Lgica Proposicional Conseqncia lgica e equivalncia Conseqncia lgica

Lógica Proposicional Conseqüência lógica e equivalência

Conseqüência lógica • Uma fórmula B é conseqüência lógica de uma fórmula A, denotando-se A ⊨ B sse • Toda interpretação I que satisfaz A também satisfaz B, i. e. tal que I[A] = T implica I[B] = T ; • De modo similar D é conseqüência lógica de um conjunto de fórmulas (ou teoria) Γ ={A 1, A 2 … An }, denotando-se por Γ ⊨ B sse • Para toda interpretação I que satisfaz todas as fórmulas de Γ também satisfaz B. 2

Conseqüência lógica • Exemplo: Modus ponens: P , (P Q) ⊨Q. • Teorema da dedução: Γ, A ⊨ B sse Γ ⊨ A B. • Mais exemplos… 10/6/2020 3

Prova do Teorema da dedução • A prova de Γ, A ⊨ B sse Γ ⊨ A B é feita em 2 mãos: • Γ, A ⊨ B implica Γ ⊨ A B • Para toda I[Γ] = T , I[A B] tem que ser tb T – Se I[A] = T, então I[B]=T já que Γ, A ⊨ B e I[A B]=T – Se I[A] = F, então I[A B] = T • Γ ⊨ A B implica Γ, A ⊨ B • Toda I[Γ] = T faz com que I[A B] =T • Por contradição: Suponhamos que – – – 10/6/2020 – I[Γ] = T, I[A]=T e, absurdamente I[B] = F I [A B] seria F, o que contradiz a premissa de que I[Γ] = T, I[A B]= T Portanto I[B]=T! 4

Equivalência lógica • Duas fórmulas A e B são logicamente equivalentes, representando-se por A ≡ B sse • A⊨Be. B⊨A • Na prática para verificar se duas fórmulas são logicamente equivalentes basta construir as tabelas-verdade para A e B e verificar se as colunas para A e para B são idênticas; • Definição: A ↔ B ≡ (A B ) ^ (B A ) • Teorema: A ≡ B sse A ↔ B é tautologia. 10/6/2020 5

Algumas equivalências notáveis • ¬¬P ≡ P (dupla negação); • P Q ≡¬P V Q (definição de em função de ¬ e v); • ¬(P V Q) ≡ (¬P ^ ¬Q) e ¬(P ^ Q) ≡ (¬P V ¬Q) • Leis de De Morgan • P ^ (Q V R) ≡ (P ^ Q) V (P ^ R) • Distributividade de ^ sobre v • P v (Q ^ R) ≡ (P v Q) ^ (P v R) • Distributividade de v sobre ^ 10/6/2020 6

Equivalência lógica • (Re)definições de conectivos em função de e : • P Q ≡¬P V Q ≡ ¬(P ^ ¬Q); • P V Q ≡ ¬(¬P ^ ¬Q) • É possível se definir todos os conectivos em função de um só ? 10/6/2020 7

Um só conectivo # (negação conjunta) e – | (disjunção alternativa), definidos pela seguinte tabela: P Q 1 1 0 0 1 0 10/6/2020 P#Q 0 1 1 1 P|Q 0 0 0 1 8

NAND Fazendo: – P = (P # P), E – P Q =((P # Q) # (Q # Q)), pode-se definir os conectivos e a partir de #, e obter os demais conectivos a partir desses. Deve-se comprovar que as tabelas-verdade que são obtidas coincidem com as previamente conhecidas. Reciprocamente, os conectivos # e | podem ser definidos por: P # Q = (P Q) E P | Q = (P Q): 10/6/2020 9

Lógica Proposicional • Exercícios (pg. 27). 10/6/2020 10