Lgica M C Juan Carlos Olivares Rojas Agenda

Lógica M. C. Juan Carlos Olivares Rojas

Agenda Representación del Conocimiento Lógica de Proposiciones Lógica de Predicados Deducción Automática

Representación del Conocimiento • El conocimiento debe estar expresado en un lenguaje simbólico para que pueda ser reconocido por una computadora o ‘agente’. • Los agentes pueden consultar a la base de conocimientos para resolver problema o bien agregar nuevos conocimientos. • Los agentes pueden obtener esta nueva información a través de la inferencia lógica.

Representación del Conocimiento • Inicialmente el agente cuenta con unos conocimientos básicos llamados antecedentes o hechos. • Se cuenta con una serie de reglas que definen la forma de deducir conocimiento. • El agente pregunta a estas reglas y hechos para poder razonar que opción le conviene más ejecutar.

El Juejo del Wumpus Percepciones: (4 sensores) {Hedor, Brisa, Resplandor, Nada} El agente no percibe su situación Acciones: Ir hacia adelante, girar izda/dcha 90º Agarrar (estando en la casillla) Disparar (sólo una flecha) Objetivo: salir con el oro lo antes posible 1000 ptos: salir con el oro 1 pto penaliza cada acción. Penaliz. Máxima: 10000 ptos

Lógica de Proposiciones • La sintaxis nos indica cuáles son los enunciados que se pueden construir. • Los enunciados atómicos se componen de una sola proposición. • Una proposición tiene un solo valor de verdad: Verdadero o Falso.

Lógica de Proposiciones • Los enunciados complejos se forman a partir de enunciados más simples y el empleo de conectivos lógicos. • Los Conectivos Lógicos son cinco: – NO (~) también conocida como Negación. – Y (^) también conocida como Conjunción. – O (v) también conocida como Disyunción. – Implicación (⇒) también conocida como Condicional. – Sí y sólo si (⇔) también conocida como Bicondicional.

Lógica de Proposiciones • Las expresiones que contienen conectivos lógicos se interpretan siguiendo el orden de precedencia que corresponde al mostrado en la tabla anterior. • Por ejemplo: ~P ^Q v R ⇒ S equivale a: • (~(P) ^(Q v R)) ⇒ S • Además, se emplean los paréntesis para evitar ambigüedades.

Lógica de Proposiciones • La semántica nos define las reglas que permiten determinar el valor de verdad de un enunciado respecto de algún modelo. • Con dos símbolos proposicionales existen 4 modelos posibles para cada uno de los 5 conectivos lógicos, ¿Cómo quedarían las tablas de verdad?

Lógica en Wumpus • Regresemos al mundo del Wumpus para visualizar la construcción de la base de conocimiento. • Notación: – Bij indica que hay brisa en la celda (i, j). – Pij indica que hay un pozo en la celda (i, j). • A partir de un conocimiento inicial: – E 1: ~P 11

Lógica en Wumpus • Cuando hay brisa en una casilla implica que en una casilla contigua hay un pozo: • E 2: B 11 ⇔ P 12 v P 21 • Ahora agregamos la primera percepción, no se percibe brisa en la celda (1, 1): E 3: ~B 11 • ¿Cómo relacionar los enunciados 2 y 3 para obtener nuevo conocimiento?

Lógica de Proposiciones • Cuando los resultados de una Tabla de Verdad son todos verdaderos, a esa proposición compuesta se le llama Tautología. Como ejemplo tenemos a: (p v ~p) • Cuando los resultados de una Tabla de Verdad son todos falsos, a esa proposición compuesta se le llama Contradicción. Como ejemplo tenemos a: (p ^ ~p)

Lógica de Proposiciones • Básicamente la inferencia es la implementación de una implicación. • Los enunciados conocidos como verdaderos forman parte del antecedente. • El consecuente es un nuevo enunciado cuya veracidad se desprende de los anteriores. Simbólicamente se representa así: • antecedente : : consecuente

Lógica de Proposiciones • La equivalencia lógica se presenta cuando dos enunciados α y β tienen los mismos valores de verdad para el mismo conjunto de modelos. • A continuación mostramos una tabla con las equivalencias lógicas más comunes: • Doble Negación: ~( ~p ) ≡ p

Lógica de Proposiciones • Leyes Conmutativas (pvq)≡(qvp) (p^q)≡(q^p) • Leyes Asociativas (pvq)vr≡pv(qvr) (p^q)^r≡p^(q^r)

Lógica de Proposiciones • Leyes Distributivas pv(q^r)≡(pvq)^(pvr) p^(qvr)≡(p^q)v(p^r) • Leyes de Idempotencia (pvp)≡p (p^p)≡p

Lógica de Proposiciones • Leyes de De. Morgan ~( p v q ) ≡ ~p ^ ~q ~( p ^ q ) ≡ ~p v ~q • Leyes de Identidad ( p v ~p ) ≡ t ( p ^ ~p ) ≡ f (pvf)≡p (pvt)≡t

Lógica de Proposiciones • Leyes de Identidad (pvf)≡f (pvt)≡p • Leyes de la Implicación (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ^ (q ⇒ p) (p ⇒ q) ≡ (~q ⇒ ~p) (q ⇒ p) ≡ (~p ⇒ ~q) (p ⇒ q) ≡ (~p v q)

Lógica de Proposiciones • Reglas de Inferencias • La siguiente implicación lógica se llama Modus Ponens y corresponde a la siguiente inferencia: p ^ ( p ⇒ q ) : : q • Ejemplo: p: Estudio p ⇒ q: Si estudio aprobaré Matemáticas q: Entonces, Aprobaré Matemáticas

Lógica de Proposiciones • La siguiente implicación lógica se llama Modus Tollens y corresponde a la siguiente inferencia: ( p ⇒ q ) ^ ~q : : ~p • Ejemplo: p ⇒ q: Si estudio apruebo Matemáticas ~q: No aprobé Matemáticas ~p: Entonces, no Estudié

Lógica de Proposiciones • La siguiente implicación lógica se llama Silogismo Hipotético y corresponde a la siguiente inferencia: ( p ⇒ q ) ^ ( q ⇒ r ) : : ( p ⇒ r ) • Ejemplo: p ⇒ q: Si estudio apruebo Matemáticas q ⇒ r: Si apruebo Matemáticas me regalan un auto p ⇒ r: Entonces, Si estudio me regalan un auto

Lógica de Proposiciones • La siguiente implicación lógica se llama Silogismo Disyuntivo y corresponde a la siguiente inferencia: ( p v q ) ^ ~p : : q • Ejemplo: p v q: Hay que estudiar Francés o Alemán ~p: No estudio Francés q: Entonces, Estudio Alemán

Lógica de Proposiciones • La simplificación conjuntiva consiste en eliminar uno de los términos de una conjunción: ( p ^ q ) : : q o también: ( p ^ q ) : : p • Por el otro lado, la amplificación disyuntiva permite agregar un nuevo término: p : : ( p v q )

Lógica en Wumpus • Se tiene que: • E 2: B 11 ⇔ P 12 v P 21 • E 3: ~ B 11 • • • Por lo que tenemos el siguiente razonamiento: E 4: (B 11 ⇒ (P 12 v P 21)) ^ ((P 12 v P 21) ⇒ B 11) E 5: ((P 12 v P 21) ⇒ B 11) E 6: ~B 11 ⇒ ~(P 12 v P 21) E 7: ~(P 12 v P 21) E 8: ~P 12 ^ ~P 21

Lógica en Wumpus • Del razonamiento anterior concluimos que no hay un pozo en la casilla (1, 2) ni en la (2, 1). • Ahora veamos el razonamiento cuando el agente llega a la celda (1, 2). • E 9: ~B 12 • E 10: B 12 ⇔ P 11 v P 13 v P 22 • E 12: ~P 22

Lógica en Wumpus • Concluimos que no hay pozo ni en la casilla (1, 3) ni en la (2, 2). • E 11: ~P 13 • E 12: ~P 22 • Pero cuando el agente visitó la celda (2, 1) percibió una brisa: • E 13: B 21 • E 14: B 21 ⇔ P 11 v P 31 v P 22

Lógica en Wumpus • Dado que ya verificamos que no hay pozo en las celdas (1, 1) y (2, 2), resulta evidente la conclusión que: • E 15: P 31 • Es conveniente que nuestra base de conocimiento esté basada solamente en conjunciones y disyunciones.

Lógica Proposicional • Cualquier enunciado compuesto puede ser transformado a uno equivalente que esté en la FNC • La Forma Normal Conjuntiva es la conjunción de n disyunciones de k elementos: ( p 11 v … v p 1 k ) ^ … ^ ( pn 1 v … v pnk )

Lógica Proposicional • A continuación se describe un procedimiento para convertir a nuestra FNC: • Eliminar ⇔ usando la equivalencia: (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ^ (q ⇒ p) • Eliminar ⇒ usando la equivalencia: (p ⇒ q) ≡ (~p v q)

Lógica Proposicional • Simplificar ~ usando las equivalencias: ~( ~p ) ≡ p ~( p v q ) ≡ ~p ^ ~q ~( p ^ q ) ≡ ~p v ~q • Finalmente, aplicar la ley distributiva donde sea necesario. pv(q^r)≡(pvq)^(pvr)

Lógica Proposicional • E 2: B 11 ⇔ (P 12 v P 21) (B 11 ⇒ (P 12 v P 21)) ^ ((P 12 v P 21) ⇒ B 11 ) (~B 11 v P 12 v P 21) ^ (~(P 12 v P 21) v B 11 ) (~B 11 v P 12 v P 21) ^ ((~P 12 ^ ~P 21) v B 11 ) (~B 11 v P 12 v P 21) ^ (~P 12 v B 11) ^ (~P 21 v B 11)

Lógica Proposicional • Para demostrar que una implicación BC : : α es válida, se utiliza el método de reducción al absurdo. • Esto es, probar que su negación: BC ^ ~α es una contradicción. • Para ello se lleva a la FNC y luego se prueba que es equivalente a una cláusula vacía.

Lógica Proposicional • Probar que: E 2 ^ E 4 : : ~P 12. • (B 11 ⇔ (P 12 - P 21)) ^ ~B 11 : : ~P 12 • Se convierte a FNC: • (~B 11 v P 12 v P 21) ^ (~P 12 v B 11) ^ (¿P 21 v B 11) ^ ~B 11 : : ~P 12

Lógica Proposicional • Y para probar por reducción al absurdo, tenemos la negación: • (~B 11 v P 12 v P 21) ^ (~P 12 v B 11) ^ (~P 21 v B 11) ^ ~B 11 ^ P 12 • El proceso de simplificación funciona como sigue: • Si tomamos los primeros dos paréntesis, observamos que contienen a: ~B 11 y B 11, respectivamente.

Lógica Proposicional • Como no pueden ser ambos verdaderos simultáneamente, entonces, o (P 12 v P 21) o bien (~P 12 ) son verdaderos, lo que se reduce a la siguiente expresión: • (P 12 v P 21 v ~P 12) • Como (P 12 v ~P 12 ) es una tautología, la expresión anterior se reduce a: (P 21)

Lógica Proposicional • Similarmente, los dos paréntesis siguientes, también contienen a: ~B 11 y B 11, por lo que la • expresión simplificada queda: (~P 21) • Como ambas no pueden ser verdaderas, la conjunción resulta en una expresión nula.

Lógica de Predicados • Hay que aprovechar la característica declarativa y la composicionalidad de la lógica proposicional. Para ello definimos dos tipos de elementos: • Los objetos (Agente, Flecha, Wumpus, Pozo) • Las relaciones entre ellos, generalmente vinculadas por un verbo. • El Agente lanzó una Flecha

Lógica de Predicados • Las relaciones unitarias también se conocen como Propiedades y se vincula un objeto con una característica por el verbo SER: • La Pelota es roja. • Las Funciones son un tipo especial de relación que involucra un solo objeto y devuelven un valor: • El padre de • Uno más que

Lógica de Predicados • Uno sumado a Dos es igual a Tres – Objetos: Uno, Dos y Tres. – Relación: es igual a. – Función: sumado a; el resultado es un objeto, llamado: Uno sumado a Dos. • Las Casillas que rodean al Wumpus apestan. – Objetos: Casillas y Wumpus. – Relación: que rodean al. – Propiedad: apestan.

Lógica de Primer Orden • La lógica de primer orden se construye sobre: Hechos, Objetos y Relaciones. • La lógica de primer orden es universal porque puede expresar cualquier cosa que pueda ser programada. • El dominio de un modelo es el conjunto de objetos que contiene.

Lógica de Primer Orden • Una relación binaria es un conjunto de pares ordenados. • Por ejemplo, si Hugo, Paco y Luis son hermanos se denota así: • H = { (Hugo, Paco), (Hugo, Luis), (Paco, Luis), • Por ejemplo, si Pepe es el padre de Hugo, Paco y Luis, tenemos entonces:

Lógica de Primer Orden • Padre_de(Hugo) → Pepe • Padre_de(Paco) → Pepe • Padre_de(Luis) → Pepe • Padre_de(Pepe) ? • A continuación se muestra la gramática de la LPO en BNF.

Lógica de Primer Orden • Los símbolos se agrupan en tres clases: • Símbolos de constante, que representan a los Objetos. Cada símbolo constante nombra a exactamente un objeto en el mundo, no todos los objetos necesitan tener nombres y algunos pueden tener más de un nombre. • Ejemplo: Juan, Casa, Wumpus.

Lógica de Primer Orden • Símbolos de predicado, que representan a las Relaciones. Ejemplos: Vecino, Hermano, … • Símbolos de función. Padre_de, Oficina_de Ejemplos: Coseno, • Los símbolos de predicado y de función tienen una Aridad que establece el número de argumentos.

Lógica de Primer Orden • �Enunciado� → �Sentencia Atómica� | (�Enunciado�� Conector�� Enunciado�) | �Cuantificador�� Variable�…�Enunciado� | ~�Sentencia� • �Sentencia Atómica� → �Predicado�(�Término�…) | �Término� = �Término� • �Término� → �Función�(�Término�…) |

Lógica de Primer Orden • • �Conector�→. | - | ⇔ | ⇒ �Cuantificador�→ ∀ | ∃ �Constante�→ Martin | 59302 | Gato | X | … �Variable�→ a | x | s | … • �Predicado�→ Previo | Gusta | Llueve | Falla | … • �Función�→ Padre_de | Cabello_de | Oficina_de |…

Lógica de Primer Orden • Un término es una expresión lógica que se refiere a un objeto. – Los símbolos constantes son términos – Los símbolos de función son términos. – Las variables también son términos. • Una sentencia atómica está formada por un símbolo predicado seguido por una lista entre paréntesis de términos.

Lógica de Primer Orden • Por ejemplo: Hermano(Roberto, Juan) indica que Roberto es el hermano de Juan. • Las sentencias atómicas pueden tener argumentos que son términos complejos: Casado(Padrede(Roberto), Madrede(Juan)) • Se pueden usar conectores lógicos para construir sentencias más complejas.

Lógica de Primer Orden • Ejemplo: • Hermano(Roberto, Juan) Hermano(Juan, Roberto) ∧ • Es verdadero si Juan y Roberto son hermanos, pues la relación es simétrica. • Los cuantificadores nos permiten expresar propiedades de colecciones de objetos.

Lógica de Primer Orden • Hay dos cuantificadores en lógica de primer orden: universal y existencial. • Cuando un enunciado abarca a todos los posibles valores del dominio de una variable, entonces se emplea el Cuantificador Universal, que se denota por ∀. El cual se enuncia con frases similares a: “Para todos …”, “Todos …” • Ejemplo: Todos los gatos son mamíferos.

Lógica de Primer Orden • Esta proposición es falsa si al menos un solo valor de la variable no satisface al enunciado. • La representación simbólica es: • ∀x Gato(x) ⇒ Mamifero(x) • Sin embargo, mucha gente cae en el error de interpretarla como: • ∀x Gato(x) ∧ Mamifero(x)

Lógica de Primer Orden • Aparentemente son equivalentes, pero esta segunda forma es más fuerte que la anterior, pues la primera será verdadera cuando el antecedente es falso (v. gr. x es un perro) • Cuando un enunciado indica que al menos uno de los posibles valores del dominio de una variable, entonces se emplea el Cuantificador Existencial, el cual se denota por ∃.

Lógica de Primer Orden • Y se enuncia con frases similares a: “Hay. . . ” o “Existe. . . ” o “Para algunos. . . ” • Ejemplo: En mi clase hay mujeres. • Esta proposición es falsa si no existe ningún valor de la variable que satisfaga al enunciado. • La representación simbólica es: • ∃x Alumnodemiclase(x) ∧ Mujer(x)

Lógica de Primer Orden • Semejante al caso anterior, mucha gente cae en el error de interpretarla como: • ∃x Alumnodemiclase(x) ⇒ Mujer(x) • Pero esta segundo enunciado es más débil que el anterior y sería verdadero para los estudiantes que no están en mi clase. • Se pueden realizar afirmaciones muy complejas si se anidan cuantificadores.

Lógica de Primer Orden • Sin mezclar tipos de cuantificadores, podemos decir cosas como: • ∀x, y Hermano(x, y) ⇒ Hermano(y, x) • También podemos mezclar cuantificadores, • ∀x ∃y Buenopara(x, y) “Todos somos buenos para alguna cosa" • ∃y ∀x Buenopara(x, y) “Alguien es bueno para todo"

Lógica de Primer Orden • Se pueden cambiar los cuantificadores mediante la negación. • Considerar la sentencia: • ∀x ~Gusta(x, Verduras) “Para todo x, x no le gustan las verduras. " • Es equivalente a decir: “No existe un x que le gusten las verduras. “ • ~∃x Gusta(x, Verduras)

Lógica de Primer Orden • Similarmente, los siguientes enunciados son equivalentes: • ∃x P = ~∀x ~P • ∀x P = ~∃x ~P • ~∀x P = ∃x ~P • ∀x ~P = ~∃x P • Con frecuencia el símbolo de igualdad se incluye como un símbolo especial.

Lógica de Primer Orden • Ejemplo: Padre(Juan) = José • Afirmar que el objeto que es padre de Juan es el mismo que el objeto José. • Los axiomas capturan los hechos básicos acerca de un dominio. Ejemplos: • ∀x, y Padre(x, y) ⇔ Hijo(y, x) • ∀x, y Abuelo(x, y) ⇔ ∃z Padre(x, z). Padre(z, y) • ∀x Masculino(x) ⇔ ~Femenino(x)

Lógica de Primer Orden • Algunos axiomas Definiciones. son considerados como • Los axiomas son luego usados para probar teoremas. • FOL en Wumpus: • El primer paso es definir la interface entre el agente y el mundo.

FOL Wumpus • Un ejemplo de percepción sería: • Percepción([Hedor, Brisa, Brillo, Nada], 5) • El vector de percepciones contiene 5 elementos que son: Hedor, Brisa, Brillo, Golpe con un muro y Grito. Además incluye un sexto elemento para el tiempo. • Las acciones posibles del agente pueden ser las siguientes:

FOL Wumpus • • • Girar(Derecha) Girar(Izquierda) Avanzar Disparar Tomar • Para determinar cuál es la mejor acción, el agente realiza una petición como esta: • PREGUNTAR(BC, ∃x Mejor. Acción(x, 5))

FOL Wumpus • Esta petición retornará una lista de acciones posibles, tal como: {a/Tomar}. • Antes de realizar esa acción, el agente deberá DECIR a la base de conocimiento su decisión de hacer la acción de Tomar: • DECIR(BC, Acción(5)=Tomar) • Reglas de diagnóstico: nos llevan de los efectos observados a sus causas.

FOL Wumpus • Por ejemplo: si una casilla tiene brisa significa que una casilla adyacente tiene un pozo. • ∀x Brisa(x) ⇒ ∃y Adyacente(y, x) ∧ Pozo(y) • Reglas Causales: reflejan conclusiones respecto de las percepciones y sus causas. Por ejemplo: un pozo en una casilla provoca brisa en todas las casillas adyacentes. • ∀y Pozo(y) ⇒ [∀x Adyacente(x, y) ⇒ Brisa(x)]

Lógica de Primer Orden • La Ingeniería del Conocimiento es un proceso general para la construcción de una base de conocimiento. A continuación se describen los pasos de este proceso: • • Identificación de la tarea. Recopilación del conocimiento. Decidir el vocabulario. Codificar el conocimiento.

Deducción Automática • Para el hecho: Contrata(Telmex, Toño), podemos construir índices para las siguientes peticiones: • • Contrata(Telmex, Toño) ¿Contrata Telmex a Toño? Contrata(x, Toño) ¿Quién Contrata a Toño? Contrata(Telmex, y) ¿A quién Contrata Telmex? Contrata(x, y) ¿Quién Contrata a quién?

Deducción automática • El primer paso consiste en transformar los enunciados en sentencias lógicas. • Posteriormente se aplican las técnicas anteriores para convertirlas en un conjunto de cláusulas positivas de primer orden. • Luego se encadenan esos conocimientos para obtener nuevos enunciados.

Deducción Automática • Pasar a FNC la siguiente base de conocimientos: 1. Asterix es un galo 2. Los romanos que son amigos de algún galo odian a César 3. Asterix ayudó a Marco 4. Marco es amigo de quien le ayuda 5. Quien odia a algún romano, lucha contra él 6. Marco es romano

Deducción Automática 1. Asterix es un galo • galo(Asterix) (en FNC) 1. Los romanos que son amigos de algún galo odian a César • ∀x [romano(x). (∃y galo(y). amigo(x, y)) ⇒ odia(x, Cesar)]

Deducción Automática • Reemplazando la cláusula existencial: • ∀x [romano(x). (galo(G). amigo(x, G)) ⇒ odia(x, Cesar)] 3. Asterix ayudó a Marco • ayuda(Asterix, Marco) (en FNC) 4. Marco es amigo de quien le ayuda • ∀x [ayuda(x, Marco) ⇒ amigo(Marco, x)]

Deducción Automática 5. Quien odia a algún romano, lucha contra él • ∀x ∃y [romano(y). odia(x, y) ⇒ lucha(x, y)] • Reemplazando la cláusula existencial: • ∀x [romano(R). odia(x, R) ⇒ lucha(x, R)] 6. Marco es romano • romano(Marco) (en FNC)

Deducción Automática • Los Miembros del equipo de tenis son: Juan, Sara, Beto y Elena. • Juan está casado con Sara. • Beto es hermano de Elena. • El cónyuge de un miembro del equipo también es miembro del equipo.

Deducción Automática • La última reunión fue en casa de Juan. • Representar los enunciados anteriores en lógica de predicados. Demostrar que: • La última reunión fue en casa de Sara. • Elena no está casada. • Agregue los hechos que necesite para las demostraciones.

Deducción Automática • A Paco le gustan los cursos fáciles. • Los cursos de Física son difíciles. • Los cursos de Humanidades son fáciles. • El curso de Ética es del área de Humanidades. • ¿Qué curso le gustaría tomar a Paco?

Deducción Automática • A Beto le gusta la comida italiana. • En un restaurante hay comida mexicana a no ser que se anuncie explícitamente lo contrario. • En “La Conchita” no anuncian que tipo de comida sirven.

Deducción Automática • A las personas no les gusta ir a restaurantes donde sirven comida que no es de su preferencia. • ¿Se puede concluir que a Beto no le gusta ir a “La Conchita”?

Deducción Automática • Formaliza los siguientes hechos: • Todo dragón está feliz si todos sus hijos pueden volar. • Los dragones verdes pueden volar. Un dragón es verde si es hijo de al menos un dragón verde. • Demuestra por resolución que la conjunción de los hechos anteriores implica que: • Todos los dragones verdes son felices.

Deducción Automática • Considere las siguientes relaciones: • • • Feliz(x) para x es feliz. Volar(x) para x puede volar. Verde(x) para x es verde. Dragón(x) para x es dragón Rojo(x) para x es rojo. Hijo(x, y) para x es hijo de y.

Referencias • Carreón, J. (2007) Material de la Asignatura de Inteligencia Artificial, Universidad Vasco de Quiroga, Morelia, Michoacán, México. • Nilsson, N. (2001). Inteligencia Artificial. Una nueva síntesis. Mc. Graw-Hill, España. • Russel, S. y Norving, P. (2004). Inteligencia Artificial. Un Nuevo enfoque. Pearson Prentice Hall, España

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