Tema 2 EL LENGUAJE DE LA LGICA PROPOSICIONAL

Tema 2. EL LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL b) La formalización del lenguaje natural

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 • (i) Identificar los enunciados simples • (ii) Asignar a cada enunciado simple una constante proposicional • (iii) Identificar las partículas lógicas: negación, condicional, disyunción, etc • (iv) Reconstruir los enunciados complejos a partir de los simples y las partículas lógicas

Algunas formalizaciones sencillas -Hume canta o Kant baila o Hegel da palmas Hume canta p Kant baila q Hegel da palmas r p q r

Algunas formalizaciones sencillas -Hume canta y Kant baila y Hegel da palmas Hume canta p Kant baila q Hegel da palmas r p q r

Algunas formalizaciones sencillas -Hume canta, o Kant baila y Hegel da palmas Hume canta p Kant baila q Hegel da palmas r p (q r)

Algunas formalizaciones sencillas -Hume canta o Kant baila, y Hegel da palmas Hume canta p Kant baila q Hegel da palmas r (p q) r

Algunas formalizaciones sencillas -Si Hume canta, Kant baila Hume canta p Kant baila q Hegel da palmas r p q

Algunas formalizaciones sencillas -Si Hume canta y Kant baila, Hegel da palmas Hume canta p Kant baila q Hegel da palmas r (p q) r

Algunas formalizaciones sencillas -Hume canta, y, si Kant baila, Hegel da palmas Hume canta p Kant baila q Hegel da palmas r p (q r)

Algunas formalizaciones sencillas -Hume canta si y sólo si Hegel da palmas Hume canta p Kant baila q Hegel da palmas r p r

Algunas formalizaciones sencillas -Hume no canta si y sólo si Hegel no da palmas Hume canta p Kant baila q Hegel da palmas r ¬p ¬r

Algunas formalizaciones sencillas - Si Hume canta, entonces Kant baila si Hegel no da palmas Hume canta p Kant baila q Hegel da palmas r p (¬r q)

Algunas formalizaciones sencillas - Hume canta, si y sólo si Kant no baila si Hegel da palmas Hume canta p Kant baila q Hegel da palmas r p (r ¬q)

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 • (i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes Sólo formalizamos las oraciones declarativas, las que afirman o niegan algo: Kant baila Hume no canta demasiado bien Hegel cree que dar palmas es la principal tarea de un filósofo que se precie de serlo pero no ¿Bailaría Kant con Heidegger? ¡Hume, arráncate por soleare!

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 (i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes Con frecuencia hay que considerar idénticas a oraciones con distinto tiempo verbal: Kant bailará Kant bailaría Kant ama a Hume es amado por Kant

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 (i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes - Hay que completar aquello que está elíptico, PERO NO MÁS Kant baila y silba Kant baila y Kant silba PERO: Kant tiene un loro ≠ Kant tiene un ave

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 (i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes - Hay que fijarse en qué palabras se refieren al mismo objeto, como los pronombres: Hume nació en Escocia. Si él nació allí, no nació en Lanjarón. Aquí sólo hay 2 proposiciones: p Hume nació en Escocia q Hume nació en Lanjarón

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 (i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes - A veces hay que desechar ciertos elementos irrelevantes, como los adverbios: 1. Hegel discute acaloradamente. Si Hegel discute, le sube la tensión Aquí sólo cuentan 2 proposiciones: p Hegel discute q a Hegel le sube la tensión

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 (i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes - Pero contrástese con la siguiente: 2. Hegel discute. Si Hegel discute acaloradamente, le sube la tensión Aquí podría ser razonable contar 3 proposiciones: p Hegel discute q Hegel discute acaloradamente r a Hegel le sube la tensión

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 1. Hegel discute acaloradamente. Si Hegel discute, le sube la tensión 2. Hegel discute. Si Hegel discute acaloradamente, le sube la tensión La razón es que del argumento 1 parece seguirse que a Hegel le sube la tensión, mientras que del argumento 2 no parece seguirse. En general no tomaremos en cuenta detalles de este tipo

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 (i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes Otros casos problemáticos: - Hume es inocente. Si no es culpable, debe ser absuelto ¿Cuántas proposiciones hay aquí? Presumiblemente, sólo 2: p Hume es inocente q Hume debe ser absuelto Hume es inocente Hume no es culpable En general asumimos que inocente es lo contrario de culpable

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 (i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes Pero hay que tener cuidado: - Hume es escocés. Si no es británico, le gusta la rumba ¿Cuántas proposiciones hay aquí? En este caso hay 3: p Hume es escocés q Hume es británico r a Hume le gusta la rumba Hume es escocés ≠ Hume no es británico

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 (iii) Identificar las partículas lógicas • Las cinco partículas NO, Y, O, SI Y SÓLO SI son las más evidentes. • Pero hay expresiones del lenguaje natural que cumplen la misma función lógica, aunque no tengan la misma función pragmática. • Cuando una expresión tenga la misma función lógica que una de esas 5 partículas, la formalizamos usando la misma conectiva.

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 (iii) Identificar las partículas lógicas Expresiones equivalentes a Y Peano habla Y Quine duerme Peano habla, PERO Quine duerme Peano habla AUNQUE Quine duerme Peano habla, SIN EMBARGO, Quine duerme Peano habla, Quine duerme A PESAR DE QUE Peano habla, Quine duerme p q

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 (iii) Identificar las partículas lógicas Expresiones equivalentes a O Peano habla O Quine duerme Peano habla, A MENOS QUE Quine duerma p q

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 (iii) Identificar las partículas lógicas Expresiones equivalentes a NO Peano NO habla NO ES EL CASO QUE Peano hable NO OCURRE QUE Peano hable NO ES CIERTO QUE Peano habla ¬p

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 (iii) Identificar las partículas lógicas Expresiones equivalentes a SI…(ENTONCES) SI Peano habla, (ENTONCES) Quine duerme CUANDO Peano habla, Quine duerme Que Peano hable ES SUFICIENTE PARA que Quine duerma Que Peano hable IMPLICA QUE Quine duerma SIEMPRE QUE Peano habla, Quine duerme, SI Peano habla Quine duerme EN CASO DE QUE Peano hable Quine duerme SUPUESTO QUE Peano hable p q

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 NECESARIO / SUFICIENTE Compara 2 universidades: U 1: Es suficiente sacar un 9 para tener Matrícula U 2: Es necesario sacar un 9 para tener Matrícula Si sueles sacar 9 y te interesa tener Matrículas, ¿qué universidad te lo pone más fácil? ¡La U 1! SI sacas un 9, tienes Matrícula. En la U 2 sacar 9 no implica tener Matrícula. En la U 2 ocurre que SI NO sacas 9, NO tienes MH. Por tanto, SI tienes MH, es que tienes un 9

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 Por tanto, si nos encontramos: es suficiente para ß ß es necesario para ß ß ¬ ¬ß

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 • Caso peculiar (i): SÓLO SI 1. Me mareo si voy en coche 2. Me mareo sólo si voy en coche ¿dicen lo mismo 1 y 2? 3. Me mareo si voy en bus la oración 3 ¿contradice a 1, a 2, a ambas, a ninguna? Contradice a 2, pero no a 1. 1 y 3 son compatibles (o consistentes): las dos pueden ser verdaderas a la vez. Pero 2 y 3 son incompatibles (o contradictorias): las dos no pueden ser verdaderas a la vez.

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 • 1. 2. Caso peculiar (i): SÓLO SI Me mareo si voy en coche Me mareo sólo si voy en coche ¿dicen lo mismo 1 y 2? 1 y 2 no dicen lo mismo: En 1, que vaya en coche es condición suficiente para que me maree (pero puedo marearme por más razones) me mareo p voy en coche q (1) (q p) En 2 que vaya en coche es condición necesaria para que me maree (si no voy en coche no me mareo) me mareo p voy en coche q (2) (p q)

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 • Caso peculiar (ii): IMPERATIVO + y “Dadme un punto de apoyo y levantaré el mundo” ¿cuál es su forma lógica? • Intento #1: desechamos el imperativo levantar el mundo p formalización: p Pero ¿se limita Arquímedes a afirmar que va a levantar el mundo?

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 • Caso peculiar (ii): IMPERATIVO + y “Dadme un punto de apoyo y levantaré el mundo” ¿cuál es su forma lógica? • Intento #2: interpretamos la ‘y’ como conyuntor dar un punto de apoyo p levantar el mundo q formalización: p q Pero ¿afirma entonces Arquímedes que le damos un punto de apoyo?

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 • Caso peculiar (ii): IMPERATIVO + y “Dadme un punto de apoyo y levantaré el mundo” ¿cuál es su forma lógica? • Intento #3: sospechamos que no todo es lo que parece Arquímedes está estableciendo una condición: SI le damos un punto de apoyo, él levanta el mundo dar un punto de apoyo p levantar el mundo q formalización correcta: p q !!

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 • Caso peculiar (iii): IMPERATIVO + o 1. “Dame un vaso de agua o me muero” 2. “Dame un vaso de agua o una gaseosa” ¿tienen la misma forma lógica? • NO. (1) establece una condición que, caso de no cumplirse, acarrea una consecuencia: “si no me das un vaso de agua, me muero”: ¬p q (2) es una disyunción de dos imperativos, y no se puede formalizar

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 (iii) Identificar las partículas lógicas Expresiones equivalentes a SI Y SÓLO SI Peano habla SI Y SÓLO SI Quine duerme Peano habla CUANDO Y SÓLO CUANDO Quine duerme Que Peano hable EQUIVALE A que Quine duerma Que Peano hable ES NECESARIO Y SUFICIENTE PARA que Quine duerma Peano habla, EN EL CASO, Y SÓLO EN EL CASO, DE QUE Quine duerma p q

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 (iii) Identificar las partículas lógicas Formalizaciones equivalentes: 1. Iré al cine o al teatro p q 2. Iré al cine a menos que vaya al teatro Hemos visto que estas dos expresiones se formalizan igual

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 (iii) Identificar las partículas lógicas Formalizaciones equivalentes: 2. Iré al cine a menos que vaya al teatro 3. Si no voy al teatro, voy al cine ¬q p Pero cabe pensar que 2 viene a decir lo mismo que 3

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 (iii) Identificar las partículas lógicas Formalizaciones equivalentes: 2. Iré al cine a menos que vaya al teatro ¬p q 4. Si no voy al cine, voy al teatro Y también puede parecernos que 2 viene a decir lo mismo que 4

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 (iii) Identificar las partículas lógicas Formalizaciones equivalentes: 1. Iré al cine o al teatro p q 2. Iré al cine a menos que vaya al teatro ¬q 3. Si no voy al teatro, voy al cine p ¬p q 4. Si no voy al cine, voy al teatro Veremos que en el fondo todas son lógicamente equivalentes

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 Otras expresiones: NI ß es lo mismo que NO Y NO ß “Ni tomo leche ni tomo harina” p tomar leche q tomar harina ¬p ¬q “No tomo leche y harina” La idea es que no los tomo conjuntamente ¬(p q) OJO! ¬p ¬q NO EQUIVALE a ¬(p q)

Cómo formalizar el lenguaje natural en L 0 (iv) Reconstruir los enunciados complejos - Lo fundamental en los casos que plantean “dudas razonables” es aplicar el sentido común y mantener un CRITERIO HOMOGÉNEO. - Hay que tener mucho cuidado en no añadir nada que no venga realmente dado en la oración - La lógica proposicional no permite muchas florituras: lo fundamental es mantener la forma lógica con las conectivas y evitar ambigüedades - La formalización tiene un poco de arte y, como tal, requiere práctica.

Ejercicios de formalización en L 0 • Cuando el ventero está en la puerta, el diablo está en la venta, pero cuando no está en la puerta, el diablo sigue estando en la venta p el ventero está en la puerta q el diablo está en la venta (p q) (¬p q)

Ejercicios de formalización en L 0 • Supongamos que una figura sólo puede ser cuadrada o triangular, pequeña o grande, y roja o azul. Interpretemos las expresiones del tipo ‘X es un cuadrado azul’ como ‘X es un cuadrado’ y ‘X es azul’. p es pequeña r es roja t es triangular q es cuadrada s es grande u es azul

Ejercicios de formalización en L 0 • Si es grande, también es azul; es un triángulo azul o es roja y pequeña; si es roja, no es un cuadrado pequeño; si es triángulo, es rojo y pequeño. p es pequeña s es grande q es cuadrada t es triangular r es roja u es azul (s u) ; (t u) (r p) ; r ¬(q p) ; t (r p) Obsérvese que podemos sustituir los ; por conyuntores y obtener así una sola fórmula compleja: (s u) [(t u) (r p)] [r ¬(q p)] [t (r p)]

Ejercicios de formalización en L 0 • Si es un cuadrado pequeño, es rojo; ni es un cuadrado grande ni es un cuadrado rojo; es un triángulo sólo si es rojo p es pequeña s es grande q es cuadrada t es triangular r es roja u es azul [(q p) r] [¬(q s) ¬(q r)] (t r)

Ejercicios de formalización en L 0 • No es un cuadrado grande; no es un triángulo azul; es roja si y sólo si es pequeña p es pequeña s es grande q es cuadrada t es triangular ¬(q s) ¬(t u) (r p) r es roja u es azul

Ejercicios de formalización en L 0 • Si es un cuadrado o es roja, es grande; es grande si y sólo si es azul; sólo es un cuadrado si es roja p es pequeña s es grande q es cuadrada t es triangular r es roja u es azul [(q r) s] (s u) (q r)

Ejercicios de formalización en L 0 • Aprobaré lógica, si Dios quiere. Aprobaré lógica si y sólo si estudio y hago todos los ejercicios. Sin embargo, no he hecho los ejercicios. Por tanto, Dios no quiere que apruebe lógica. p apruebo lógica r estudio q D quiere que apruebe s hago los ejercicios ¿hay algún modo de marcar la diferencia de ese ‘por tanto’? SÍ: es la conclusión de un argumento. Vamos a marcarla con el símbolo (q p) [p (r s)] s ¬q

Ejercicios de formalización en L 0 Si la señora White lo hizo, lo hizo con la llave inglesa o con la cuerda. Pero lo hizo con la cuerda si y sólo si el asesinato se cometió en el vestíbulo. El asesinato se cometió en la cocina. Por lo tanto, si la señora White lo hizo, lo hizo con la llave inglesa. p W lo hizo q W lo hizo con llave r W lo hizo con cuerda s asesinato en vestíbulo t asesinato en cocina [p (q r)] (r s) t (p q)

Ejercicios de formalización en L 0 Una condición necesaria para que la humanidad sea libre es que los seres humanos no estén ligados a una esencia. Si Dios creó a los humanos, entonces estamos ligados a una esencia. Claramente, los humanos somos libres. Por tanto, Dios no creó a los humanos. p humanos son libres r D crea humanos q humanos ligados a esencia (p ¬q) (r q) p ¬r

Ejercicios de formalización en L 0 No hay vida en Marte a menos que haya oxígeno allí, y no hay oxígeno allí a menos que haya allí alguna planta, y no hay plantas allí a menos que haya agua. Por tanto, si hay vida en Marte, allí hay agua. p hay vida en M q hay O 2 en M r hay plantas en M s hay agua en M (¬q ¬p) (¬r ¬q) (¬s ¬r) (p s) (¬p q) (¬q r) ( ¬r s) (p s) (p q) (q r) (r s) (p s)