Lgica de proposiciones deduccin natural Impertinencias con prop

Lógica de proposiciones, deducción natural

Impertinencias con prop n Falta de estructura motiva uso de metateoremas n deducción: D n regla T: n contraposición: n refutación: P Q sii D {P} Q

Lógica de proposiciones: sistema de demostración n n ¿Cómo construir un cálculo para razonar sobre proposiciones? Queremos un conjunto de reglas de prueba que nos permitan inferir fórmulas de otras fórmulas

Recuerda que: n Una lógica contiene 3 ingredientes: 1. 2. 3. Un lenguaje formal; Un sistema de demostración; y Una semántica del lenguaje

Logica de proposiciones, sintaxis n El alfabeto (de nuestra versión) de la lógica proposicional consiste de los siguientes caracteres: a, …, z; A, …, Z, 0, …, 9, (, ), {, }, [, ], , , n símbolos no lógicos: constante: n n una secuencia de caracteres que inicia con una minúscula o un número Un solo tipo de constante, constante objeto, que nombra un elemento específico del dominio de discurso

Sintaxis (continúa) n P es una oración sii: es una constante objeto, o n es una oración compuesta: P, P 1 P 2, P 1 P 2 donde P 1 y P 22 son oraciones n n Precedencia de operadores: n n , , Un operando se asocia con aquel operador que posee precedencia superior. En caso de empate, el operador se asocia a la derecha

Deducción natural n n n 0 axiomas Conjunto de reglas de inferencia Una demostración de P es una secuencia de oraciones terminada con P. n n Cada oración en la secuencia es o una hipótesis, o un axioma, o puede derivarse a partir de oraciones previas, vía una regla de inferencia. Nota: Si usamos una hipótesis temporal (cf cajas), ésta sólo puede usarse si ocurre previamente al punto de aplicación y no aparece dentro de una caja que haya sido cerrada

Reglas de inferencia n n Para cada conectivo, hay una o más reglas para introducirlo y una o más para eliminarlo Y lógico, n Introducción: P Q n Eliminación: P Q P i e 1 P Q Q e 2

Ejemplos n Demuestre: n n p q | q p (p q) r, s t | q s

Doble Negación n n Introducción: P i P Eliminación: P e P

Ejemplos n Demuestre: n p, ¬¬(q r) | ¬¬p r

Implicación material, n Eliminación: P n P Q e Q Introducción: ?

Ejemplos n Demuestre: n n n p (q r), p, q | r ¬p q, ¬q | p p (q r), p, ¬r | ¬q Nota: en las dos últimas use modus tollens ¬Q P Q MT ¬P

Implicación material, n n Introducción: Ejemplos: P Q P Q i n ¬q ¬p | p ¬¬q n p | p n | (q r) ((¬q ¬p) (p r))

Actividad en colaboración n Demostrar: n n n p q r | p q r p q | p r q r

O-lógico n Introducción P P Q n i 1 Q P Q Eliminación P Q R R P Q R e i 2

Ejemplos n Demuestre: n n n p q | q p q r | p q p r (p q) r | p (q r) | (p q) (p r) Nota: Resolver el último ejercicio requiere el uso de la regla copy

Las reglas para negación, n Eliminación de ¬ P P n Introducción de ¬ i P e P ¬P ¬i

Ejemplos n Demostrar: n n n ¬p q | p q, p ¬q | ¬p p ¬q r, ¬r, p | q

Reglas auxiliares n Modus tollens n Introducción de doble-negación n Reductio ad absurdum n Tertium non datur (law of the excluded middle)

Lógica de proposiciones: Semántica n Semántica: La semántica de una lógica es una definición de la veracidad de las oraciones en un lenguaje de la lógica en términos de una interpretación

Interpretación n Una interpretación, I, para un lenguaje, L, es una definición de cada uno de los símbolos no lógicos de L en términos de algún dominio, v. gr. : S={b, p, q}; D={⊺, }; I(b)= , I(p)= , I(q)= ⊺

Modelo y consecuencia lógica n n Una interpretación, I, para un lenguaje, L, satisface o es modelo de una oración, P, si P es verdadera en I. En símbolos, Sean P y G una oración y un conjunto de oraciones, P es una consecuencia lógica de G sii cada interpretación que es modelo de todas las oraciones en G también es un modelo de P. En símbolos,

Semántica de la lógica de proposiciones n n n La semántica de la lógica proposicional es una definición de la veracidad de una oración con respecto a una interpretación: I( P) = ⊺ sii I(P) = I(P 1 P 2) = ⊺ sii I(P 1) = ⊺ y I(P 2) = ⊺ I(P 1 P 2) = ⊺ sii I(P 1) = ⊺ o I(P 2) = ⊺ I(P 1 P 2) = ⊺ sii I(P 1) = o I(P 2) = ⊺ I(P 1 P 2) = ⊺ sii I(P 1) es equivalente a I(P 2)

n n P es universalmente válida, o tautológica, si es verdadera en cualquier interpretacion: Si por el contrario P es falsa en toda interpretación, decimos que es una contradiccion

Teoría n n n Una teoría es un conjunto de oraciones el cual está cerrado bajo consecuencia lógica. Una teoría, G, es completa sii, para cada oración, P, P o bien P es miembro de G Una teoría, G, es inconsistente sii, para alguna oración P, n n y

Enfoque sintáctico versus enfoque semántico n n Satisfacción e inferencia están relacionadas por dos propiedades: n Corrección: n Calidad de cobertura: Corrección y calidad de cobertura no son conceptos cuyo sentido es absoluto en Lógica

Conclusiones n n n Algunos cálculos son menos estructurados que otros Cálculos estructurados permiten la construcción de procedimientos de demostración, algunos de los cuales a su vez permiten construir un procedimiento de decisión Lógica proposicional es decidible