LIMITE DE UMA FUNO Nice Maria Americano costa

LIMITE DE UMA FUNÇÃO Nice Maria Americano costa Pinto UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 1

INTRODUÇÃO Um pouco de história Cálculo Diferencial e Integral; séculos XVI e XVII, Newton e Leibniz. interesses de cálculos (diferenciação integração) O Cálculo Diferencial Grécia Antiga: tangentes a curvas, reta e curvas; sua intersecção Século XVII, as órbitas dos planetas. Newton: calcular as órbitas de planetas, considerar a corda de um arco, Curva da trajetória: limite de pequenas cordas encadeadas umas às outras. O Cálculo Integral área subtendida por curva limite de uma soma áreas de retângulos inseridos sob a curva. Limite de uma função Século XIX; Bolzano (1817), técnica do “epsilon” , “ ” e “delta”, “ ”; Cauchy (1821), a essência da idéia; Weierstrass (1850 e 1860), a noção de forma rigorosa. 2

Vizinhança de um ponto Para um valor arbitrariamente pequeno >0, a vizinhança de a é o conjunto dos x compreendido pelo intervalo 0 a a- a+ x 3

Limite de uma variável Se x-a < valer para todo >0, arbitrariamente pequeno, dizemos que a variável x tem um limite e tal limite vale a. Simbolicamente, x 1 a- x 2 x 3 a a+ x Os valores x 1, x 2 e x 3 da variável x, estão na vizinha de x=a. Isto é, os valores xi estão no intervalo a- < xi <a+ (i=1, 2, 3) 4

Exemplos 1. x é a variável de valores Essa variável tem um limite que é 1. uma vizinhança de centro em 1, com raio ; devemos calcular , para provar que a inequação |x-1 < . O ponto de partida será portanto a expressão |x-1|, i. e. calcular quanto ela vale; 5

(n=2) x é o conjunto dos termos: x 1=1, x 2=1, 5, e>1/2=0, 5. e=0, 51 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0, 51 (n=3) x é o conjunto dos 3 termos: x 1=1, x 2=1, 5, x 3=1, 33, ε>1/3=0, 33333. ε=0, 51 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0, 51 (n=6) x é o conjunto dos 6 termos: x 1=1, x 2=1, 5, x 3=1, 33, x 4=1, 25, x 5=1, 2, x 6=1, 16 >1/6=0, 166667. =0, 51 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0, 51 n xn 1 1 1 o. termo 2 1, 5 2 o. termos n xn 1 1 1 o. termo 2 1, 5 2 o. termo 3 1, 333333 3 o. termo 4 1, 25 4 o. termo 5 1, 2 5 o. termo 6 1, 166667 termos 6 o. termo 6

2. x é a variável de valores Essa variável tem um limite que é 1. uma vizinhança de centro em 1, com raio ; devemos calcular . 7

(n=2) x é o conjunto dos 2 termos: x 1=1, x 2=1, 25, >1/22=0, 25. =0, 26 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0, 26 (n=3) x é o conjunto dos 3 termos: x 1=1, x 2=1, 25, x 3=0, 875, >1/23=0, 015625. =0, 26 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0, 26 n xn 1 1 1 o. termo 2 1, 25 2 o. termo n xn termos 1 1 1 o. termo 2 1, 25 2 o. termo 3 0, 875 3 o. termo n (n=6) x é o conjunto dos 6 termos: x 1=1, x 2=1, 25, x 3=0, 875, x 4=1, 0625, x 5=96875, x 6=1, 015625 >1/26=0, 015625. =0, 26 satisfaz a condição e todos os valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0, 26 termos xn termos 1 1 1 o. termo 2 1, 25 2 o. termo 3 0, 875 3 o. termo 4 1, 0625 4 o. termo 5 0, 96875 5 o. termo 6 1, 015625 6 o. termo 8

3. X é uma variável de valor constante c Essa variável tem um limite que é c, ainda que pareça estranho. uma vizinhança de centro em c, com raio ; devemos calcular . 9

Observações 1. Uma variável x não pode ter dois limites diferentes, a e b. a b x (b-a)/2 2. Não se imagine que toda variável tem um limite. 10

VARIÁVEL INFINITAMENTE GRANDE a variável x tende ao infinito, se, p/ cada número positivo M, pode-se Indicar um valor de x, a partir do qual, todos os valores subseqüentes da variável verificam : Seja a variável x o { x 1, x 2, x 3, x 4, x 5. . xn}, mostrado na figura abaixo. x 3 x 1 x 4 x 2 x 5 x 6 Xn-1 x A partir de x 4, todo valor subseqüente da variável é maior que o antecedente; para M=x 4, |xi|>M, p/ i=5, 6, 7. . n 11

Limite de uma função Seja Y=f (x) uma função definida nas vizinhanças do ponto a, ou, em certos pontos desta vizinhança. A função tende a b, quando x tende a a, ou se, para cada número positivo ε > 0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um δ > 0 tal que, para todo x diferente de a, verificando | x -a | < δ , a desigualdade | f(x) - l | < ε, fica satisfeita. Diz-se então que b é o limite de f(x). b a 12

Exemplos Os “resultados” dos limites das funções 3 e 5 demonstram que o cálculo do limite não se faz por uma simples substituição direta do valor para o qual a variável tende. Veremos que existem resultados para tais limites 13

Cálculo pela definição Se 14 é o lim f(X), quando x 3, temos que ter: 14

Se 7 é o lim f(X), quando x 2, temos que ter: 15

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