LIMITE DE UMA FUNO Aula 01 Matemtica I

LIMITE DE UMA FUNÇÃO Aula 01 – Matemática I – Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

Uma bola cai com cada vez mais velocidade com o passar do tempo. Galileu descobriu que a distância da queda é proporcional ao quadrado do tempo em que ela está em queda. O Cálculo então nos permite conhecer a velocidade da bola em um dado instante.

• • A ideia de limites é a base dos vários ramos do Cálculo. Por isso, é apropriado começar nossos estudos de cálculo examinando os limites e suas propriedades. • O tipo especial de limite usado para encontrar as tangentes e as velocidades dá origem à ideia central do cálculo diferencial – a derivada.

• 1, 0 2, 000000 3, 0 8, 000000 1, 5 2, 750000 2, 5 5, 750000 1, 8 3, 440000 2, 2 4, 640000 1, 9 3, 710000 2, 1 4, 310000 1, 95 3, 852500 2, 05 4, 152500 1, 99 3, 970100 2, 01 4, 030100 1, 995 3, 985025 2, 005 4, 015025

12 f(x) = x 2 –x+2 Da tabela e do gráfico de f (uma parábola), vemos que quando x estiver próximo de 2 (de qualquer lado de 2), f(x) tenderá a 4. De fato, parece que podemos tornar os valores de f(x) tão próximos de 4 quanto quisermos, ao tornar x suficientemente próximo de 2. Expressamos isso dizendo que “o limite da função f(x) = x 2 –x+2 quando x tende a 2 é igual a “ 4”. 10 8 6 4 2 0 0 5

A notação para isso é: •

Estime o valor de • 0, 5 0, 666667 1, 5 0, 400000 0, 9 0, 526316 1, 1 0, 476190 0, 99 0, 502513 1, 01 0, 497512 0, 999 0, 500250 1, 001 0, 499750 0, 9999 0, 500025 1, 0001 0, 499975

2, 5 2 1, 5 1 0, 5 0 -1 0 1 2 3

• 2, 5 2 1, 5 1 Essa nova função g tem o mesmo limite quando x tende a 1. 0, 5 0 -1 0 1 2 3

Limites laterais •

• -5 12 12 10 10 8 8 6 6 4 4 2 2 0 0 0 5 -5 0 5

Definição •

• 3, 5 3 2, 5 2 1, 5 1 0, 5 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Limites Infinitos • 1 4 25 100 400 10. 000 1. 000

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -5 0 5

Definição •

Definição •

0 -4 -2 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 0 2 4

12 10 8 6 4 2 0 -6 -4 -2 -2 0 2 4 a

12 10 8 6 4 2 0 -2 0 1 -4 a 2 3 4 5 6

5 0 -6 -4 -2 0 2 4 -5 -10 -15 -20 -25 a

10 5 0 0 1 -5 -10 -15 a 2 3 4 5

30 20 10 0 -2 -1 0 -10 -20 -30 1 2 3 4 5 6

Propriedades dos limites •

Newton e os Limites • Isaac Newton nasceu no natal, em 1642, ano da morte de Galileu. Quando entrou na Universidade de Cambridge em 1661, Newton não sabia muito de matemática, mas aprendeu rapidamente lendo Euclides e Descartes e frequentando as aulas de Isaac Barrow. Cambridge foi fechada devido à praga em 1665 e 1666, e Newton voltou para casa para refletir sobre o que aprendeu. • Esses dois anos foram incrivelmente produtivos, pois neste tempo ele fez quatro das suas principais descobertas:

(1) Suas representações de funções como somas de séries infinitas, incluindo o teorema binomial, (2) Seu trabalho sobre cálculo diferencial e integral, (3) Suas leis de movimento e da gravitação universal, (4) Seus experimentos com prismas sobre a natureza da luz e da cor. Devido ao medo de controvérsias e criticas, Newton reluto em publicar suas descobertas, e não o fez até 1687, quando a pedido do astrônomo Halley, publicou Principia Mathematica.

• Nesse trabalho, o maior tratado científico já escrito, Newton tornou pública sua versão de cálculo e usou-a para pesquisar mecânica, dinâmica de fluidos e movimentos de ondas, e explicar o movimento de planetas e cometas.

• O início do Cálculo é encontrado nos cálculos de áreas e volumes pelos gregos antigos, como Eudoxo e Arqimedes. Embora aspectos da ideia de um limite estejam implícitos em seu “método de exaustão”, Eudoxo e Arquimedes nunca formularam explicitamente o conceito de limite. • Da mesma maneira, matemáticos como Cavalieri, Fermat e Barrow, percursores imediatos de Newton no desenvolvimento de cálculo, não usaram limites realmente.

• Foi Isaac Newton quem primeiro falou explicitamente sobre limites. Explicou que a ideia principal de limites é que as quantidades “se aproximam mais do que por qualquer diferença dada”. Newton declarou que o limite era conceito básico no cálculo, mas foi deixado para outros matemáticos posteriores, como Cauchy esclarecer as ideias sobre limites.

Calcule os limites: • Nem todos os limites podem ser calculados pela substituição direta, como mostram os exemplos a seguir.

Exercícios • 4, 5 4 3, 5 3 2, 5 2 1, 5 1 0, 5 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

3) Calcule os limites. •

4) Calcule os limites: •

5) Determine o limite infinito: •

Limites no Infinito • -1 0 0, 600000 0, 882353 0, 923077 0, 980198 0, 999200 0, 999800 0, 999998

1, 5 1 0, 5 0 -15 -10 -5 0 -0, 5 -1 -1, 5 5 10 15

Definição •

Teorema •