Tema 8 El lenguaje algebraico Ecuaciones Tema 8

Tema: 8 El lenguaje algebraico. Ecuaciones.

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros Ancho Esta información podría expresarse de otra forma: Llamamos x al ancho del campo. El doble será 2 · x Largo Las dimensiones de nuestro campo, expresadas en forma algebraica, son: Y el doble más 10 m: 2 · x + 10 Por tanto, 2 · x + 10 expresa el largo del campo de fútbol. x El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar información. 2 x + 10 2

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES 3 El lenguaje algebraico: algunos ejemplos Lenguaje ordinario Lenguaje algebraico Un número aumentado en 2 a + 2 (Hemos llamado a al número) Un número disminuido en 5 c – 5 (Llamamos c al número) x Perímetro del cuadrado de lado x 4 x El cuadrado de un número x 2 El cuadrado de un número menos el mismo número El número natural siguiente al número n Hoy Antonio tiene 12 años; cuando pasen x años tendrá Hoy Laura tiene 13 años; hace x años tenía: x 2 – x n+1 x + 12 13 – x x

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES 4 Expresiones algebraicas Las fórmulas que se utilizan en geometría, en ciencias y en otras materia son expresiones que contienen letras, o números y letras: Área de un rectángulo: a · b Área del triángulo: h b b a La distancia recorrida por un coche que circula a 100 km/h: 100 · t (t = tiempo en horas) Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación, división y potenciación. Observaciones: 1 · x 2 · y 1. El factor 1 no se escribe. 2. El exponente 1 tampoco se escribe. 5 · a · b · c 3 3. El signo de multiplicación no suele ponerse. x 2 y 5 abc 3

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES 5 Valor numérico de una expresión algebraica Observa el cuadrado de lado x. Su área es x 2. Si queremos hallar el área de un cuadrado concreto, por ejemplo de uno que tenga 4 cm de lado, se sustituye x por 4: x x 2 x A = x 2 = 42 = 16 16 es el valor numérico de la expresión x 2 cuando se sustituye x por 4. Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados y hacer las operaciones indicadas en la expresión. Ejemplos: 1. El valor numérico de la expresión algebraica 5 x – 6 para x = 2, es: 5 · 2 – 6 = 10 – 6 = 4 para x = 10, es: 5 · 10 – 6 = 50 – 6 = 44 2. El valor numérico de la expresión algebraica 5 a 2 + b 2 para a = 4 y b = 10 es: 5 · 42 + 102 = 5 · 16 + 100 = 180

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES 6 Suma y resta de expresiones algebraicas Dos segmentos miden 5 x y 3 x, respectivamente. x x x x 3 x 5 x ¿Cómo podríamos expresar su longitud total? Suma: Si ponemos un segmento a continuación del otro, se tiene: x x x x 3 x 5 x ¿Cómo podríamos expresar la diferencias de sus longitudes? x x x 2 x Observación: 5 x + 3 x = 8 x 5 x 3 x Para que dos expresiones puedan sumarse o restarse es necesario que sean semejantes. Resta: 5 x – 3 x = 2 x No se pueden sumar 2 x + x 2 Se deja indicado Para que las expresiones algebraicas unidas por las operaciones suma y resta se puedan reducir a una expresión más sencilla, sus partes literales deben ser iguales. Se dice entonces, que son expresiones semejantes.

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES 7 Igualdades y ecuaciones La balanza está equilibrada. 10 + 2 = 4 + 8 Tenemos una igualdad numérica Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas iguales unidas por el signo igual (=). Toda igualdad tiene dos miembros. El primero a la izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha. 10 + 2 = 4 + 8 1 er miembro 2º miembro Esta segunda balanza también está en equilibrio; aunque un peso es desconocido: le llamamos x Se tendrá la igualdad: x + 4 = 8 + 4 Esta igualdad se llama ecuación. La letra x es la incógnita. Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce. La ecuación es de primer grado si la incógnita lleva de exponente 1.

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES Solución de una ecuación ¿Cuánto pesará el trozo de queso si la balanza está equilibrada? Platillo izquierdo: Platillo derecho: x + 100 500 + 200 Como pesan igual, escribimos la ecuación: x + 100 = 500 + 200 La incógnita x tiene que valer 600, pues: 600 + 100 = 500 + 200 = 700 El valor x = 600 es la solución de la ecuación. La solución de una ecuación de primer grado es el valor de la incógnita para el que se verifica la igualdad. Resolver una ecuación de primer grado es encontrar su solución. Para comprobar que una solución es correcta hay que sustituir en la ecuación y ver que se cumple la igualdad. Ejemplo La solución de la ecuación 2 x – 2 = x + 12 es x = 14 pues 2 · 14 – 2 = 14 + 12 = 26 8

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES Ecuaciones equivalentes La solución de las dos ecuaciones siguientes es x = 3: Sustituyendo: a) 4 + 4 x = 25 – 3 x b) 7 x + 4 = 25 4 + 4 · 3 = 16 y 25 – 3 · 3 = 16 7 · 3 + 4 = 25, que es el 2º miembro Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución. Observa como pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada: Ecuación dada: 8 x = 16 Su solución es x = 2. (¿Es cierto? ) Le sumamos 2 a cada miembro 2ª ecuación: 2 + 8 x = 2 + 16 2 + 8 x = 18 Restamos 6 x a cada miembro 3ª ecuación: 2 + 8 x – 6 x = 2 + 16 – 6 x 2 + 2 x = 18 – 6 x Comprueba que x = 2 es la solución de las tres ecuaciones. 9

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES 10 Resolución de ecuaciones. Regla de la suma Para resolver ecuaciones es útil buscar otra semejante a la dada pero que sea más fácil. Para ello es necesario conocer algunas reglas. Observa: si de la balanza de la izquierda se quita de los dos platillos la pesa 5, el equilibrio se mantiene. x + 5 = 10 + 5 Luego: x = 10 Regla de la suma Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un número o una expresión semejante a las utilizadas en la ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. Ejemplo: Para resolver la ecuación Restamos 8: Restamos x: 2 x + 8 = x + 25 + 8 – 8 2 x = x + 25 –x –x x = 25 La solución es x = 25

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES Resolución de ecuaciones. Regla de la suma EJEMPLO Resuelve x – 5 = 13. Solución En el primer miembro de la ecuación, 5 se resta de x. Para aislar x, hay que deshacer la resta aplicando la operación inversa de sumar 5. Para mantener el equilibrio, debes sumar 5 a cada lado. x – 5 = 13 Escribe la ecuación original. x – 5 + 5 = 13 + 5 x = 18 ► La solución es 18. Suma 5 a cada lado. Simplifica. COMPROBACIÓN x – 5 = 13 18 – 5 = 13 13 = 13 Escribe la ecuación original. Sustituye x por 18. La solución es correcta. 11

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES 12 Resolución de ecuaciones. Regla de la suma EJEMPLO Resuelve x + 4 = – 3 x + 4 – 4 = – 3 – 4 x = – 7 x + 4 = – 3. Escribe la ecuación original. COMPROBACIÓN Resta 4 a cada miembro. Simplifica. ► La solución es – 7. Sustituye x por – 7. x + 4 = – 3 – 7 + 4 = – 3 La solución es correcta. EJEMPLO Resuelve y – 3 = – 14 y – 3 + 3 = – 14 + 3 y = – 11 ► La solución es – 11. Escribe la ecuación original. Suma 3 a cada miembro. Simplifica.

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES Resolución de ecuaciones. Regla de la suma EJEMPLO Resuelve 3 a = 7 + 2 a 3 a – 2 a = 7 + 2 a – 2 a a=7 Escribe la ecuación original. Resta 2 a a cada miembro. Simplifica. ► La solución es 7. COMPROBACIÓN 3 a = 7 + 2 a 3· 7 = 7 + 2· 7 Sustituye x por 7. La solución es correcta. 21 = 21 13

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES Resolución de ecuaciones. Regla del producto Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan: 4 x = 20 Hemos dividido por 4 Luego: x=5 Regla del producto Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. Ejemplo: Para resolver la ecuación Restamos 3: Restamos 2 x: Dividimos por 2 4 x + 3 = 2 x + 9 4 x = 2 x + 6 2 x = __ 6 __ 2 2 x =3 La solución es x = 3 14

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES 15 Resolución de ecuaciones. Regla del producto EJEMPLO Resuelve 3 x = 15. Solución En el lado izquierdo de la ecuación, x está multiplicada por 3. Para aislar x, hay que deshacer la multiplicación con la operación inversa de dividir por 3. 3 x = 15 3 3 x=5 ► La solución es 5. Escribe la ecuación original. Divide cada lado por 3. Simplifica. COMPROBACIÓN 3 x = 15 3· 5 = 15 15 = 15 Sustituye x por 5. La solución es correcta.

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES 16 Resolución de ecuaciones. Regla del producto EJEMPLO 7 x = – 56 7 7 x=– 8 ► La solución es – 8. EJEMPLO 7 x = – 56. Resuelve Escribe la ecuación original. Divide cada lado por 7. Simplifica. COMPROBACIÓN Sustituye x por – 8. 7 x = – 56 7·(– 8) = – 56 La solución es correcta. Resuelve Escribe la ecuación original. · 5 = 12 · 5 Multiplica los dos miembros por 5. y = 60 Simplifica. ► La solución es 60. COMPROBACIÓN 60 = 12 5

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES 17 Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto En los siguientes ejemplos se utilizan los dos principios, el de la suma y el del producto. EJEMPLO Resuelve 3 x – 4 = 17 3 x – 4 + 4 = 17 + 4 3 x = 21 3 3 x=7 ► La solución es 7. 3 x – 4 = 17. Escribe la ecuación original. Suma 4 a cada miembro. Simplifica. Divide cada lado por 3. Simplifica. COMPROBACIÓN 3 x – 4 = 17 3·(7) – 4 = 17 17 = 17

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto Resuelve EJEMPLO Escribe la ecuación original. 3– 8= n +8– 8 5 Resta 8 a cada miembro. Simplifica. 5( ) ( )· 5 – 25 = n ► La solución es – 25. Multiplica los dos miembros por 5. Simplifica. 18

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES 19 Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto EJEMPLO Resuelve 5–x=7 – 5 + 5 – x = – 5 + 7 – 1 x = 2 – 1 x = – 2 ► La solución es – 2. 5 – x = 7. Escribe la ecuación original. Resta 5 a cada miembro. Simplifica. Divide por – 1. Simplifica. COMPROBACIÓN 5–x=7 5 – (– 2) = 7 7=7

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto EJEMPLO Resuelve b + 8 = 18 + 3 b Escribe la ecuación original. b – 3 b + 8 = 18 + 3 b – 3 b Resta 3 b a cada miembro. b – 3 b + 8 = 18 Simplifica. b – 3 b + 8 – 8 = 18 – 8 b – 3 b = 18 – 2 b = 10 – 2 – 2 b = – 5 ► La solución es – 5. Resta 8 a cada miembro. Simplifica. Agrupa. Divide por – 2. Simplifica. 20

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES Transposición de términos en una ecuación Ya has visto que para resolver ecuaciones lo que hacemos es eliminar términos sumando, restando, multiplicando o dividiendo los dos miembros de la ecuación por un mismo número o expresión. Ese proceso podemos realizarlo de manera más rápida haciendo que ese mismo término aparezca en el otro miembro de forma «inversa» a como estaba: ► Si estaba sumando, aparece restando, y si estaba restando, aparece sumando. ► Si estaba multiplicando, aparece dividiendo, y si estaba dividiendo, aparece multiplicando. Esta técnica se denomina transposición de términos. 21

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES Transposición de términos en una ecuación EJEMPLO Transposición de términos 4 x – 8 = 6 + 2 x 4 x – 2 x = 6 + 8 a) Si sumamos a los dos miembros +8, 4 x – 8 = 6 + 2 x 4 x – 8 + 8 = 6 + 2 x + 8 4 x = 6 + 2 x + 8 Esto equivale a pasar directamente el término – 8 al segundo miembro como +8. b) De la misma forma, para eliminar +2 x del segundo miembro lo pasamos al primero como – 2 x. 2 x = 14 = 7 2 c) Operamos y, en la ecuación obtenida 2 x = 14, pasamos el 2 al segundo miembro dividiendo. Este último paso se llama despejar la incógnita. 22

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES 23 Propiedad distributiva (Quitar paréntesis) a(b + c) = ab + ac 4(5 + 8) = 4· 5 + 4· 8 = = 20 + 32 = 52 (6 + 9)2 = 6· 2 + 9· 2 = = 12 + 18 = 30 Con expresiones algebraicas (letras y números) funciona igual. 2(x + 4) = 2 x + 2· 4 = 2 x + 8 2(4 x + 1) = 2· 4 x + 2· 1 = 8 x + 2 (y + 3)6 = y· 6 + 3· 6 = 6 y + 18 4(x – 2) = 4 x + 4(– 2) = 4 x – 8 – 2(n – 3) = – 2 n + (– 2)( – 3) = – 2 n + 6 Cuidado con los signos negativos (–). Recuerda la regla de los signos: +·+=+ +·–=– –·+=– –·–=–

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES 24 Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis. 3(x – 7) = 5(x – 1) – 4 x 1º. Quitar paréntesis: 3 x – 21 = 5 x – 5 – 4 x 2º. Operar 5 x – 4 x: 3 x – 21 = x – 5 3º. Restar x 2 x – 21 = – 5 4º. Sumar 21 5º. Dividir por 2 2 x = 16 x=8 COMPROBACIÓN 3(x – 7) = 5(x – 1) – 4 x 3(8 – 7) = 5(8 – 1) – 4· 8 3· 1 = 5· 7 – 4· 8 3 = 35 – 32 3=3 La solución es correcta.

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES 25 Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis. EJEMPLO Resuelve 6 – (4 + x) = 8 x – 2(3 x + 5) 6 – 4 – x = 8 x – 6 x – 10 –x + 2 = 2 x – 10 Ecuación original Quita paréntesis. Simplifica. Traspones términos. –x – 2 x = – 10 – 2 Agrupa. – 3 x = – 12 Divide por – 3. x=4 COMPROBACIÓN 6 – (4 + 4) = 8· 4 – 2(3· 4 + 5) 6 – 8 = 32 – 34 – 2 = – 2

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES 26 Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores. 1º. Quitar denominadores. Para ello se multiplica por 12, que es m. c. m. (4, 2, 6): Recuerda cómo se calcula el m. c. m. : 12·( ) ( )· 12 3 x + 30 – 2 x = 60 2º. Restar 30: 3º. Operar 3 x – 2 x = 30 4 2 1 2 2 6 2 1 3 2 4 = 22 2=2 6 = 2· 3 Para el m. c. m. tomamos los factores comunes y los no comunes al mayor exponente: m. c. m. (4, 2, 6) = 22 · 3 = 12

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES 27 Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores. EJEMPLO 4( 4( ) ( )4 ) 4( 1º. Quitar denominadores. Para ello se multiplica por 4, que es m. c. m. (2, 4): ) 4( ) 2(x + 1) + (x + 3) = 2 2 x + 2 + x + 3 = 2 3 x + 5 = 2 3 x = 2 – 5 3 x = – 3 2º. Quitar paréntesis. 3º. Agrupar términos semejantes. 4º. Transponer términos. 5º. Despejar la incógnita. x = – 1

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES 28 Resolución de problemas Problema 1: La madre de Jorge tiene 39 años y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene Jorge? 1º. Interpretación del enunciado Lenguaje algebraico Edad de Jorge La madre de Jorge tiene 39 y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de Jorge 3 x – 6 Son iguales 3 x – 6 = 39 2º. Plantear la ecuación 3º. Resolución de la ecuación x 39 Suma 6 3 x = 45 Divide por 3 x = 15 Jorge tiene 15 años 4º. Comprobación. 3 · 15 – 6 = 45 – 6 = 39 Correcto

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES 29 Resolución de problemas PROBLEMA 2: ¿Cuál es el número que aumentado en 55 es igual a 6 veces su valor inicial? ► 1º. Interpreta el enunciado y exprésalo algebraicamente. x Un número Seis veces el número ► 2º Plantear la ecuación. ► 3º. Resolver la ecuación. x + 55 El número aumentado en 55 es igual a 6 x 6 veces el número x + 55 = 6 x – x 55 = 5 x 55/5 = x x = 11 El número buscado es 11. ► 4º. Comprobación. Nº aumentado en 55 11 + 55 = 66 6 veces el número 6· 11 = 66 Correcto

Tema 8 El lenguaje algebraico. ECUACIONES 30 Resolución de problemas PROBLEMA 3: La base de un rectángulo es doble que la altura y el perímetro mide 78 cm. Calcular las dimensiones del rectángulo. ► 1º. Interpreta el enunciado y exprésalo algebraicamente. Perímetro ► 2º Plantear la ecuación. ► 3º. Resolver la ecuación. ► 4º. Comprobación. Lado menor x Lado mayor 2 x 78 x + 2 x 2 x x + 2 x = 78 6 x = 78 6 x = 13 cm 2 x = 26 cm Perímetro = 13 + 26 + 13 + 26 = 78 cm