NGULOS 1 OPERAO COM NGULOS 38 o 29
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NGULOS 1) OPERAÇÃO COM NGULOS 38 o 29’ 51’’ + 15 o 45’ 24’’ 53º 74’ 75’’ 54º 15’’
2) CLASSIFICAÇÃO DOS NGULOS ngulo agudo: 90º ngulo reto: = 90º ngulo obtuso: > 90º ngulo raso: = 180º
2) CLASSIFICAÇÃO DOS NGULOS ngulo nulo: (lados coincidentes) ngulo de 1 volta: ngulos adjacentes: ngulos consecutivos: = 0 o = 360 o Mesmo vértice e um lado comum entre os lados não comuns Mesmo vértice e, dois a dois, um lado comum.
2) CLASSIFICAÇÃO DOS NGULOS ngulos complementares: ngulos suplementares: ngulos replementares: + = 90º + = 180º + = 360º
3) NGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL. t b c f g e h a r d s Correspondentes: a e e; d e h; b e f; c e g. Opostos pelo vértice: a e c; b e d; e e g; f e h. Alternos internos: d e f; c e e. Alternos externos: a e g; b e h. Colaterais internos: d e e; c e f. Colaterais externos: a e h; b e g.
Questão 3: (UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo. Este ângulo mede: a) 45 o b) 48 o 30’ c) 56 o 15’ d) 60 o e) 78 o 45’
Questão 3: Solução: O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo. x 60’ 630º 6º 360º 0 8 78º 8 45’
Questão 13: (UF-ES) Se as retas r e s da figura abaixo são paralelas então 3 + vale: a) 225 o b) 195 o c) 215 o d) 1750 e) 1850
Questão 13: Solução: = 45º = 60º 15º 30º 60º
Questão 16: (UF-MG) Na figura, AC = CB = BD e A = 25 o. O ângulo x mede: a) 50 o b) 60 o c) 70 o d) 75 o e) 80 o
Questão 16: Solução: AC = CB = BD 50º 130º 50º 25º 80º 75º
POLÍGONOS 1) POLÍGONOS CONVEXOS E NÃO-CONVEXOS CONVEXO NÃO-CONVEXO
2) SOMA DOS NGULOS n = 3 1 x 180º Si = 180º n = 4 2 x 180º Si = 360º n = 5 3 x 180º Si = 540º Si = (n – 2). 180 o
2) SOMA DOS NGULOS Se = 360 o
3) NÚMERO DE DIAGONAIS no de diagonais determinadas a partir de 1 vértice: (n – 3) no de diagonais de um polígono c/ n lados:
Questão 2: (CESCEM-adaptada) Se ABCDE é um polígono regular, então a soma dos ângulos assinalados na figura é: a) 90 o b) 120 o c) 144 o d) 154 o e) 180 o
Questão 2: Solução: 180º – C – E 180º – B – D 180º – A – C 180º – A – D 180º – B – E 180 – A – C + 180 – B – D + 180 – C – E + 180 – A – D + 180 – B – E = 540 2 A + 2 B + 2 C + 2 D + 2 E = 360 2. (A + B + C + D + E) =
Questão 4: (ESAF/2006) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a: a) 11 b) 12 c) 10 d) 15 e) 18
Questão 4: Solução: O número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Diagonais a partir de um dos vértices: (n – 3) Diagonais de um hexágono: Então: n– 3=9 n = 12
Questão 6: No hexágono ABCDEF abaixo, a medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA. a) 100 o b) 110 o c) 120 o d) 130 o e) 140 o
Questão 6: Solução: A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA. 4 x x 5 x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2). 180 5 x + 520 = 720 5 x = 200 x = 40
Questão 6: Solução: A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA. 80º 20º 5 x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2). 180 5 x + 520 = 720 5 x = 200 x = 40 + 20 + 160 + 80 = 360 = 100º
Questão 8: Na figura seguinte, o valor de é: a) 90 o b) 95 o c) 100 o d) 110 o e) 120 o
Questão 8: Solução: 75º 110º
TRI NGULOS 1) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA Em todo triângulo, qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença entre os outros dois. b c a b - c a b + c
2) ELEMENTOS Altura: é o segmento de reta que liga um vértice ao lado oposto, perpendicularmente. Bissetriz interna: é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos de medidas iguais.
2) ELEMENTOS Observação: Teorema da Bissetriz Interna. A bissetriz interna de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados. A B P C
2) ELEMENTOS Mediana: é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Mediatriz: é a reta perpendicular a um lado, que o divide em dois segmentos de mesma medida.
2) ELEMENTOS Baricentro: é o ponto de interseção das medianas. OBSERVAÇÃO: O baricentro divide cada mediana na razão 2/3 a partir do vértice.
2) ELEMENTOS Incentro: é o ponto de interseção das bissetrizes. OBSERVAÇÃO: O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Assim, o incentro é eqüidistante dos lados do triângulo.
2) ELEMENTOS Circuncentro: é o ponto de interseção das mediatrizes. OBSERVAÇÃO: O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Assim o circuncentro é eqüidistante dos vértices do triângulo.
2) ELEMENTOS Ortocentro: é o ponto de interseção das alturas.
2) ELEMENTOS OBSERVAÇÃO: Os três pontos de interseções, baricentro, circuncentro e ortocentro, de uma maneira geral são pontos distintos. Mas em qualquer triângulo, eles estão alinhados (Reta de Euller). Se o triângulo for eqüilátero, os quatro pontos (baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro) são coincidentes.
2) ELEMENTOS
3) SEMELHANÇA DE TRI NGULOS Dois triângulos são semelhantes quando possuem lados homólogos* proporcionais e ângulos respectivamente de mesmas medidas. * lados homólogos: são lados opostos a ângulos iguais.
3) SEMELHANÇA DE TRI NGULOS 3 cm 2 cm 45 o 60 o 45 o 50 o 3 cm 60 o 4 cm 2 cm 8 cm 3 cm 4 cm 50 o 6 cm 4, 5 cm
4) RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRI NGULO RET NGULO A b C b 2 = a. m c h m n a h 2 = m. n B a. h = b. c a 2 = b 2 + c 2 = a. n
5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRI NGULO QUALQUER Triângulo Acutângulo: Num triângulo acutângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados outros dois lados, menos duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobre ele. C b A m c h a n B a 2 = b 2 + c 2 - 2 c. m
5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRI NGULO QUALQUER Triângulo Obtusângulo: Num triângulo obtusângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados outros dois lados, mais duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobre ele. C h b n a 2 = b 2 + c 2 + 2 c. n a c A m B
6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS C hipotenusa B cateto oposto cateto adjacente A
6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS sen 30 o 45 o 60 o cos tg
7) LEI DOS SENOS Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.
8) LEI DOS COSSENOS Num triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado. a 2 = b 2 + c 2 – 2. b. c. cos. A
Questão 3 (COVEST 2003) Um triângulo com lados medindo 2. 1050, 10100 – 1 e 10100 + 1: a) é isósceles b) é retângulo c) tem área 10150 – 1 d) tem perímetro 4. 10150 e) é acutângulo
Solução: O triângulo é retângulo.
Questão 4 (COVEST 2006) A ilustração a seguir representa uma escada de comprimento 2, 5 m apoiada em uma parede vertical. A extremidade inferior da escada está a uma distância de 0, 70 m da parede. Determine a aresta da maior caixa cúbica que pode ser transportada pela região limitada pela escada e pela parede vertical. (Aproxime seu resultado até os centésimos)
Questão 4 2, 5 m 2, 4 – x x x 0, 70 m
Questão 8 (COVEST 2001 – 2ª fase) Na ilustração a seguir, CD é um diâmetro da circunferência com centro em O e raio 8. AC e BD são perpendiculares a AB, e AB é tangente à circunferência em T. Se AB = 12, calcule AO. 6 x 8 6 8 8 Solução:
Questão 12 (Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno . a) 60 o b) 70 o c) 800 d) 90 o e) 100 o
OBSERVAÇÃO: x x + = + + x = 2. = +
Questão 12 (Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno . a) 60 o b) 70 o c) 800 d) 90 o e) 100 o X
Questão 13 (COVEST 2001) Na figura abaixo, BC e AC são bissetrizes dos ângulos DBE e DAB, respectivamente. Se o ângulo ACB mede 21 o 30’, qual é a medida, em graus, do ângulo ADB? a) 43 X b) 41 c) 40 d) 44 e) 42
Questão 17 (UCSal/93 -adaptada) Na figura abaixo têm-se o triângulo ABC, cujo perímetro é 26 cm. O losango ADEF, cujos lados medem 4 cm. Se BC mede 8 cm, os outros dois lados do triângulo ABC medem: a) 5 e 13 b) 6 e 12 c) 7 e 11 d) 8 e 10 e) 9 e 9
Solução: x + y = 10 4 x 4 4 8 4 y x = 8 e y = 2 Os lados valem 6 cm e 12 cm
Questão 18 (Vunesp) Do quadrilátero ABCD de figura, sabe-se que os ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45º e 30º; o lado CD mede 2 dm. Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:
OBSERVAÇÃO: cat. oposto hipotenusa 30 o cat. adjacente
OBSERVAÇÃO: 4 8 5 10 30 o 4. 3 6 5. 3 12 7 30 o 6. 3 14 30 o 7. 3
Solução: 2 2. 3 = 6 2 2. 30 o 45 o
Questão 19 (UFBA/93 -adaptada) Considere o triângulo eqüilátero ABC, com lado medindo 6 cm. Seja M o ponto médio do lado AC, e seja P o ponto do lado BC tal que PB = 2 cm. Sendo x cm 2 a área de um quadrado de lado MP, determine x.
Solução: B 2 P 6 4 x A 60 o 3 M 3 C
Questão 20 (Un. B-DF/adaptado) Na figura abaixo, calcule a medida do ângulo AMD, sabendo que M é o ponto médio de BC. a) b) c) d) e) 15 o 20 o 30 o 40 o 50 o
OBSERVAÇÃO:
Solução: 50 o 60 o 40 o 20 o 80 o 60 o 20 o