Cap 6 Escoamento de fluidos incompressveis e invscidos

Cap. 6 – Escoamento de fluidos incompressíveis e invíscidos 6. 1 - Equações de Euler 6. 2 - Equações de Euler em coordenadas de linha de corrente 6. 3 – Equação de Bernoulli 6. 4 – Relação entre equação da energia e a equação de Bernoulli 6. 5 – Equação de Bernoulli para escoamento não permanente 6. 6 – Escoamento irrotacional

6. 1 – Equação da quantidade de movimento para escoamento sem atrito Equações de Euler :

Se a coordenada z for orientada verticalmente:

Em coordenadas cilíndricas, as três componentes da equação de Euler são:

6. 2 – Equações de Euler em coordenadas de linha de corrente

Para escoamento permanente, e desprezando forças de massa: Para obter a equação de Euler na direção normal às linhas de corrente:

6. 3 – Equação de Bernoulli – A integração da Equação de Euler ao longo de uma linha de corrente 6. 3. 1. - Dedução com o uso de coordenadas de linha de corrente: Se uma partícula fluida mover-se de uma distância ds: variação de pressão ao longo de s variação de elevação ao longo de s variação de velocidade ao longo de s

(ao longo de s) Para massa específica constante (escoamento incompressível) : Restrições: (1) Escoamento permanente (2) Escoamento incompressível (3) Escoamento sem atrito (4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente

6. 3. 2 - Dedução com o uso de coordenadas retangulares (Regime permanente) (Distância ao longo de uma linha de corrente) Sendo tem-se:

Expressão obtido no cálculo vetorial: E, uma vez que fica : é paralelo a ,

6. 3. 3. – Definições de pressões estática, de estagnação e dinâmica Pressão de estagnação : (Escoamento incompressível) Pressão dinâmica : Pressão de estagnação = Pressão estática + Pressão dinâmica

Medição de pressão estática Pequenos orifícios Tomada de pressão na parede Medição de pressão de estagnação Tubo de Pitot Sonda de pressão no escoamento Medição de simultânea de pressão estática e pressão de estagnação

Problema exemplo: Um tubo de Pitot inserido em um escoamento conforme mostrado. O fluido é ar, e o líquido manométrico é mercúrio. Determinar: A velocidade do escoamento

6. 3. 4 - Aplicações Bocal (com ar) Determinar: p 1 - patm

Sifão (com água) Determinar: (a) velocidade da água na saida (jato livre) (b) pressão no ponto A do escoamento

A avião voa a 150 km/h em uma altitude de 1000 m. Determine a pressão de estagnação na borda de ataque da asa. Em um certo ponto da asa (B) a velocidade relativa do ar à asa é 60 m/s. Calcule a pressão neste ponto.

6. 4 – Relação entre a equação da energia e a equação de Bernoulli Fazendo : Considerando regime permanente : Para um tubo de corrente:

Processos reversíveis (isoentrópico) ideais: Processos irreversíveis reais: Escoamento ideal sem perdas (eq. de Bernoulli) Escoamento real

Eq. de Bernoulli altura de carga devido a elevação (ou cota) altura de carga devido a pressão dinâmica altura de carga devido a pressão estática local altura de carga total do escoamento

Conceito de linha de energia e linha piezométrica: representa a soma das alturas de carga de pressão estática e de elevação.

6. 5 - Equação de Bernoulli para escoamento não permanente

6. 6 – Escoamento irrotacional é aquele onde os elementos fluidos não sofrem rotação Coordenadas cilíndricas:

6. 6. 2 – Potencial de Velocidade Pode-se formular uma relação chamada função potencial, f, para um campo de velocidade irrotacional. Usa-se a identidade vetorial fundamental abaixo, onde f é uma função escalar: Define-se f , função potencial , cujo gradiente é o campo de velocidade vezes menos um: Em coordenadas cilíndricas :

6. 6. 3 – Função Corrente e Potencial de Velocidade Escoamento bidimensional, incompressível e invíscido : Função corrente: Potencial de velocidade: Condição de irrotacionalidade: Conservação da massa:

Anteriormente mostrou-se que a função corrente é constante na linha de corrente: A inclinação de uma linha de corrente (uma linha de y constante) é dada por: Ao longo de uma linha de f constante, d f = 0 : A inclinação de uma linha potencial (uma linha de f constante) é dada por:

Exemplo: Considere o campo de escoamento dado pela função corrente expressa ao lado. Mostre que o escoamento é irrotacional e determine o potencial de velocidade para este escoamento. Componentes u e v do escoamento: Se o escoamento é irrotacional wz = 0. Condição de irrotacionalidade: escoamento é irrotacional

Componentes u e v do escoamento: Definição de Potencial de velocidade: como f(y) e f(x) devem ser iguais f(x)=f(y)=cte:

6. 6. 4 – Escoamentos planos elementares Escoamento Uniforme: G =0 (circulação igual a zero) em torno de qualquer curva fechada Escoamento tipo Fonte (a partir da origem): G =0 (circulação igual a zero) em torno de qualquer curva fechada A origem é um ponto singular q é a vazão em volume por unidade de profundidade

Escoamento tipo Sorvedouro (na direção da origem): G =0 (circulação igual a zero) em torno de qualquer curva fechada Vórtice irrotacional (anti-horário centro na origem): A origem é um ponto singular K é a intensidade do vórtice A origem é um ponto singular q é a vazão em volume por unidade de profundidade