NGULOS 1 OPERAO COM NGULOS 38 o 29

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 NGULOS 1) OPERAÇÃO COM NGULOS 38 o 29’ 51’’ + 15 o 45’

NGULOS 1) OPERAÇÃO COM NGULOS 38 o 29’ 51’’ + 15 o 45’ 24’’ 53º 74’ 75’’ 54º 15’’

2) CLASSIFICAÇÃO DOS NGULOS ngulo agudo: 90º ngulo reto: = 90º ngulo obtuso: >

2) CLASSIFICAÇÃO DOS NGULOS ngulo agudo: 90º ngulo reto: = 90º ngulo obtuso: > 90º ngulo raso: = 180º

2) CLASSIFICAÇÃO DOS NGULOS ngulo nulo: (lados coincidentes) ngulo de 1 volta: ngulos adjacentes:

2) CLASSIFICAÇÃO DOS NGULOS ngulo nulo: (lados coincidentes) ngulo de 1 volta: ngulos adjacentes: ngulos consecutivos: = 0 o = 360 o Mesmo vértice e um lado comum entre os lados não comuns Mesmo vértice e, dois a dois, um lado comum.

2) CLASSIFICAÇÃO DOS NGULOS ngulos complementares: ngulos suplementares: ngulos replementares: + = 90º +

2) CLASSIFICAÇÃO DOS NGULOS ngulos complementares: ngulos suplementares: ngulos replementares: + = 90º + = 180º + = 360º

3) NGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL. t b c f g

3) NGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL. t b c f g e h a r d s Correspondentes: a e e; d e h; b e f; c e g. Opostos pelo vértice: a e c; b e d; e e g; f e h. Alternos internos: d e f; c e e. Alternos externos: a e g; b e h. Colaterais internos: d e e; c e f. Colaterais externos: a e h; b e g.

Questão 3: (UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça

Questão 3: (UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo. Este ângulo mede: a) 45 o b) 48 o 30’ c) 56 o 15’ d) 60 o e) 78 o 45’

Questão 3: Solução: O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça

Questão 3: Solução: O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo. x 60’ 630º 6º 360º 0 8 78º 8 45’

Questão 13: (UF-ES) Se as retas r e s da figura abaixo são paralelas

Questão 13: (UF-ES) Se as retas r e s da figura abaixo são paralelas então 3 + vale: a) 225 o b) 195 o c) 215 o d) 1750 e) 1850

Questão 13: Solução: = 45º = 60º 15º 30º 60º

Questão 13: Solução: = 45º = 60º 15º 30º 60º

Questão 16: (UF-MG) Na figura, AC = CB = BD e A = 25

Questão 16: (UF-MG) Na figura, AC = CB = BD e A = 25 o. O ângulo x mede: a) 50 o b) 60 o c) 70 o d) 75 o e) 80 o

Questão 16: Solução: AC = CB = BD 50º 130º 50º 25º 80º 75º

Questão 16: Solução: AC = CB = BD 50º 130º 50º 25º 80º 75º

POLÍGONOS 1) POLÍGONOS CONVEXOS E NÃO-CONVEXOS CONVEXO NÃO-CONVEXO

POLÍGONOS 1) POLÍGONOS CONVEXOS E NÃO-CONVEXOS CONVEXO NÃO-CONVEXO

2) SOMA DOS NGULOS n = 3 1 x 180º Si = 180º n

2) SOMA DOS NGULOS n = 3 1 x 180º Si = 180º n = 4 2 x 180º Si = 360º n = 5 3 x 180º Si = 540º Si = (n – 2). 180 o

2) SOMA DOS NGULOS Se = 360 o

2) SOMA DOS NGULOS Se = 360 o

3) NÚMERO DE DIAGONAIS no de diagonais determinadas a partir de 1 vértice: (n

3) NÚMERO DE DIAGONAIS no de diagonais determinadas a partir de 1 vértice: (n – 3) no de diagonais de um polígono c/ n lados:

Questão 2: (CESCEM-adaptada) Se ABCDE é um polígono regular, então a soma dos ângulos

Questão 2: (CESCEM-adaptada) Se ABCDE é um polígono regular, então a soma dos ângulos assinalados na figura é: a) 90 o b) 120 o c) 144 o d) 154 o e) 180 o

Questão 2: Solução: 180º – C – E 180º – B – D 180º

Questão 2: Solução: 180º – C – E 180º – B – D 180º – A – C 180º – A – D 180º – B – E 180 – A – C + 180 – B – D + 180 – C – E + 180 – A – D + 180 – B – E = 540 2 A + 2 B + 2 C + 2 D + 2 E = 360 2. (A + B + C + D + E) =

Questão 4: (ESAF/2006) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas

Questão 4: (ESAF/2006) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a: a) 11 b) 12 c) 10 d) 15 e) 18

Questão 4: Solução: O número de diagonais determinadas a partir de um de seus

Questão 4: Solução: O número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Diagonais a partir de um dos vértices: (n – 3) Diagonais de um hexágono: Então: n– 3=9 n = 12

Questão 6: No hexágono ABCDEF abaixo, a medida do ângulo ABC é o quádruplo

Questão 6: No hexágono ABCDEF abaixo, a medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA. a) 100 o b) 110 o c) 120 o d) 130 o e) 140 o

Questão 6: Solução: A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do

Questão 6: Solução: A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA. 4 x x 5 x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2). 180 5 x + 520 = 720 5 x = 200 x = 40

Questão 6: Solução: A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do

Questão 6: Solução: A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA. 80º 20º 5 x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2). 180 5 x + 520 = 720 5 x = 200 x = 40 + 20 + 160 + 80 = 360 = 100º

Questão 8: Na figura seguinte, o valor de é: a) 90 o b) 95

Questão 8: Na figura seguinte, o valor de é: a) 90 o b) 95 o c) 100 o d) 110 o e) 120 o

Questão 8: Solução: 75º 110º

Questão 8: Solução: 75º 110º

TRI NGULOS 1) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA Em todo triângulo, qualquer lado é menor que

TRI NGULOS 1) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA Em todo triângulo, qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença entre os outros dois. b c a b - c a b + c

2) ELEMENTOS Altura: é o segmento de reta que liga um vértice ao lado

2) ELEMENTOS Altura: é o segmento de reta que liga um vértice ao lado oposto, perpendicularmente. Bissetriz interna: é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos de medidas iguais.

2) ELEMENTOS Observação: Teorema da Bissetriz Interna. A bissetriz interna de um triângulo determina

2) ELEMENTOS Observação: Teorema da Bissetriz Interna. A bissetriz interna de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados. A B P C

2) ELEMENTOS Mediana: é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto

2) ELEMENTOS Mediana: é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Mediatriz: é a reta perpendicular a um lado, que o divide em dois segmentos de mesma medida.

2) ELEMENTOS Baricentro: é o ponto de interseção das medianas. OBSERVAÇÃO: O baricentro divide

2) ELEMENTOS Baricentro: é o ponto de interseção das medianas. OBSERVAÇÃO: O baricentro divide cada mediana na razão 2/3 a partir do vértice.

2) ELEMENTOS Incentro: é o ponto de interseção das bissetrizes. OBSERVAÇÃO: O incentro é

2) ELEMENTOS Incentro: é o ponto de interseção das bissetrizes. OBSERVAÇÃO: O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Assim, o incentro é eqüidistante dos lados do triângulo.

2) ELEMENTOS Circuncentro: é o ponto de interseção das mediatrizes. OBSERVAÇÃO: O circuncentro é

2) ELEMENTOS Circuncentro: é o ponto de interseção das mediatrizes. OBSERVAÇÃO: O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Assim o circuncentro é eqüidistante dos vértices do triângulo.

2) ELEMENTOS Ortocentro: é o ponto de interseção das alturas.

2) ELEMENTOS Ortocentro: é o ponto de interseção das alturas.

2) ELEMENTOS OBSERVAÇÃO: Os três pontos de interseções, baricentro, circuncentro e ortocentro, de uma

2) ELEMENTOS OBSERVAÇÃO: Os três pontos de interseções, baricentro, circuncentro e ortocentro, de uma maneira geral são pontos distintos. Mas em qualquer triângulo, eles estão alinhados (Reta de Euller). Se o triângulo for eqüilátero, os quatro pontos (baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro) são coincidentes.

2) ELEMENTOS

2) ELEMENTOS

3) SEMELHANÇA DE TRI NGULOS Dois triângulos são semelhantes quando possuem lados homólogos* proporcionais

3) SEMELHANÇA DE TRI NGULOS Dois triângulos são semelhantes quando possuem lados homólogos* proporcionais e ângulos respectivamente de mesmas medidas. * lados homólogos: são lados opostos a ângulos iguais.

3) SEMELHANÇA DE TRI NGULOS 3 cm 2 cm 45 o 60 o 45

3) SEMELHANÇA DE TRI NGULOS 3 cm 2 cm 45 o 60 o 45 o 50 o 3 cm 60 o 4 cm 2 cm 8 cm 3 cm 4 cm 50 o 6 cm 4, 5 cm

4) RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRI NGULO RET NGULO A b C b 2 =

4) RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRI NGULO RET NGULO A b C b 2 = a. m c h m n a h 2 = m. n B a. h = b. c a 2 = b 2 + c 2 = a. n

5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRI NGULO QUALQUER Triângulo Acutângulo: Num triângulo acutângulo qualquer, o

5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRI NGULO QUALQUER Triângulo Acutângulo: Num triângulo acutângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados outros dois lados, menos duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobre ele. C b A m c h a n B a 2 = b 2 + c 2 - 2 c. m

5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRI NGULO QUALQUER Triângulo Obtusângulo: Num triângulo obtusângulo qualquer, o

5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRI NGULO QUALQUER Triângulo Obtusângulo: Num triângulo obtusângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados outros dois lados, mais duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobre ele. C h b n a 2 = b 2 + c 2 + 2 c. n a c A m B

6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS C hipotenusa B cateto oposto cateto adjacente A

6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS C hipotenusa B cateto oposto cateto adjacente A

6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS sen 30 o 45 o 60 o cos tg

6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS sen 30 o 45 o 60 o cos tg

7) LEI DOS SENOS Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos

7) LEI DOS SENOS Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.

8) LEI DOS COSSENOS Num triângulo, o quadrado da medida de um lado é

8) LEI DOS COSSENOS Num triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado. a 2 = b 2 + c 2 – 2. b. c. cos. A

Questão 3 (COVEST 2003) Um triângulo com lados medindo 2. 1050, 10100 – 1

Questão 3 (COVEST 2003) Um triângulo com lados medindo 2. 1050, 10100 – 1 e 10100 + 1: a) é isósceles b) é retângulo c) tem área 10150 – 1 d) tem perímetro 4. 10150 e) é acutângulo

Solução: O triângulo é retângulo.

Solução: O triângulo é retângulo.

Questão 4 (COVEST 2006) A ilustração a seguir representa uma escada de comprimento 2,

Questão 4 (COVEST 2006) A ilustração a seguir representa uma escada de comprimento 2, 5 m apoiada em uma parede vertical. A extremidade inferior da escada está a uma distância de 0, 70 m da parede. Determine a aresta da maior caixa cúbica que pode ser transportada pela região limitada pela escada e pela parede vertical. (Aproxime seu resultado até os centésimos)

Questão 4 2, 5 m 2, 4 – x x x 0, 70 m

Questão 4 2, 5 m 2, 4 – x x x 0, 70 m

Questão 8 (COVEST 2001 – 2ª fase) Na ilustração a seguir, CD é um

Questão 8 (COVEST 2001 – 2ª fase) Na ilustração a seguir, CD é um diâmetro da circunferência com centro em O e raio 8. AC e BD são perpendiculares a AB, e AB é tangente à circunferência em T. Se AB = 12, calcule AO. 6 x 8 6 8 8 Solução:

Questão 12 (Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é bissetriz do ângulo interno

Questão 12 (Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno . a) 60 o b) 70 o c) 800 d) 90 o e) 100 o

OBSERVAÇÃO: x x + = + + x = 2. = +

OBSERVAÇÃO: x x + = + + x = 2. = +

Questão 12 (Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é bissetriz do ângulo interno

Questão 12 (Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno . a) 60 o b) 70 o c) 800 d) 90 o e) 100 o X

Questão 13 (COVEST 2001) Na figura abaixo, BC e AC são bissetrizes dos ângulos

Questão 13 (COVEST 2001) Na figura abaixo, BC e AC são bissetrizes dos ângulos DBE e DAB, respectivamente. Se o ângulo ACB mede 21 o 30’, qual é a medida, em graus, do ângulo ADB? a) 43 X b) 41 c) 40 d) 44 e) 42

Questão 17 (UCSal/93 -adaptada) Na figura abaixo têm-se o triângulo ABC, cujo perímetro é

Questão 17 (UCSal/93 -adaptada) Na figura abaixo têm-se o triângulo ABC, cujo perímetro é 26 cm. O losango ADEF, cujos lados medem 4 cm. Se BC mede 8 cm, os outros dois lados do triângulo ABC medem: a) 5 e 13 b) 6 e 12 c) 7 e 11 d) 8 e 10 e) 9 e 9

Solução: x + y = 10 4 x 4 4 8 4 y x

Solução: x + y = 10 4 x 4 4 8 4 y x = 8 e y = 2 Os lados valem 6 cm e 12 cm

 Questão 18 (Vunesp) Do quadrilátero ABCD de figura, sabe-se que os ângulos internos

Questão 18 (Vunesp) Do quadrilátero ABCD de figura, sabe-se que os ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45º e 30º; o lado CD mede 2 dm. Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:

 OBSERVAÇÃO: cat. oposto hipotenusa 30 o cat. adjacente

OBSERVAÇÃO: cat. oposto hipotenusa 30 o cat. adjacente

 OBSERVAÇÃO: 4 8 5 10 30 o 4. 3 6 5. 3 12

OBSERVAÇÃO: 4 8 5 10 30 o 4. 3 6 5. 3 12 7 30 o 6. 3 14 30 o 7. 3

 Solução: 2 2. 3 = 6 2 2. 30 o 45 o

Solução: 2 2. 3 = 6 2 2. 30 o 45 o

 Questão 19 (UFBA/93 -adaptada) Considere o triângulo eqüilátero ABC, com lado medindo 6

Questão 19 (UFBA/93 -adaptada) Considere o triângulo eqüilátero ABC, com lado medindo 6 cm. Seja M o ponto médio do lado AC, e seja P o ponto do lado BC tal que PB = 2 cm. Sendo x cm 2 a área de um quadrado de lado MP, determine x.

 Solução: B 2 P 6 4 x A 60 o 3 M 3

Solução: B 2 P 6 4 x A 60 o 3 M 3 C

 Questão 20 (Un. B-DF/adaptado) Na figura abaixo, calcule a medida do ângulo AMD,

Questão 20 (Un. B-DF/adaptado) Na figura abaixo, calcule a medida do ângulo AMD, sabendo que M é o ponto médio de BC. a) b) c) d) e) 15 o 20 o 30 o 40 o 50 o

 OBSERVAÇÃO:

OBSERVAÇÃO:

 Solução: 50 o 60 o 40 o 20 o 80 o 60 o

Solução: 50 o 60 o 40 o 20 o 80 o 60 o 20 o