T E M A NGULOS E TRI NGULOS

T E M A NGULOS E TRI NGULOS

CONTEÚDOS • ngulos �Complemento �Suplemento �Exemplos • Triângulos �Classificações �Exemplos

Definição [ ngulos ] Chamamos ângulo à reunião de duas semi -retas de mesma origem.

O ponto O é o vértice do ângulo. Os lados do ângulo são as semi-retas

[ ngulos Consecutivos ] Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, um lado de um deles coincide com um lado do outro.

[ ngulos Adjacentes ] Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não têm pontos internos comuns.

[ ngulos Complementares] Dois ângulos são ditos complementares quando a soma de suas medidas é 90°. B C O A

[ Exemplo ] Qual o ângulo que complemento em 76°? excede o seu [ Solução ] Chamemos o ângulo procurado de x. Logo, seu complemento será (90° – x). Como o ângulo excede o complemento em 76° temos x = (90° – x) + 76°, encontrando 2 x = 166° e logo x = 83°.

[ ngulos Suplementares ] Dois ângulos são ditos suplementares quando a soma de suas medidas é 180°. A B O C

[ Observação ] O ângulo de medida 90° é chamado de ângulo reto, e o de medida 180°, de ângulo raso.

[ Exemplo ] Obtenha o valor de x abaixo: [ Solução ] Basta ver que 35° + 90° + x = 180°, logo x = 180° - 125° = 55°.

[ ngulos Opostos pelo vértice (o. p. v. ) ] Dois ângulos são o. p. v. se , e somente se, os lados de um deles são as respectivas semi-retas opostas aos lados do outro.

[ Observação ] Dois ângulos o. p. v. são congruentes. [ Exemplo ] Encontrar o valor de abaixo:

[ Solução ] Inicialmente temos que: O

[ Solução ] Por outro lado, Substituindo (i) em (ii), obtemos

[ Solução ] Por último,

Definição [ Bissetriz de um ângulo ] Uma semi-reta Oc interna a um ângulo aÔb é chamada bissetriz desse ângulo se, e somente se,

[ Exemplo ] Vamos obter x, sabendo que a semi-reta OP é bissetriz do ângulo AÔB:

[ Solução ] Como OP é bissetriz temos y – 10° = x + 30°, assim y – x = 40° (1) Por outro lado sabemos que 2 y + y – 10° + x + 30° = 180°, assim 3 y + x = 160° (2)

[ Solução ] Por último resolvendo o sistema formado pelas equações (1) e (2) y – x = 40° 3 y + x = 160° encontramos: y = 50° e x = 10°.

[ Classificação de Um ngulo Quanto à Medida] • Agudo: quando mede menos que 90° x < 90° x • Obtuso: quando mede mais que 90° x x > 90°

Definição [ Triângulos ] Dados três pontos A, B e C, não colineares, chamamos triângulo ABC e indicamos por ▲ABC, à reunião dos segmentos AB, BC e AC.

[ Triângulos ] Identificando seus elementos temos: • A, B e C são vértices; • Os segmentos AB, BC e AC de medidas c, a, e b; são os lados; • , e são os ângulos internos.

[ Classificação dos triângulos ] Essa classificação é feita observando-se dois critérios: (1°) Lados: (2°) ngulos: * Escaleno * Retângulo * Isósceles * Acutângulo * Equilátero * Obtusângulo

[ Classificação dos triângulos ] [ Escaleno ] Todos os diferentes. lados possuem medidas

[ Classificação dos triângulos ] [ Isósceles ] Possui dois lados com medidas iguais (consequentemente, os ângulos da base BC são iguais).

[ Exemplo ] Se o ▲ABC é isósceles de base BC, determine x e y.

[ Solução ] Sabemos que os ângulos da base são iguais, logo,

[ Solução ] Assim y + x + 45° = 180° e obtemos y + x = 135°(1) Da mesma forma y + 2 x - 40° = 180°, obtemos então y + 2 x = 220°(2) Resolvendo o sistema formado pelas equações (1) e (2) encontramos; x = 85° e y = 50°

[ Classificação dos triângulos ] [ Equilátero ] Todos os lados possuem a mesma medida (consequentemente, os ângulos também):

[ Classificação dos triângulos ] [ Observação ] No triângulo eqüilátero a altura divide a base BC em duas partes iguais:

De fato observando o triângulo AHC e utilizando uma das relações trigonométricas temos:

Podemos deduzir também a fórmula da altura deste triângulo:

[ Exemplo ] Num triângulo isósceles, de perímetro 32 cm, a altura relativa à base vale 8 cm. Calcule as medidas dos lados congruentes.

[ Solução ] Fazendo AB = AC = x, vem: BC = 32 − 2 x Como H é o ponto médio de BC, temos: BH = HC = 16 − x

Portanto, AB = AC = 10 cm.

[ Classificação dos triângulos ] [ Retângulo ] Possui um ângulo reto.

[ Classificação dos triângulos ] [ Acutângulo ] Possui todos os ângulos agudos.

[ Classificação dos triângulos ] [ Obtusângulo ] Possui um ângulo obtuso.

[ Definições Importantes ] Mediana de um triângulo − é um segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.

[ Definições Importantes ] Bissetriz interna de um triângulo − é o segmento que une um vértice ao lado oposto e que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes.

[ Teorema Importante ] Teorema do ângulo externo − Dado um ▲ABC um ângulo externo deste triângulo é sempre maior que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes.

Em particular temos que Agora como

[ Observação ] (1) Ao maior lado opõe-se o maior ângulo, (2) Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois (desigualdade triangular), ou seja:

[ Exemplo ] Na figura abaixo, r é a bissetriz do ângulo AÔC. Se α = 40° e β = 30°, qual o valor de γ?

[ Solução ] Como α + β = 70°, temos AÔC=110° e, como r é bissetriz, m(rÔC) = m(rÔA)=55°. Por outro lado observando o ▲AOH temos que AÔH = 50°, mas como AÔH + γ = 55°, logo temos γ = 5°.

[Congruência de Triângulos] A idéia de congruência: duas figuras planas são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões (isto é, o mesmo tamanho).

Para escrever que dois triângulos ABC e DEF são congruentes, usaremos a notação:

Consideremos os triângulos abaixo: C A B T R S

Existe congruência entre os lados: AB e RS, BC e ST, CA e TR e entre os ângulos: Ae. R, Be. S, Ce. T Daí, o triângulo ABC é congruente ao triângulo RST. Escrevemos:

Dois triângulos são congruentes, se os seus elementos correspondentes são ordenadamente congruentes, isto é, os lados correspondentes e os ângulos correspondentes dos triângulos têm as mesmas medidas.

Para verificar se dois triângulos são congruentes, não é necessário conhecer a medida de todos os elementos. Basta conhecer três elementos, entre os quais esteja presente pelo menos um lado.

[ LLL (Lado, Lado) ] Os três lados são conhecidos. Se dois triângulos têm, ordenadamente, os três lados congruentes, então eles são congruentes. Observe que os elementos congruentes têm a mesma marca.

T R C S A B

[ LAL (Lado, ngulo, Lado) ] Dados dois lados e um ângulo. Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles são congruentes.

T R C S A B

[ ALA ( ngulo, Lado, ngulo) ] Dados dois ângulos e um lado. Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, congruentes. então eles são

T R C S A B

[ LAAo (Lado, ngulo oposto) ]: Conhecido um lado, um ângulo e um ângulo oposto ao lado. Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado então eles são congruentes.

T R C S A B

[ Exemplo 1 ]: Na figura, o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEC. Determine o valor de x e y. E 2 x + 10° 5 y A 3 x y + 48° . . C B D

[Solução]: E 2 x + 10° 5 y A 3 x y + 48° . . D C B Como os triângulos ABC e DEC são congruentes (nessa ordem de elementos), Temos que 3 x = 2 x + 10° e 5 y = y + 48°, logo, x = 10° e y = 12°.

[Proposição 1] A soma das medidas de quaisquer dois ângulos internos de um triângulo é menor que 180°. [Demonstração] Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, logo, a soma de dois deles é menor que 180°.

[Corolário 1] Todo triângulo possui pelo menos dois ângulos internos agudos.

Dois triângulos que têm os mesmos ângulos NÃO são, necessariamente congruentes.

CONTEÚDOS • Triângulos �Definição �Critérios de semelhança �Exemplos

Definição [ Semelhança de Triângulos ] Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados correspondentes (homólogos) proporcionais.

onde k é a razão de semelhança.

[ Exemplo 1 ] Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura abaixo são semelhantes. Se a razão de semelhança do 1° para o 2° é 3/2, determine: (1) Os lados do ▲ABC, (2) A razão entre seus perímetros.

[ Solução ] Utilizando a razão de semelhança temos

[ Solução ] Dessa forma o perímetro do ▲ABC é 54 u. c. Verificando a razão entre os perímetros desses triângulos temos: A razão entre os perímetros é igual à razão de semelhança entre eles.

[ Teorema Fundamental ] Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.

[ Exemplo 2 ] Se as retas DE e BC são paralelas, determine o valor de x.

[ Solução ] Já sabemos (pelo teorema anterior) que os triângulos ABC e ADE são semelhantes. Vamos então: (1) separar as figuras (2) escrever a proporção entre os lados conhecidos.

[ Solução ]

[ Solução ] Escrevendo a proporção entre os lados correspondentes temos

[ Critérios de Semelhança ] Em resposta à pergunta anterior temos: [1º caso] Dois triângulos com dois ângulos ordenadamente congruentes são semelhantes.

[ Critérios de Semelhança ] [2º caso] Dois triângulos que possuem dois lados proporcionais e com ângulos compreendidos congruentes são semelhantes.

[ Critérios de Semelhança ] [3º caso] Dois triângulos que possuem os lados correspondentes proporcionais são semelhantes.

[ Exemplo 3 ] Na figura abaixo, obtenha x:

[ Solução ] Inicialmente separamos os triângulos e verificamos em qual caso de semelhança eles se enquadram

[ Solução ] Estão envolvidos dois triângulos retângulos com o ângulo do vértice B comum aos dois. Portanto se enquadram no 1° caso.

[ Solução ] Portanto

[ Exemplo 4 ] Determine a medida do lado do quadrado na figura abaixo:

[ Solução ] Observamos que os triângulos EDC e ABC são semelhantes pelo 1° caso. Chamemos o lado do quadrado de x, assim

[ Solução ] Portanto:

[ Referências ] • Iezzi, Gelson. Matemática: Ciência e aplicações. São Paulo: Editora Atual, 2004. • Giovanni, José Ruy. Matemática: Conjuntos, Funções e Progressões. São Paulo: FTD, 1992.

Crescer é Ser cada dia um pouco mais nós mesmos. Dar espontaneamente sem cobrar inconscientemente. . Aprender a ser feliz de dentro para fora. . Sentir a vida na natureza. . Reconhecer nossos erros e valorizar nossas virtudes. . Entender que temos o espaço de uma vida inteira para crescer. . Assumir que nunca seremos grandes, que o importante é estar sempre crescendo.