SEMEJANZA U D 8 4 ESO E AC

SEMEJANZA U. D. 8 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 1

LONGITUDES U. D. 8. 4 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 2

PROBLEMA 1 • Julia y María caminan juntas, llegan a un cruce de caminos rectos que forman entre sí un ángulo de 50º y cada una toma un camino. A partir de ese momento, Julia camina a 4 km/h y María a 6 km/h ¿A qué distancia estará Julia de María al cabo de una hora y media? B 4 km/h A Julia c 50º distancia = Lado a 6 km/h b María C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 3

Resolución_1 • • • Se visualiza un triángulo no rectángulo Lado a = distancia pedida. Lado b = v. t = 6 km/h. 1, 5 h = 9 km anda María Lado c = v. t = 4 km/h. 1, 5 h = 6 km anda Laura Ángulo A = 50º • • • Probamos con el Teorema del Seno, si hay dudas: a / sen A = b / sen B = c / sen C Sustituyendo los datos conocidos: a / sen 50º = 9 / sen B = 6 / sen C Vemos que no podemos extraer ninguna ecuación útil. • • Nos vamos al T. del Coseno. a 2 = b 2 + c 2 – 2. b. c. cos A , al conocer el ángulo A a 2 = 92 + 62 – 2. 9. 6. cos 50º a 2 = 81 + 36 – 69, 42 a 2 = 47, 58 a = 6’ 8977 km @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 4

PROBLEMA 2 • Dos de los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm, y forman un ángulo de 32º. ¿Cuánto miden las diagonales? B d 6 cm a c D 32º 8 cm A @ Angel Prieto Benito b C Matemáticas 4º ESO E. AC. 5

Resolución_2 • • • Se visualiza un triángulo no rectángulo Lado a = diagonal menor. Lado b = 8 cm Lado c = 6 cm Ángulo A = 32º • • Nos vamos al T. del Coseno. a 2 = b 2 + c 2 – 2. b. c. cos A , al conocer el ángulo A a 2 = 82 + 62 – 2. 8. 6. cos 32º a 2 = 64 + 36 – 81, 41 a 2 = 18, 59 a = d = 4, 31 cm • • • Hallamos el ángulo suplementario de 32º A’ = 180 – 32 = 148º Y visualizamos otro triángulo no rectángulo cuyos lados son los dos lados del paralelogramo y la diagonal mayor. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 6

Resolución_2 • • • Se visualiza un triángulo no rectángulo Lado a = D = diagonal menor. Lado b = 8 cm Lado c = 6 cm Ángulo A = 148º • • Nos vamos al T. del Coseno. a 2 = b 2 + c 2 – 2. b. c. cos A , al conocer el ángulo A a 2 = 82 + 62 – 2. 8. 6. cos 148º a 2 = 64 + 36 – 96. ( – 0, 84805) a 2 = 181, 41 a = D = 13, 47 cm • Observamos que la diagonal mayor es mucho mayor que la menor al ser el ángulo que forman los lados algo pequeño. A su vez vemos que D < b + c, pues 13, 47 < 14 Y que d > b – c , pues 4, 31 > 2 Por todo ello la solución es correcta. • • • @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 7

PROBLEMA 3 • Dos circunferencias secantes tienen radios de 10 cm y 13 cm. Sus tangentes comunes forman un ángulo de 30º. Calcula la distancia entre sus centros. • d 10 • 13 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. Radios y tangentes forman un ángulo recto. El ángulo formado por los radios será por ello el mismo que el formado por las tangentes, de 30º. 8

Resolución_3 • • • Se visualiza un triángulo no rectángulo Lado a = distancia entre centros. Lado b = 10 cm Lado c = 13 cm Ángulo A = 30º d 13 30º 10 • • Nos vamos al T. del Coseno. a 2 = b 2 + c 2 – 2. b. c. cos A , al conocer el ángulo A a 2 = 102 + 132 – 2. 10. 13. cos 30º a 2 = 100 + 169 – 260. 0, 866 a 2 = 43, 84 a = d = 6, 62 cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 9

PROBLEMAS_4 • • Queremos hallar la distancia entre dos árboles, A y B, el segundo de los cuales es inaccesible. Tomando otro árbol, C, como referencia que dista del primero 42, 6 m , desde los árboles A y C se dirigen visuales a B, que forman con el segmento AC ángulos BAC = 53, 7º y BCA = 64º. Halla la distancia entre los árboles A y B. • Resolución_4 • • • Se visualiza el problema. Se idealiza el triángulo: A=53, 7º B= ? C=64º a= ? b=42, 6 m c= ? Nos piden el valor del lado c. @ Angel Prieto Benito A B 53, 7º 42, 6 m Matemáticas 4º ESO E. AC. 64º C 10

Resolución_4 • Resolución_4 • • • • Tenemos: A=53, 7º , C=64º y b=42, 6 m Como tenemos dos ángulos, hallamos el tercero: C=180 – A – B = 180 – 53, 7 – 64 = 62, 3º Al tener los tres ángulos podemos aplicar el Teorema del Seno: a b c ------ = ------Sen A sen B sen C a 42, 6 c ------- = ------------Sen 53, 7 sen 64 sen 62, 3 En la segunda proporción: 42, 6. sen 62, 3 = c. sen 64 Despejando el lado c: c=42, 6. 0, 8854 / 0, 8988 = 41, 965 m Solución: 41, 965 m @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 11