Temas de Geometra ngulos ngulo es la abertura

Temas de Geometría

Ángulos Ángulo es la abertura formada por dos semirrectas con un punto en común, llamado vértice. Dos ángulos son complementarios, si la suma de ellos es igual a un ángulo recto. ¿Qué ángulos son complementarios? Dos ángulos son suplementarios, si la suma de ellos dos es igual a 180°. Dos ángulos son adyacentes, si tienen un mismo vértice y un lado en común. Estos ángulos son suplementarios. Dos ángulos son opuestos por el vértice, si los lados de uno son las prolongaciones de los otros. Estos ángulos son iguales.

Rectas paralelas cortadas por una secante. Dos rectas son paralelas, si nunca se cortan en un punto por más que se Rectas cortadas por una secante. Algunos teoremas importantes: prolonguen. Además siempre están a la misma distancia. Teorema: En todo sistema de dos rectas paralelas cortadas por una secante se tiene lo Clasificación de los ángulos de acuerdo con la posición: siguiente: Correspondientes, Alternos o Colaterales. 1) Los ángulos correspondientes son iguales. Correspondientes Alternos Colaterales 2) Los ángulos alternos son iguales. 3) Los son suplementarios. 1 con 5 ángulos colaterales 3 con 5 3 con 6 Alternos Colaterales internos 2 con 6 4 con 5 • La suma de los 3 ángulos internos en todo triángulo es igual a 180°. 3 con 7 1 con 8 Alternos Colaterales • En todo triángulo cada ángulo exterior es Teorema inverso: En un sistema de dos rectas externos cortadas por una secante, basta con que se 4 con 8 2 con 7 igual a la suma de loscumpla que: dos ángulos interiores 1) Unapar de ángulos correspondientes sean que no son adyacentes él. iguales, o bien 2) Algún par de ángulos alternos sean iguales, o bien. 3) Algún par de ángulos colaterales sean suplementarios. • La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es igual a 360° Para que las dos rectas sean paralelas.

Criterios de de congruencia Congruencia triángulos. Veamos los siguientes triángulos y determinen si son congruentes o no: Decimos que dos triángulos son congruentes si se cumple alguna de las siguientes condiciones: Por congruentes vamos a entender como iguales, 1. Si tiene dos lados homólogos iguales e igual el ángulo comprendido. (Criterio LAL) 2. Si tiene dos ángulos iguales e igual lado comprendido. (Criterio ALA) esto es, en forma y tamaño. 3. Si tiene tres lados iguales. Criterio ( LLL) Dos triángulos son congruentes si y solo si tienen sus lados congruentes y ángulos congruentes. Esto es: Para indicar que los triángulos anteriores son congruentes se denota por:

Triángulos semejantes. Criterios de semejanza. Decimos que dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son Decimos que dos triángulos son semejantes si y sólo proporcionales y sus ángulos correspondientes son iguales. si se cumple Dos triángulos son semejantes, si se cumple lo siguientes: una de las siguientes condiciones:

Teorema de Tales • Si tres o más paralelas son cortadas por cualesquiera dos transversales , entonces los respectivos segmentos que las paralelas determinan en éstas últimas rectas son proporcionales.

Rectas y puntos. Triángulo notables en el triángulo. Mediatriz: Es la recta que pasa por el punto medio de un lado y es perpendicular a Altura: Es una recta que va del vértice al lado opuesto o la prolongación de éste Bisectriz: Es la recta que pasa por el vértice y divide al ángulo interior en dos Mediana: Es una recta que va de un vértice del triángulo al punto medio del Es un polígono de tres lados (a, b y c), con tres vértices ( A, B y C) de manera perpendicular. partes iguales. éste. lado opuesto a éste. La mediana tiene la propiedad de dividir al triángulo en dos y 3 ángulos regiones con igual área. Clasificación de los triángulos según sus lados: Equilátero (3 lados iguales), Isósceles ( dos lados iguales), Escaleno (3 lados diferentes). Al punto donde concurre ( intersecan) las 3 bisectrices se llama Incentro. Al punto donde concurre ( intersecan) las 3 mediatrices se llama circuncentro. Al punto donde concurre ( intersecan) las 3 medianas se llama baricentro. Cuando se trazan las 3 medianas el triángulo se divide en 6 regiones con igual área. El incentro es el centro de un círculo que está inscrito al triángulo ABC. Dicho círculo es circuncentro Clasificación dees el centro de un círculo que pasa por los 3 vértices del triángulo ABC. Al los triángulos según sus ángulos: Las medianas se intersecan en dos tercios de su longitud. tangente a los lados del triángulo. Al círculo se le conoce como incírculo se le conoce como circuncírculo. La distancia del circuncentro a cualquiera de los vértices del triángulo es igual. Acutángulo (ángulos son agudos), Rectángulo (tiene un ángulo recto), Obtusángulo ( tiene un ángulo obtuso). Al punto donde concurre ( intersecan) las 3 alturas se llama Ortocentro.

Ángulos en la circunferencia Ángulo central: es aquel formado por los radio de una circunferencia. Todo ángulo central < AOB mide lo mismo que el arco que abraza, esto es, Ángulo inscrito: Es aquel formado por dos cuerdas que tienen un extremo en común. Todo ángulo Inscrito mide la mitad del arco que abraza. Dos ángulos inscritos en una misma circunferencia y que abracen el mismo arco son iguales, si están del mismo lado. Si están en lados opuestos, entonces son suplementarios. Si tenemos 4 puntos no colineales, de tres en tres y cumplen lo siguiente: Entonces esos 4 puntos pertenecen a una circunferencia. Dichos puntos se les llama concíclicos. Al cuadrilatero que se puede inscribir en una circunferencia se le llama cuadrilátero cíclico.

Ángulos en la circunferencia. Ángulo semi-inscrito es aquel formado por una recta tangente a una circunferencia y una cuerda que pasa por ésta. La medida de todo ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. Teorema de Ptolomeo: En todo cuadrilátero cíclico, no cruzado, se cumple que la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de las diagonales. Teorema inverso: Si existe un cuadrilátero que cumple con que la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de las diagonales, entonces dicho cuadrilátero es cíclico.

Cuadriláteros Llamamos cuadriláteros a los polígonos de 4 lados. Que se pueden clasificar como: Cuadrilátero convexo Cuadrilátero no convexo Ahora vamos a analizar un tipo de cuadrilátero, llamado paralelogramo. Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. Además los lados opuestos son iguales Los ángulos opuestos son iguales Cuadrilátero cruzado

Resultados importantes: Preposición: El segmento que une los puntos medios de cualquiera dos lados de un triángulo cualquiera, mide la mitad del tercer lado y es paralelo a dicho lado. Preposición: Si un triángulo tiene dos lados iguales, entonces tiene dos ángulos iguales y son los que se oponen a los lados iguales. • En todo paralelogramo las diagonales se dividen mutuamente en partes iguales. • Si en un cuadrilátero convexo cada par de lados opuestos son iguales, entonces el cuadrilátero es paralelogramo.

Problemas

Problema 1