1 LA CIRCUNFERENCIA DEEFINICION La Circunferencia es el

1 LA CIRCUNFERENCIA DEEFINICION: La Circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de puntos en el plano tal que la distancia de un punto fijo a cada uno de ellos es una constante. Centro (C) : Punto fijo radio r : distancia constante d(P , C) = r r P(x, y) C(h, k)

2 LA CIRCUNFERENCIA ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA E r LN LT A D C B F 1. Centro de la circunferencia. “C“ 2. Radio de la circunferencia “r“ 3. Diámetro de la circunferencia 4. Cuerda de la circunferencia 5. Recta tangente a la circunferencia. LT 6. Recta normal a la circunferencia. LN

PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 01. -Radio trazado al punto de tangencia perpendicular a la recta tangente. L es R

02. - Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes). P M N R Q

02. - CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES. - No tienen punto en común. r R R r Distancia entre los centros (d) d>R+r

03. - CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES. - Tienen Un punto común que es el de tangencia. Punto de tangencia r Distancia entre los centros (d) d = R + r r R R

04. - CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES. - Tienen un punto en común que es el de tangencia. Punto de tangencia R r R d d=R-r d: Distancia entre los centros

07. - CIRCUNFERENCIAS INTERIORES. - No tienen puntos comunes. r R d d<R-r d: Distancia entre los centros

11 LA CIRCUNFERENCIA Una Circunferencia queda completamente definida, si se conoce su centro y su radio. Y P(x, y) Ecuaciones de la Circunferencia: r 1) Forma Ordinaria: Sea el Centro de la Circunferencia C(h, k) C ( h, k ) y radio r. Si P (x, y) es un punto Por distancia: 0 (x - h)2 + (y - k)2 = r 2 X Y P(x, y) 2) Forma canónica si el Centro es el origen su ecuación es : 0 X

12 LA CIRCUNFERENCIA Ejemplo 1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro C(-3 , -4) y radio 5. Solución. Ejemplo 2. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A (2 , 3) y B(-4 , 5). Hallar la ecuación de la curva. y Solución. Las coordenadas del centro : B C A x

13 LA CIRCUNFERENCIA Observaciones: y Si la circunferencia es tangente al eje x su ecuación es : C(h, k) k x Si la circunferencia es tangente al eje y su ecuación es : y h C(h, k) x

14 LA CIRCUNFERENCIA 3) Ecuación General Desarrollando la ecuación ordinaria de la circunferencia tenemos: Esta ecuación tiene la misma forma que: Se llama forma general de la circunferencia. x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 Completando cuadrados lo llevamos a su forma ordinaria

15 LA CIRCUNFERENCIA - Si D 2 + E 2 - 4 F > 0 ; la Circunferencia es real - Si D 2 + E 2 - 4 F < 0 ; la Circunferencia es imaginaria - Si D 2 + E 2 - 4 F = 0 ; la Circunferencia representa un punto Ejemplo 3. Reduciendo las ecuaciones dadas a la forma ordinaria , determinar si representa o no una circunferencia. a. 2 x 2 + 2 y 2 - 6 x +10 y + 7 = 0 b. 4 x 2 + 4 y 2 +28 x - 8 y + 53 = 0 c. 16 x 2 + 16 y 2 - 64 x + 8 y + 177 = 0 Solución.

16 LA CIRCUNFERENCIA Luego la ecuación es una circunferencia de centro C (3/2 , -5/2) y radio

17 LA CIRCUNFERENCIA Luego la ecuación representa el punto C(-7/2 , 1) Luego la ecuación representa un conjunto vacío o una circunferencia imaginaria.