LMITES DE FUNCIONES U D 6 2 BCS
LÍMITES DE FUNCIONES U. D. 6 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS 1
LÍMITES EN UN PUNTO U. D. 6. 3 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS 2
DEFINICIÓN DE LÍMITE • • • Llamamos LÍMITE de una función f en un punto x=a al valor al que se aproximan las imágenes de la función cuando x se aproxima al valor de a. lím f(x) = b x a • EJEMPLO: • • lím x 2 = 22 = 4 • x 2 • • El valor de x se aproxima a 2: El valor de f(x) se aproxima a 4: 1’ 9, 3’ 96, 2’ 1, 4’ 41, 1’ 99, 3’ 98, 2, 01, 4’ 04, 1’ 999, … 3’ 99, … 2, 001, … 4’ 004, …
LÍMITES LATERALES • • • En un límite vemos que x puede tender al valor de “a” tomando valores tanto por su derecha como por su izquierda. Por ejemplo, puede tender a 2 tomando las siguientes sucesiones de números: 2’ 1, 2’ 001, 2’ 00001, … 1’ 9, 1’ 999, 1’ 99999, … Se hace preciso distinguir ambos límites. LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = L 1 x xo+ LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = L 2 x xo-Una función f tiene límite en un punto xo si sus límites laterales en dicho punto existen y coinciden.
LÍMITES LATERALES • • • Ejemplo_1 x– 4 Lím ------x 1 x – 2 x y ------------0, 99 2, 9802 0, 999 2, 9980 1 ? 1, 001 3, 0020 1, 01 3, 0202 • • • Ejemplo_2 x– 3 Lím -----x 3 x 2 – 9 x y ------------2, 999 0, 1667 2, 9999 0, 16667 3 ? 3, 0001 0, 16667 3, 001 0, 1667 • Como se puede intuir, el límite de de la función cuando x 1 es 3 la función cuando x 3 es 1/6
• Ejemplo_3 • Ejemplo_4 • En la gráfica de la función vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 8 x 2+ • En la gráfica de la función vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 1 x 0+ • • LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = 4 x 2 - • • LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = 1 x 0 - 8 y 4 1 0 1 2 3 x 0 1 2 x
VALOR DEL LÍMITE Y VALOR DE LA FUNCIÓN • EJEMPLO 1 1 2 x 2 – 3. x + 2 f(x) = --------x– 2 • Sea la función de la izquierda. • Si calculamos el límite en x=2 tenemos: • Lím f(x) = 1 • x 2+ x 2 • Sin embargo en x=2 la función no existe, pues su dominio es: • Dom f(x) = R – {2} • En x=2 la función presenta límite y vale 1, aunque no existe valor de la función.
• EJEMPLO 2 2 y=1 y=x+1 1 -1 0 1 x+1 , si x ≤ 1 f(x) = 1 , si x > 1 • Sea la función troceada de la izquierda: • Si calculamos el límite en x=1 tenemos: • Lím f(x) = 1 • x 1+ • Lím f(x) = 2 • x 1 • Al no ser iguales los límites laterales, en x = 1 la función no tiene límite. • Sin embargo en x=1 la función existe y vale 2: • f(1) = 1+1 = 2 • En x=1 la función existe, pero no presenta límite.
• EJEMPLO 3 • • • Sea la función de la derecha: Si calculamos el límite en x=1 tenemos: Lím f(x) = 4 – 12 = 3 x 1+ Lím f(x) = 4 – 12 = 3 x 1 Al ser iguales los límites laterales, en x = 1 la función tiene límite y vale 3. Sin embargo en x=1 la función existe y vale 0: f(1) = 0 • En x=1 la función existe, y el límite también, pero sus valores son distintos. f(1) <> lím f(x) x 1 • • 4 -2 -1 0 1 2 4 – x 2 , si x<>1 y= 0 , si x=1
• EJEMPLO 4 • • Sea la función de la derecha: La podemos escribir también así: • • • (– 2 + x)/(x – 2 ) = 1, si x >2 f(x) = (2 – x)/(x – 2 ) = – 1, si x <2 Si calculamos el límite en x =2 tenemos: Lím f(x) = (– 2+ 2+)/(2+ – 2 ) = 1 x 2+ Lím f(x) = (– 2+2 -)/(2 - – 2 ) = – x 2 Al no ser iguales los límites laterales, en x = 2 la función no tiene límite. Tampoco existe en x=2, pues no forma parte del dominio de la función. 4 -2 -1 0 1 2 |2 – x| f(x) = -----x– 2
CONVERGENCIA DE FUNCIONES • Una sucesión ( o una función ) que tiene límite se llama CONVERGENTE. • • Una sucesión ( o una función ) que no tiene límite se llama DIVERGENTE. Nota: No se considera válido como límite el +/- oo. • Una sucesión ( o una función ) que presenta dos límites diferentes se llama OSCILANTE. • • EJEMPLOS: lím (3. x 2 +1) / x 2 = 3 FUNCIÓN CONVERGENTE EN EL INFINITO x oo lím e 2 / (x-1) = e 2 / 0 = e 00 = oo FUNCIÓN DIVERGENTE EN x=1 x 1 lím (- 1)n = +/- 1 FUNCIÓN OSCILANTE, donde Dom f(x) = N n oo @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 11
PROPIEDADES OPERATIVAS • a) Si existe límite, éste debe ser único. • b) El límite de una suma/diferencia de funciones es la suma/diferencia de los límites: lím (f(x) +/- g(x)) = lím f(x) +/- lím g(x) x a x a c) El límite de un producto de funciones es el producto de los límites: lím (f(x). g(x)) = lím f(x). lím g(x) x a x a d) El límite de una división de funciones es la división de los límites: lím (f(x) / g(x)) = lím f(x) / lím g(x) x a x a e) El límite de una potencia es la potencia de los limites : g(x) lím (f(x)) = (lím f(x ) x a x a f) El límite del logaritmo es el logaritmo del límite: lím Log f(x) = Log lím f(x) x a b b x a • • • • @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 12
Ejemplos • Para hallar el límite de una función f(x) en un punto, x=a, se sustituye la variable de la función por el valor al que tiende, a, obteniendo f(a). • 1. lím (x 3 – 3 x) = 23 – 3· 2 = 8 – 6 = 2 • x 2 • 2. • lím (x 2 – 9) / x = (32 – 9) / 3 = 0 x 3 • 3. • • lím (x 2 + 1) x – 1 • 4. • lím Ln (x – e) = Ln lím (x – e) = ln (2·e – e) = ln e = 1 x 2·e (x 2 – 1) @ Angel Prieto Benito ((– 1)2 – 1) 0 = ((– 1)2 + 1) =2 =1 Apuntes 2º Bachillerato C. S. 13
Ejemplos – x 2 + 1 , si x<0 x + 1 , si x≤ 0 y= 1 –x , si x>0 y= 1 – x + 1 , si x>0 0 • • 0 • A la izquierda de x=0: • lím (x + 1) = 0 + 1 = 1 • x 0 • A la derecha de x=0: • lím (– x) = – 0 = 0 • x 0 Los límites laterales no coinciden. • La función no tiene límite en x=0 • @ Angel Prieto Benito A la izquierda de x=0: lím (– x 2 + 1) = 0 + 1 = 1 x 0 A la derecha de x=0: lím (– x + 1) = – 0 + 1 = 1 x 0 Los límites laterales coinciden. El límite, en x=0, vale 1. Apuntes 2º Bachillerato C. S. 14
Ejemplos – 1 , si x<0 y= 1 – x + 1 , si x>0 0 • • 1 2 A la izquierda de x=2: lím ( – 1) = – 1 x 2 A la derecha de x=2: lím (– x + 3) = – 2 + 3 = 1 x 2 Los límites laterales no coinciden. La función no tiene límite en x=2 @ Angel Prieto Benito • • A la izquierda de x=1: lím (x 2– 2 ) = 1 – 2 = – 1 x 1 A la derecha de x=1: lím log (x – 1) = log 0 = – oo x 1 No hay lím a la derecha. No hay límite en x=1. -2 -1 0 1 Apuntes 2º Bachillerato C. S. 2 x 2 – 2 , si x<0 y= log (x – 1), si x>0 15
LIMITES INFINITOS EN UN PUNTO • • • • Toda función de la forma: F(x) = P(x) / Q(x) Donde P(x) y Q(x) son polinomios. Presenta n valores de x en los que no existe la función por ser ceros o raíces de Q(x). En dichos puntos la función tiende a +/- oo, no existiendo los límites laterales. En dichos puntos la función presenta una asíntota vertical. Ejemplo F(x) = – 1 / x Límites laterales: – 1 lím ‑‑‑‑‑ = ----- = – oo x 0+ x +0 pues x vale algo más de 0. – 1 lím ‑‑‑‑‑ = ------ = + oo x 0 x -0 pues x vale algo menos de 0. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. Y 1 0 3 x 16
Ejemplos • • • Si representamos la función: y = x / ( x – 3) vemos que cuando x vale 3 , el valor de y es oo. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto xo = 3. No es lo mismo el trazo a la derecha que a la izquierda de xo = 3. Límites laterales: x 3 lím ‑‑‑‑ = ----- = + oo x 3+ x – 3 +0 pues x vale algo más de 3. x 3 lím ‑‑‑‑ = ----- = – oo x 3 - x – 3 -0 pues x vale algo menos de 3. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. Y 1 0 3 x 17
• • Si representamos la función: y = x / ( x 2 - 4) vemos que cuando x vale 2 ó -2 , el valor de y es oo. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto x 1= 2 y otra en x 2= - 2. • • x 2 lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x 2+ x 2 - 4 +0 pues x vale algo más de 2 y x 2 > 4 x 2 lím ‑‑‑‑ = ------ = - oo x 2 - x 2 - 4 -0 pues x vale algo menos de 2 y x 2 < 4 • • x -2 lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x - 2+ x 2 - 4 -0 pues x vale algo más de – 2 y x 2 < 4 x -2 lím ‑‑‑‑ = ----- = - oo x - 2 - x 2 - 4 + 0 pues x vale algo menos de – 2 y x 2 > 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. Y -2 0 2 x 18
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