Funo quadrtica a funo geral de 2 grau

Função quadrática: a função geral de 2º grau RANILDO LOPES 1

Uma quadra esportiva tem a forma retangular, com 40 m de comprimento e 20 m de largura. O clube pretende ampliá-la. Para isso, vai construir em volta dela uma faixa de largura constante. 2

Obter a expressão que permite calcular a Área da quadra esportiva? x 40 m 20 m x x A = (40 + 2 x). (20+2 x) x ⇒ A = 800 + 80 x + 4 x 2 ⇒ A = f(x) = 4 x 2 + 120 x + 800 3

Função quadrática ou função de 2º grau é toda função do tipo y = f(x) = ax 2 + bx + c Sendo a, b e c são constantes reais, com a ≠ 0. O Domínio de toda função quadrática é IR. 4

Exemplos q y = f(x) = x 2 + 3 x – 1 é uma função quadrática com a = 1 e b = 3 e c = – 1. q y = f(x) = –x 2 + 5 é uma função quadrática com a = – 1 e b = 0 e c = 5. q y = f(x) = – 2 x 2 + 4 x é uma função quadrática com a = – 2 e b = 4 e c = 0. q y = f(x) = x 2 é uma função quadrática com a = 1 e b = 0 e c = 0. 5

Funções quadráticas elementares. y = x 2 e y = –x 2 n Nas duas funções, b = c = 0. Na primeira a = 1; na segunda a = – 1. n Domínio é o conjuntos dos números reais (R). 6

Veja seus gráficos n y y = x 2. 5 x y = x 2 4 – 2 4 3 – 1 1 2 0 0 1 1 2 4 y = x 2 1 x – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 – 1 – 2 Im = [0, +∞[ Mínimo = 0 7

Veja seus gráficos n y y = – x 2. x y = – x 2 – 4 – 1 0 0 1 – 1 2 – 4 x 0 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4 5 – 1 – 2 – 3 – 4 Im = ]– ∞, 0] y = – x 2 Máximo = 0 8

A análise das duas últimas figuras nos sugere um caso geral em relação a todas as funções quadráticas do tipo y = f(x) = ax 2 + bx + c. n n n Os gráficos de funções quadráticas são curvas chamadas parábolas. O ponto mais alto ou mais baixo da parábola é chamado de vértice. A reta vertical que passa pelo vértice é chamada de eixo da parábola. Se a > 0 a concavidade da parábola é voltada para cima. Se a < 0 a concavidade da parábola é voltada para baixo. 9

Veja um resumo. eixo da parábola V V a>0 a<0 10

Eixo de simetria. eixo de simetria da parábola V A B C D A 1 r 1 B 1 C 1 D 1 r 2 r 3 r 4 11

Funções quadráticas em que b = c = 0. (y = ax 2) 12

1º. Caso: a > 0 y q y = x 2 Mínimo = 0 q y = 2 x 2 q y= 1 2 x 2 ⇓ x 0 Im = [0, +∞[ ü Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. ü O vértice das três parábolas é a origem do plano. 13

2º. Caso: a < 0 y q y = –x 2 q y = – 2 x 2 – 1 2 q y= x 2 0 x Máximo = 0 ⇓ Im = ]–∞, 0] ü Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. ü O vértice das três parábolas é a origem do plano. 14

Funções quadráticas em que b = 0 c ≠ 0 (y = ax 2 + c) 15

Os gráficos das funções do tipo y = ax 2 + c, com a ≠ 0 e c ≠ 0, são obtidos a partir do gráfico de y = ax 2. Desloca-se esse último para cima ou para baixo, conforme o coeficiente c seja positivo ou negativo, respectivamente. 16

1º. Caso: a > 0 y q y = x 2 Im = [0, +∞[ q y = x 2 + 2 Im = [2, +∞[ q y = x 2 – 1 Im = [– 1, +∞[ 2 x 0 – 1 ü Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. O vértice das três parábolas são os pontos V (0, 0), V(0, 2) e V(0, – 1). ü 17

2º. Caso: a < 0 y 1 0 – 2 ü q y = –x 2 Im = ]– ∞, 0] q y = –x 2 + 1 Im = ]– ∞, 1] q y = – x 2 – 2 Im = ]–∞, – 2] x Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. O vértice das três parábolas são os pontos V (0, 0), V(0, 1) e V(0, – 2). ü 18

Funções quadráticas em que b ≠ 0 (caso geral) 19

Vamos analisar, agora, o caso mais geral da função quadrática y = f(x) = ax 2 + bx + c. É o caso em que o coeficiente b é diferente de 0. Para b ≠ 0, o vértice não fica mais sobre o eixo y das ordenadas. 20

Caso geral: b ≠ 0 Vamos obter o valor de k, abscissa de Q. y f(x) = c ⇒ f(x) = a. x 2 + b. x + c = c ⇒ a. x 2 + b. x = 0 (0, c)P Q(k, c) yv V 0 xv ⇒ x(a. x + b) = 0 ⇒ x = 0 ou x k a. x + b = 0 ⇒ x = 0 ou x = – b/a x = 0 é a abscissa de P, logo k = –b/a. Devido à simetria da parábola, x. V = k/2 ⇒ x. V = –b 2 a 21

Ordenada do vértice n A ordenada do vértice pode ser obtida calculando-se f(x. V), ou seja, a imagem da abscissa do vértice da função. Veja f(x) = ax 2 +bx +c f(x. V) = a(x. V)2 +bx. V +c = a(–b/2 a)2 +b(–b/2 a) +c f(x. V) = a(b 2/4 a 2) – b 2/2 a +c = b 2/4 a – b 2/2 a +c f(x. V) = (b 2 – 2 b 2 +4 ac)/4 a = (– b 2 +4 ac)/4 a f(x. V) = –(b 2 – 4 ac)/4 a f(x. V) = y. V = – /4 a y. V = – 4 a 22

No caso, essa ordenada é ü O mínimo da função (a > 0) ü O máximo da função (a < 0) y y y. V V y. V ⇒ Im = [y. V, +∞[ V x x ⇒ Im = ]–∞, y. V] 23

Exemplos n Para a função quadrática y = f(x) = 2 x 2 – 8 x + 5 de R em R, obter o vértice, o máximo ou mínimo e o conjunto imagem. Os coeficientes são: a = 2; b = – 8 e c = 5 Como a > 0, a parábola tem concavidade para cima e a função admite um valor mínimo. A abscissa do vértice é: x. V = –b 2 a = –(– 8) 2. 2 =2 O mínimo da função ocorre para x = 2. y = f(2) = 2. 22 – 8. 2 + 5 = – 3 V (2, – 3) Im = [– 3, +∞[ 24

Veja o gráfico da função y= 2 x 2 Eixo y – 8 x + 5 5 0 1 2 3 x 4 – 1 Im = [– 3, ∞[ – 3 V 25

Exemplos n Para a função quadrática y = f(x) = –x 2 + 3 x + 1 de R em R, obter o vértice, o máximo ou mínimo e o conjunto imagem. Os coeficientes são: a = – 1; b = 3 e c = 1 Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e a função admite um valor máximo. A abscissa do vértice é: x. V = –b 2 a = –(3) 2. (– 1) = 3/2 O mínimo da função ocorre para x = 3/2. y = f(3/2) = – 1. (3/2)2 + 3. 3/2 + 1 V (3/2, 13/4) = 13/4 Im = ]–∞, 13/4] 26

Veja o gráfico da função y= –x 2 Eixo + 3 x + 1 y V 13/4 3 1 x 0 1 3/2 2 3 Im = ]–∞, 13/4] 27

Exemplo n Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30 t – 5 t 2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. A função h(t) = – 5 t 2 + 30 t + 80 é quadrática, com a = – 5, b = 30 e c = 80. Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e a função admite um valor máximo. 28

Exemplo n Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30 t – 5 t 2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. A) O instante em que o objeto atinge a altura máxima é a abscissa do vértice: t = –b 2 a = –(30) 2. (– 5) =3 s 29

Exemplo n Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30 t – 5 t 2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. B) A altura máxima é o valor da função em t = 3 s. h(3) = – 5. 32 + 30. 3 + 80 = 125 m 30

Exemplo n Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30 t – 5 t 2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. C) No instante em que o objeto atinge o solo, deve ser h(t) = 0 ⇒ – 5 t 2 + 30 t + 80 = 0 ⇒ t 2 + 6 t – 16 = 0 ⇒ t = – 2 ou t = 8 ⇒ t=8 s 31

Veja o gráfico da função h(t) = – 5 t 2 – 30 t + 80 h (m) 125 80 0 3 8 t (s) 32

Raízes da função quadrática 33

Já sabemos que as raízes de uma função real y = f(x) são os valores de x tais que y = 0. São as abscissas dos pontos em que o gráfico de f corta o eixo das abscissas. Na função quadrática y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0), achar as raízes significa resolver a equação de 2º grau f(x) = 0. 34

Número de raízes da equação de 2º grau n Para resolver uma equação de 2º grau usamos a fórmula de Bhaskara sendo = b 2 – 4 ac O número real é o discriminante da equação. O valor dele indica se a função tem ou não raízes reais. ü > 0 ⇔ tem duas raízes reais distintas. ü = 0 ⇔ tem duas raízes reais iguais (ou 1 raiz real dupla). ü < 0 ⇔ não tem raízes reais. 35

Exemplos n Obter as raízes, esboçar o gráfico e estudar os sinais da função y = 3 x 2 – x – 2. O discriminante da função é = b 2 – 4 ac ⇒ = (– 1)2 – 4. 3. (– 2) ⇒ = 25 Raízes: x’ = 1 ou x” = – 2/3 ⇒ A parábola corta o eixo x em (1, 0) e (– 2/3, 0) Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima. O coeficiente c =– 2, indica que a parábola corta o eixo y no ponto (0, – 2) 36

Veja o gráfico da função y y = 3 x 2 – x – 2 x. V = –b 2 a = –(– 1) 2. (3) = 1/6 y>0 0 1/6 – 2/3 y<0 Raiz x y – 2/3 0 1 0 0 – 2 1/6 – 25/12 x 1 – 25/12 Raiz – 2 y > 0 para x < – 2/3 ou x > 1. y < 0 para – 2/3 < x < 1. 37

Exemplos n Na função quadrática y = x 2 + 2 x + 3, mostrar que y > o para todo x real. O discriminante da função é = b 2 – 4 ac ⇒ = (2)2 – 4. 1. (3) ⇒ = – 8 < 0, a função não tem raízes reais, logo a parábola não corta o eixo x. Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima. O coeficiente c = 3, indica que a parábola corta o eixo y no ponto (0, 3) 38

Veja o gráfico da função y y = x 2 + 2 x + 3 x. V = –b 2 a x y 0 3 – 1 2 – 2 3 = – 2 2. (1) = – 1 3 2 + + + – 2 – 1 + + + 0 x y > 0 para todo x real. 39

Exemplos n A função y = –x 2 + 4 x + k, tem duas raízes reais iguais. Calcular a constante k, obter a raiz dupla e esboçar o gráfico da função. Se a função tem uma raiz dupla = 0. b 2 – 4 ac = 0 ⇒ (4)2 – 4. (– 1). k = 0 ⇒ 16 + 4 k = 0 ⇒ k = – 4 A função é y = –x 2 + 4 x – 4, tem concavidade para baixo. A raiz dupla é –b/2 a = 2. ⇒ A parábola intercepta o eixo x em (2, 0). c = – 4, indica que a parábola corta o eixo y no ponto (0, – 4) 40

Veja o gráfico da função y = –x 2 + 4 x – 4 y x y 2 0 0 – 4 4 – 4 0 2 Raiz 4 x – 4 41