Captulo 07 Escoamento Externo 1 Introduo No escoamento

Capítulo 07: Escoamento Externo 1

Introdução • No escoamento externo as camadas-limite se desenvolvem livremente, sem restrições impostas por superfícies adjacentes. Assim, sempre existirá uma região do escoamento externa à camada-limite, na qual os efeitos dos gradientes de velocidade, temperatura e/ou concentração são desprezíveis. 2

Método empírico • Correlações para transferência de calor: obtidas empregando-se simultaneamente dados experimentais à análise dimensional. 3

Método empírico • Pela adimensionalização das equações da camada-limite, tem-se que os coeficientes convectivos possuem as seguintes formas funcionais: 4

Método empírico • A coleta de dados experimentais e sua análise dão origem a gráficos do tipo: 5

Método empírico • Nota-se uma dependência do número de Nusselt em relação ao número de Reynolds na forma de uma lei de potência. Considerando-se todos os fluidos, obtém-se então uma expressão com a forma – Os valores de C, m e n dependem da natureza da geometria da superfície e do tipo de escoamento. 6

Método empírico • Em geral, para obtenção de uma relação empírica, admite-se que as propriedades do fluidos seja constante. • Sabe-se, contudo, que as mesmas variam através da camada-limite de acordo com a temperatura. • Um dos métodos para tratar essa influência é definir uma temperatura média para a camadalimite, denominada temperatura de filme (Tf). 7

Método empírico • Temperatura de filme: • Uma outra alternativa é trabalhar com parâmetros de correção, que leva em consideração as propriedades para a temperatura do escoamento livre e para a temperatura de superfície. 8

Placa plana em escoamento paralelo • Escoamento laminar sobre placa isotérmica – Considerando-se as seguintes hipóteses: • • • Escoamento laminar e incompressível. Regime permanente. Fluido com propriedades constantes. Dissipação viscosa desprezível. Gradiente de pressão tal que – Tem-se as seguintes equações para a camada-limite 9

Placa plana em escoamento paralelo • Equação da continuidade • Equação da conservação da quantidade de movimento • Equação da conservação da energia 10

Placa plana em escoamento paralelo – A solução de tais equações é simplificada pelo fato de que, para propriedades constantes, há uma independência das condições na camada-limite fluidodinâmica em relação à temperatura. – A solução fluidodinâmica segue o método de Blasius. Para tanto, definem-se as componentes do vetor velocidade em termos da função-corrente 11

Placa plana em escoamento paralelo – Novas variáveis dependente e independente, f e η, respectivamente, são definidas de tal forma que – A solução de Blasius é dita uma solução por similaridade, uma vez que o perfil de velocidades permanece geometricamente similar, apesar do crescimento da camada-limite com a distância. 12

Placa plana em escoamento paralelo – A similaridade possui a forma funcional – Aplicando-se as definições anteriores à equação da conservação da quantidade de movimento linear obtém-se 13

Placa plana em escoamento paralelo – As condições de contorno apropriadas são – Ou em termos das variáveis de similaridade – A solução da equação pode ser obtida por uma expansão em série ou por integração numérica. 14

Placa plana em escoamento paralelo 15

Placa plana em escoamento paralelo – Observa-se, então que com uma boa aproximação – Tem-se então – O coeficiente de atrito local então será dado por 16

Placa plana em escoamento paralelo – De forma análoga à solução para a camada-limite fluidodinâmica pode-se obter a solução para a camada-limite térmica. Nesse caso, introduzindose a temperatura adimensional – Tem-se que a equação da energia pode ser expressa como 17

Placa plana em escoamento paralelo – As condições de contorno obtidas serão: – Observa-se que para Pr ≥ 0, 6, tem-se – Assim, o número de Nusselt local possui a forma 18

Placa plana em escoamento paralelo – Tem-se também que a razão entre as espessuras das camadas-limite de velocidade e térmica é – A partir dos resultados locais, pode-se obter os parâmetros médios paras as camada-limite. Desse modo, tem-se: • Coeficiente de atrito médio 19

Placa plana em escoamento paralelo – Sendo – De tal modo que se obtém • Número de Nusselt médio 20

Placa plana em escoamento paralelo – Para fluidos com número de Prandtl pequeno, como é o caso dos metais líquidos, tem-se que o desenvolvimento da camada-limite térmica é muito mais rápido que o da fluidodinâmica (δt >> δ) e assim é razoável admitir uma velocidade uniforme ao longo da camada limite térmica. Desse modo: – Sendo Pe o número de Peclet: 21

Placa plana em escoamento paralelo – Uma expressão única, aplicável a todos os números de Prandtl foi recomendada por Churchill e Ozoe. Assim, para um escoamento laminar sobre uma placa isotérmica, tem-se que – Sendo: 22

Placa plana em escoamento paralelo • Escoamento turbulento sobre placa isotérmica – A partir de resultados experimentais, tem-se que o coeficiente de atrito local pode ser avaliado através da seguinte expressão (para uma margem de 15% de precisão): – A camada-limite representada por de velocidades pode ser 23

Placa plana em escoamento paralelo – Para o escoamento turbulento, o desenvolvimento da camada-limite é fortemente influenciado por flutuações aleatórias no fluido e não pela difusão molecular. Desse modo, tem-se que – Assim, o número de Nusselt local pode ser obtida através da analogia de Chilton-Colburn, resultando em 24

Placa plana em escoamento paralelo • Condições de camada-limite mista – Em geral, uma camada-limite turbulenta é precedida por uma camada-limite laminar. Nesse caso, o coeficiente convectivo médio será: – Admite-se, nesse caso, que a transição se dê de forma abrupta. 25

Placa plana em escoamento paralelo – Ao se realizar a integração, obtém-se • Sendo A dependente do número de Reynolds crítico: – Para o coeficiente de atrito médio, tem-se 26

Placa plana em escoamento paralelo • Placa plana com condição de fluxo térmico constante – No caso de uma placa com fluxo térmico uniforme, pode-se mostrar que para o escoamento laminar tem-se – E para o escoamento turbulento 27

Metodologia para cálculo da convecção • Reconhecer a geometria. • Reconhecer a temperatura adequada para determinação das propriedades do fluido. • Avaliar o número de Reynolds e determinar o regime de escoamento (laminar / turbulento). • Selecionar a correlação adequada e determinar o número de Nusselt e o coeficiente convectivo. • Avaliar a taxa de transferência de calor. 28

Cilindro em escoamento cruzado • Considerações sobre o escoamento – No escoamento de um fluido sobre um cilindro, tem-se em geral que o fluido da corrente livre é levado ao repouso no ponto de estagnação frontal, com um correspondente aumento da pressão. 29

Cilindro em escoamento cruzado – A partir desse ponto, a pressão diminui com o aumento da coordenada x (coordenada da linha de corrente) e a camada-limite se desenvolve sob a influência de um gradiente de pressão favorável (dp/dx < 0). 30

Cilindro em escoamento cruzado – A pressão atinge, então, um valor mínimo e na porção posterior do cilindro o desenvolvimento da camada-limite ocorrerá na presença de um gradiente de pressão adverso (dp/dx > 0). – Diferentemente do que ocorre sobre uma placa plana, a velocidade a montante do cilindro (V) e a velocidade do fluido na corrente livre (u∞) são distintas; a velocidade u∞) é dependente da distância x a partir do ponto de estagnação. 31

Cilindro em escoamento cruzado – Observa-se, ainda, que u∞(x) deve possuir um comportamento oposto ao de p(x). – Assim, o fluido acelera devido ao gradiente de pressão favorável (du∞/dx > 0 quando dp/dx < 0), atinge uma velocidade máxima quando dp/dx = 0, e desacelera devido ao gradiente de pressão adverso (du∞/dx < 0 quando dp/dx > 0). – À medida que o fluido desacelera, o gradiente de velocidade na superfície acaba se tornando nulo: 32

Cilindro em escoamento cruzado – Nesse ponto, conhecido como ponto de separação, o fluido próximo à superfície carece de quantidade de movimento suficiente para superar o gradiente de pressão e o movimento a jusante se torna impossível. – Desse modo, ocorre a chamada separação da camada-limite e a formação de uma esteira de vórtices a jusante do cilindro. 33

Cilindro em escoamento cruzado – A ocorrência da transição na camada-limite depende do número de Reynolds: – Para Re. D ≤ 2 x 105, a camada-limite permanece laminar e a separação ocorre em θ ≈ 80°. – No entanto, se Re. D ≥ 2 x 105 , a separação é retardada até θ ≈ 140°. 34

Cilindro em escoamento cruzado – Os processos anteriores influenciam a força de arrasto FD, que atua sobre o cilindro. Tal força possui duas contribuições: uma devido à tensão de cisalhamento da camada-limite sobre a superfície (arrasto de atrito ou arrasto viscoso) e outra devido ao diferencial de pressão no sentido do escoamento (arrasto de forma ou arrasto de pressão). Define-se, então, o coeficiente de arrasto como 35

Cilindro em escoamento cruzado • Na expressão anterior Af é a área frontal do cilindro (área projetada no plano perpendicular à velocidade a montante). – O coeficiente de arrasto é uma função do número de Reynolds. 36

Cilindro em escoamento cruzado • Transferência de calor: – Resultados experimentais para a variação do número de Nusselt mostram que a transferência de calor é fortemente influenciada pela natureza do desenvolvimento da camada-limite. 37

Cilindro em escoamento cruzado – Para Re. D ≤ 1 x 105 , tem-se que Nu diminui com o aumento de θ até o ponto de separação, que ocorre em θ ≈ 80°. Após esse ponto, Nu aumenta devido à formação de vórtices na esteira. – Para Re. D ≥ 1 x 105, observam-se dois valores mínimos. O primeiro ocorre ao final do desenvolvimento da camada-limite laminar. O segundo ocorre ao fim da camada-limite turbulenta, logo antes da separação da camadalimite. 38

Cilindro em escoamento cruzado – Correlação empírica proposta por Hilpert: Acima, coeficientes C e m para cilindros circulares em escoamento cruzado; ao lado, coeficientes C e m para cilindros nãocirculares em escoamento cruzado. 39

Cilindro em escoamento cruzado – Correlação proposta por Zukauskas (propriedades avaliadas à temperatura T∞, exceto por Prs avaliado à temperatura Ts): Coeficientes C e m para a correlação de Zukauskas. Para Pr ≤ 10, n = 0, 37; se Pr ≥ 10, n = 0, 36. 40

Cilindro em escoamento cruzado – Churchill e Bernstein propuseram uma correlação que cobre toda a faixa de Re. D: – Todas as correlações apresentadas para cilindro possuem precisão de cerca de 20%. 41

Esfera • Os efeitos de camada-limite associados ao escoamento sobre uma esfera são muito semelhantes àqueles observados para o cilindro circular. • No caso limite de um escoamento com números de Reynolds muito baixos (“creeping flow”), o coeficiente de arrasto é inversamente proporcional ao número de Reynolds. 42

Esfera • Nesse caso, obtém-se a relação conhecida como lei de Stokes: • Numerosas correlações de transferência de calor foram propostas para o caso do escoamento sobre uma esfera. 43

Esfera • Correlação de Whitaker: – As propriedades são avaliadas à T∞, à exceção de μs que deve ser avaliada à Ts. 44

Esfera • Um caso especial de transferência de calor em esferas está relacionado ao transporte de gotas em queda livre, para o qual a correlação de Ranz e Marshall é frequentemente usada: 45

Escoamento sobre matrizes tubulares • Matrizes de tubos são frequentemente encontradas em aplicações industriais, como na geração de vapor em caldeiras ou no resfriamento de ar na serpentina de um condicionador de ar. 46

Escoamento sobre matrizes tubulares • As fileiras (colunas) de tubos estão alternadas ou alinhadas na direção da velocidade do fluido V. • A configuração (arranjo) é caracterizada pelo diâmetro dos tubos D, e pelos passos transversal ST e longitudinal SL, medidos entre os centros dos tubos. 47

Escoamento sobre matrizes tubulares • Arranjo dos tubos em uma matriz tubular: (a) alinhado; (b) alternado. 48

Escoamento sobre matrizes tubulares • O coeficiente de transferência de calor associado a um tubo é determinado por sua posição na matriz. • Um tubo na primeira coluna possui transferência de calor semelhante àquele observado para um único tubo em escoamento cruzado. • Já tubos localizados em colunas mais internas apresentam maior troca térmica. 49

Escoamento sobre matrizes tubulares • Isto decorre do fato de que a primeira coluna de tubos funciona como um gerador de turbulência para as demais colunas. • Correlação de Grimison, obtida para matrizes com 10 ou mais colunas de tubos (NL ≥ 10): 50

Escoamento sobre matrizes tubulares – Valores de C 1 e m para a correlação de Grimison: 51

Escoamento sobre matrizes tubulares – Número de Reynolds: – Correção a ser utilizada caso o número de colunas de tubos seja inferior a 10 (NL < 10): – Valores de C 2: 52

Escoamento sobre matrizes tubulares – A velocidade máxima para o arranjo alinhado pode ser avaliada por – Já no caso do arranjo alternado, caso – Se a condição não for satisfeita, utiliza-se a mesma expressão para Vmax do arranjo alinhado. 53

Escoamento sobre matrizes tubulares • Outra correlação, mais recente, utilizada para matrizes de tubos foi proposta por Zukauskas: – Para esta correlação, as propriedades do fluido são avaliadas para a média aritmética das temperaturas de entrada (Tent = T∞) e de saída do fluido (Tsai). 54

Escoamento sobre matrizes tubulares – As constantes C e m são avaliadas por: 55

Escoamento sobre matrizes tubulares – Para uma matriz de tubos com menos de 20 colunas (NL < 20), é necessário utilizar um fator de correção de tal modo que – Valores de C 2: 56

Escoamento sobre matrizes tubulares • Como o fluido pode experimentar uma grande variação de temperatura à medida que escoa através da matriz tubular, torna-se necessário definir uma forma mais apropriada para se avaliar a diferença de temperaturas. • Para tanto, será definida a média logarítmica das diferenças de temperatura: 57

Escoamento sobre matrizes tubulares – Na expressão anterior, Tent e Tsai são as temperaturas do fluido na entrada e na saída da matriz de tubos, respectivamente. – A temperatura Tsai pode ser estimada pela expressão: – Nessa expressão, N é o número total de tubos na matriz e NT é o número de tubos no plano transversal. 58

Escoamento sobre matrizes tubulares • A taxa de transferência de calor, por unidade de comprimento dos tubos, pode então ser avaliada por • Outro parâmetro importante é a queda de pressão através da matriz, estimada através da relação 59

Escoamento sobre matrizes tubulares – Fator de atrito f e fator de correção tubos alinhados) (matriz de 60

Escoamento sobre matrizes tubulares – Fator de atrito f e fator de correção tubos alternados) (matriz de 61