NGULOS SILVIA MACDO ngulo Semireta Regio noconvexa Regio

NGULOS SILVIA MACÊDO

ngulo Semi-reta Região nãoconvexa Região convexa ta e r i- m Se Origem ngulo: É a figura formada por duas semi - retas com a mesma origem.

Elementos do ângulo B O ponto O, origem das semi-retas, denominado vértice do ângulo. A As semi-retas OA e OB, denominamos lados do ângulo. O Para identificar esse ângulo utilizamos a notação AÔB. Vértice do ângulo

Observação Quando não houver dúvida quanto ao ângulo a que nos referimos, podemos utilizar uma notação que indica apenas o seu vértice. M O ngulo AÔB P A B O B ngulo AÔC ngulo BÔC N ngulo Ô ou AÔB A ngulo ou C Nesse caso, há três ângulos com vértices em O: AÔB, BÔC e AÔC.

Medida de um ngulo • Medir um ângulo é determinar a abertura entre seus lados, isto é, compará-la com a abertura de outro ângulo, tomado como unidade. • A unidade padrão para medir ângulos é o grau. • Dividindo uma circunferência em 360 partes iguais, cada um dos ângulos centrais obtidos por essa divisão tem como medida 1 grau (1°)

Medida de um ngulo

Medida de um ngulo A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. O instrumento usado para medir ângulo é o transferidor. A unidade padrão utilizada para medir ângulo é o grau, representado pelo símbolo ( 0).

Transferidor de 360° Transferidor de 180°

Utilizando o Transferidor Colocamos o transferidor de modo que o seu centro coincida com o vértice do ângulo. Identificamos na escala do transferidor o número interceptado pelo outro lado do ângulo. Colocamos a escala correspondente ao zero no transferidor sobre um dos lados No exemplo abaixo, a medida do ângulo AÔB é 55°, e indicamos: med (AÔB) = 55°.

Vejamos mais um Exemplo

Unidade de Medida A unidade padrão utilizada para medir um ângulo é o grau, representado pelo símbolo ( 0). 25° lê-se: vinte e cinco graus. 12° lê-se: doze graus. 148° lê-se: cento e quarenta e oito graus.

Submúltiplos do Grau Os submúltiplos do grau são: Minuto ') Segundo '' ) Exemplos: 18´ lê-se: dezoito minutos. 12´´ lê-se: doze segundos. 49´ lê-se: quarenta e nove minutos. 9´´ lê-se: nove segundos.

Fixando Indique: Um ângulo de trinta e sete graus e vinte minutos. 37° 20´ Um ângulo de dez graus e dezoito minutos e vinte segundos. 10° 18´ 20´´

Medida 1 grau = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos

Relógio 30° O relógio tem a forma de uma circunferência, 360° Foi dividido em 12 partes iguais. 360° : 12 = 30°

Exemplos 11 12 1 2 10 9 3 4 8 7 6 5 Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 7 : 00 horas? 5 x 30°= 150°

Exemplos 11 12 1 2 10 9 3 4 8 7 6 5 Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 3 : 00 horas? 3 x 30°= 90°

Exemplos 11 12 1 2 10 9 Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 3 : 30 horas? 3 4 8 7 6 5 3 x 30°= 90° : 2 60´ 30° 30´ 15° 90° - 15° = 75° : 2

Exemplo 11 12 1 2 10 9 Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 8: 30 horas? 3 4 8 7 6 5 2 x 30°= 60° : 2 60´ 30° 30´ 15° 60° + 15° = 75° : 2

Transformação de Unidades Temos: Expressar 15° 12´ em minutos. 1° = 60´ 1´ = 60´´ 1° = 3600´´ 15° = (15 X 60)´= 900´+ 12´= 912´

Exemplos 1° = 60´ 1´ = 60´´ Expresse em segundos 12° 20´ 14´´ 12° = (12 x 60)´= 720´+ 20´= 740´ 1° = 3600´´ 740´ = (740 x 60)´´= 44400´´ + 14´´= 44414´´

Exemplos 1° = 60´ 1´ = 60´´ Expresse em segundos 10° 12´ 10´´ 10° = (10 x 60)´= 600´+ 12´= 612´ 1° = 3600´´ 612´ = (612 x 60)´´= 36720´´ + 10´´= 36730´´

Transformação de Unidades Temos: Expressar 120’ em graus. 1° = 60´ 1´ = 60´´ 1° = 3600´´ 120’ : 60 = 20

Exemplos 1 Temos: Expressar 300’ em graus. 300’ : 60 = 50 1° = 60´ 1´ = 60´´ Expressar 420’ em graus. 1° = 3600´´ 420’ : 60 = 70 2

Transforme em Graus e Minutos • Divida os minutos por 60 para obter os graus. • O resto, se existir, serão os minutos. Exemplo: Transforme 85’ em graus 85’ -60 25’ Logo: 85’ = 10 25’ 60 10

Transforme em Graus e Minutos • Divida os minutos por 60 para obter os graus. • O resto, se existir, serão os minutos. Exemplo: Transforme 793’ em graus 793’ -60 193’ 180’ 13’ Logo: 793’ = 130 13’ 60 130

Transforme em Graus e Minutos • Divida os minutos por 60 para obter os graus. • O resto, se existir, serão os minutos. Exemplo: Transforme 1000’ em graus 1000’ -60 400’ 360’ 40’ Logo: 1000’ = 160 40’ 60 160

Transforme em Graus, Minutos e Segundos • Divida os segundos por 60 para obter os minutos. • O resto, se existir, serão os segundos. • Se os segundos forem igual o maior que 60, divida novamente por 60 para obter os graus. • O resto, se existir, serão os minutos. Exemplo: Transforme 1200” em graus 1200” 120 00” 60 20’ Menor que 60, não temos graus. Logo: 1200” = 20’

Transforme em Graus, Minutos e Segundos Exemplo: Transforme 58400” em graus 58400” 540 60 973’ 60 440” 373’ 420 360 200” 180 20” Maior que 60 60 13’ Logo: 58400” = 160 13’ 20”

Transforme em Graus, Minutos e Segundos Exemplo: Transforme 9864” em graus 9864” 60 60 164’ 386” 164’ 120 60 20 44’ 360 264” 240 24” Maior que 60 Logo: 9864” = 20 44’ 24”

Operações Adição e Subtração: • A adição de medidas de ângulos é feita somando segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus. • Escrever o resultado na forma mais simples: É não deixar o minuto e o segundo com medidas maiores ou iguais a 60.

Adição 1 120 40’ + 100 120 40’ 56’ 2 Escrevendo na forma mais simples 220 96’ = 220 + ( 60’+ 36’) + 100 56’ 220 96’ Maior que 60 60’ = 10 220 + 10 + 36’ = 230 36’ 220 96’ = 230 36’

Adição 1 120 20’ 40” + 300 50’ 45” 2 Escrevendo na forma mais simples 420 70’ 85” = 420 + ( 60’+ 10’) + ( 60” + 25”) = 420 70’ 85” 10 10’ Maiores que 60 1’ 25” 430 + 11’ + 25” = 430 11’ 25” 43° 11’ 25”

Subtração 2 1 120 40’ 410 00’ 400 60’ - 100 36’ - 400 35’ 020 04’ 000 25’

Subtração 3

Multiplicação

Divisão Determine o valor de 720 30’ : 3 720 30’ 6 3’ 120 -120 00’ 3 240 10’ 720 30’ : 3 = 240 10’

Divisão Determine o valor de 390 20’ : 4 390 -36 30 x 60 180’ 20’ +180’ 20’ 000’ 390 20’ : 4 = 90 50’ 4 90 50’

ngulos Congruentes • Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida. • Dizemos que são ângulos congruentes e indicamos.

Bissetriz de um ngulo A O M B • O ângulo AÔB mede 600. • A semi-reta OM dividiu esse ângulo em dois ângulos congruentes AÔM e BÔM. – Med(AÔM) = 300 – Med(BÔM) = 300 A semi-reta OM é a bissetriz de AÔB.

Bissetriz de um ngulo R O P S • O ângulo RÔS mede 1500. • A semi-reta OP dividiu esse ângulo em dois ângulos congruentes RÔP e SÔP. – Med(RÔP) = 750 – Med(SÔP) = 750 A semi-reta OP é a bissetriz de RÔS.

Bissetriz de um ngulo • Portanto a bissetriz de um ângulo: – É uma semi-reta de origem no vértice. – Divide esse ângulo em dois ângulos congruentes.

Exemplos D A • Na figura ao lado, OD é a bissetriz de AÔC. • Com essa informação, podemos afirmar que: C O – Med(CÔD) = 700 – Med(AÔC) = 1400

D • AÔD e DÔC são ângulos adjacentes. C O • Dois ângulos são adjacentes quando têm um lado comum e não têm pontos internos comuns. A ngulos Adjacentes

Classificação de ngulos 90° ângulo reto Como a figura sugere, duas retas perpendiculares determinam quatro ângulos com medidas iguais. Cada um deles é um ângulo reto.

Classificação de ngulos Vamos classificar os ângulos comparando com o ângulo reto (90°). ngulo reto ngulo agudo ngulo obtuso

ngulos Especiais Podemos considerar como ângulos especiais: Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180°. Equivalente a dois ângulos retos. Um ângulo de uma volta mede 360°. Equivalente a quatro ângulos retos.

Cuidado! Quando duas semi retas coincidem, obtemos dois ângulos: O A ngulo nulo = 0° B O A ngulo de uma volta = 360° B