CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO ngulos cuerdas y secantes en

CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO Ángulos, cuerdas y secantes en la circunferencia.

APRENDIZAJES ESPERADOS • Identificar los elementos primarios de Círculo y Circunferencia. • Calcular área y perímetro del sector circular. • Calcular ángulos en la circunferencia • Calcular medidas circunferencia de trazos en la

Contenidos 1. Definición 1. 1 Circunferencia 1. 2 Círculo 2. Elementos de la Circunferencia y del Círculo 2. 1 Radio 2. 2 Cuerda 2. 3 Diámetro 2. 4 Secante 2. 5 Tangente

2. 6 Sagita y Apotema 2. 7 Arco de circunferencia 2. 8 Sector Circular 2. 9 Segmento Circular 3. Áreas y Perímetros 3. 1 Área del Círculo 3. 2 Perímetro de la Circunferencia 3. 3 Medida de un arco de circunferencia 3. 4 Área y Perímetro de un sector circular 3. 5 Perímetro de un segmento circular

PARA RECORDAR…

1. Definición 1. 1 Circunferencia Línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan (igual distancia) de un punto fijo llamado centro. • o 1. 2 Círculo Región del plano limitado por una circunferencia Círculo • o Circunferencia

2. Elementos de la Circunferencia y del Círculo 2. 1 Radio (r) Segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la circunferencia. o r A O: centro de la circunferencia OA: radio = r

2. 2 Cuerda Segmento que une dos puntos distintos de la circunferencia. A B AB: Cuerda

2. 3 Diámetro (d) Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Corresponde a la cuerda de mayor longitud. O: centro de la circunferencia A r O • r AB: diámetro = d = 2 r B d El diámetro divide a la circunferencia en 2 semicircunferencias iguales, es decir, Arco AB = Arco BA

2. 4 Secante Recta que intersecta a la circunferencia en 2 puntos, formando una cuerda. A • AB: Cuerda • B AB: Secante

2. 5 Tangente Recta que intersecta en un sólo punto a la circunferencia. Este punto es llamado “punto de tangencia” o “punto tangencial”. O: centro de la circunferencia OA: radio O A: Punto de tangencia r A OA ┴ L L

2. 6 Arco de circunferencia Corresponde a una parte de la circunferencia. Su lectura es en sentido anti-horario (contrario a los punteros del reloj). B • AB : arco de circunferencia • A Los puntos A y B de la circunferencia, determinan el arco AB.

2. 7 Sector Circular Corresponde a una fracción del área del círculo determinada por un ángulo del centro ( ). Su perímetro corresponde a 2 radios más la longitud de un arco de circunferencia. O: centro de la circunferencia r : radio B AB : arco de circunferencia Sector circular A

3. Áreas y Perímetros 3. 1 Área del Círculo Si r es el radio, entonces: Área círculo = p ∙ r 2 Ejemplo: Determinar el área del círculo cuyo diámetro mide 20 cm. Solución: Si el diámetro mide 20 cm, entonces el radio mide 10 cm. Luego, el área del círculo es: A= p ∙ 102 A = 100 p cm 2

3. 2 Perímetro de la circunferencia Si r es el radio y d el diámetro, entonces: Perímetro = 2 p∙r ó Perímetro = p∙d Ejemplo: Determinar el perímetro de una circunferencia cuyo radio mide 15 cm. Solución: P = 2 p∙ 15 P = 30 p cm.

3. 3 Medida de un Arco de Circunferencia AB : arco de circunferencia O: centro de la circunferencia r : radio Arco = 2 pr ∙ 360° = Un arco corresponde a una parte de la circunferencia. Luego, es una fracción del perímetro (2 pr) o del arco completo (360°). En ambos casos, su medida depende del ángulo del centro que lo determina (a).

3. 4 Área y Perímetro de un Sector Circular A B A sector 2 = ∙ pr 360° Psector = + 2 r Psector = 2 pr ∙ + 2 r 360° O: centro de la circunferencia r : radio AB : arco de circunferencia

Ejemplo de aplicación: Determinar el área y perímetro de la zona achurada de la figura. O: centro de la circunferencia. Solución: A Sector 2 = 80∙p∙ 4 360° A Sector = 2∙p∙ 16 9 A Sector = 32 p 9 Psector = 2 p 4 ∙ 80+ 2∙ 4 360° Psector = 16 p + 8 9

Ángulos en la Circunferencia 1. Teoremas fundamentales - Ángulos 1. 1 Ángulo del centro y ángulo inscrito 1. 2 Igualdad de ángulos inscritos 1. 3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia 1. 4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia 1. 5 Teorema del ángulo exterior 1. 6 Teorema del ángulo interior

2. Teoremas fundamentales - Trazos 2. 1 Teorema de las secantes 2. 2 Teorema de la tangente y la secante 2. 3 Teorema de las tangentes 2. 4 Teorema de las cuerdas 2. 5 Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia

1. Teoremas fundamentales (ángulos) 1. 1 Ángulo del centro y ángulo inscrito Ángulo del centro: Tiene el vértice en el centro de la circunferencia, y mide lo mismo que el arco que subtiende. Ejemplo: Si el arco AB = 40º, entonces = 40º 40° O: centro de la circunferencia

Ángulo inscrito: Tiene el vértice en la circunferencia, y mide la mitad del arco que subtiende. Ejemplo: Si el arco AB = 50º, entonces = 25º 50°

Corolario: Si un ángulo inscrito y un ángulo del centro subtienden el mismo arco, entonces el ángulo del centro es el doble del ángulo inscrito. 2 Además, se cumple que: =g+d

Ejemplo: En la figura, si arco AB mide 70°, entonces el ángulo del centro AOB también mide 70° y el ángulo inscrito ACB mide 35°. 70° O: centro de la circunferencia

1. 2 Igualdad de ángulos inscritos Si dos o más ángulos inscritos subtienden el mismo arco, éstos son iguales. =b=g

ACTIVIDADES Calcula en cada caso la medida del ángulo α.

Evalúa si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas respecto a la circunferencia con centro en O. Justifica las falsas. a) Si la medida angular del arco AC es 120° y la del arco CB es 110°, entonces la medida angular del arco AB es 110°. b) Si la medida del ángulo ABO es 40° y BO es bisectriz del ángulo ABC, entonces el ángulo COB mide 100°. c) El arco que subtiende el ángulo del centro AOC corresponde a la medida del arco AC. d) El arco que subtiende el ángulo AOC es el mismo que subtiende el ángulo ABC.

RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

1. 3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo con hipotenusa igual al diámetro. 180° O: centro de la circunferencia

1. 4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios. Ejemplo: + b = 180° g + d = 180°

1. 5 Teorema del ángulo exterior Si a es ángulo exterior de la circunferencia, entonces:

1. 6 Teorema del ángulo interior Si a es ángulo interior de la circunferencia, entonces:

2. Teoremas fundamentales (trazos) 2. 1 Teorema de las secantes Sean PA y PB dos secantes, entonces: PA ∙ PD = PB ∙ PC

Ejemplo: En la figura, determinar PD si PA = 12, PB = 20 y PC = 6. PA y PB secantes. 12 x 6 20 PA ∙ PD = PB ∙ PC 12 ∙ PD = 20 ∙ 6 12 ∙ PD = 120 PD= 10

2. 2 Teorema de la tangente y secante Sean PA una tangente y PC una secante, entonces: (PA)2 = PC ∙ PD

2. 3 Teorema de las tangentes Sean PA y PC dos tangentes, entonces: PA = PC

2. 4 Teorema de las cuerdas Sean AB y CD dos cuerdas, entonces: AP ∙ PB = CP ∙ PD

2. 5 Cuadrilátero circunscrito Sea ABCD cuadrilátero circunscrito a la circunferencia, entonces: Ejemplo: 5+c=7+8 c = 10 a+c=b+d

2. 6 Cuerdas Paralelas: Dos cuerdas paralelas en una circunferencia determinan arcos interiores congruentes. D C AB//CD A B

ACTIVIDADES Desarrolla las actividades de las páginas 136, 137, 138, 139, 141, 142, 143, 146 y 147 de tu texto.