullo, in quanto in assenza di viscosità la forza è perpendicolare alla superficie laterale e quindi al moto del fluido • Il lavoro delle forze agenti sulle sezioni è p 1 S’ 1 • La variazione di energia cinetica è ds 1=v 1 dt ds 2=v 2 dt z 1 S 2 z 2 S’ 2 p 2 46

Legge di Bernoulli • Abbiamo dunque • E dividendo per il volume S 1 S’ 1 ds 1=v 1 dt • Ovvero, vista l’arbitrarietà delle sezioni ds 2=v 2 dt z 1 S 2 z 2 S’ 2 47

Legge di Bernoulli • I risultati calcolati con questa legge sono casi limite, poiché in un fluido reale bisogna sempre spendere lavoro contro gli attriti • Quindi c. p. la variazione di velocità del fluido sarà minore di quanto calcolato 48

Tubo di Venturi 2 1 • Serve per misurare la velocita` e la portata di un fluido in un condotto M • E` dotato di un manometro differenziale M per la misura della pressione • Applichiamo la legge di Bernoulli alle sezioni 1 e 2, entrambe alla stessa quota media z

Tubo di Venturi 2 1 M • Usando l’eq. di continuita`, possiamo esprimere la velocita` in 2 in termini della velocita` in 1 • Per la velocita` otteniamo 50

Tubo di Pitot 1 2 • Serve per misurare la velocita` di un fluido, anch’esso e` dotato di un manometro differenziale • Applichiamo la legge di Bernoulli, notando che la velocita `del fluido nel punto 1 e` nulla • Ne segue p 1 e` anche detta pressione totale e p 2 pressione statica, mentre il termine 1/2 v 2 e` detto pressione dinamica 51

Legge di Torricelli • Descrive la velocita` di efflusso di un bacino • Applichiamo Bernoulli notando che la pressione nei punti 1 e 2 e` uguale a quella atmosferica 1 • Quindi 2 • Applichiamo la conservazione della portata alle sezioni 1 e 2 52

Legge di Torricelli • Se A 1>> A 2 , la velocita` v 1 e` trascurabile e otteniamo • Che e` uguale alla velocita` di caduta libera dalla medesima altezza 53