TEST STATSTKLER Test istatistikleri konusunda rencilerin aldklar puanlara

TEST İSTATİSTİKLERİ

• Test istatistikleri konusunda öğrencilerin aldıkları puanlara dayanarak şu işlemler yapılabilir: • MERKEZİ YIĞILMA/EĞİLİM ÖLÇÜLERİ : • Aritmetik ortalama • Ağırlıklı ortalama • Mod • Medyan olmak üzere 4 tanedir. • Merkezi eğilim ölçüleri öğrenciler arası farklılaşma ile ilgili bilgi vermez, yığılma hakkında bilgi verir.

• MERKEZİ YAYILMA/DAĞILMA/DEĞİŞİM ÖLÇÜLERİ: • Ranj-Varyans- Standart sapma- Çeyrek sapma- Bağıl değişkenlik olarak hesaplanabilir. • Bu istatistiki verilere dayanarak grup ve birey başarısı hakkında yorum yapılabilir.

• Örn: 20 kişilik bir öğrenci grubuna uygulanan bir test sonucunda öğrencilerin aldıkları puanlar şöyle olsun: Öğrenci puanlarının büyükten küçüğe doğru sıralanması 70 55 57 54 60 53 58 60 57 59 65 57 64 55 61 60 67 58 60 70 70 64 60 58 55 70 61 60 57 55 67 60 59 57 54 65 60 58 57 53

• Bir puanın(x) kaç öğrenci tarafından alındığını gösteren sayıya o puanın FREKANSI (f) denir. • Frekans tablosu oluşturmak için puanların tekrar etme sayıları karşılarına yazılır. x 70 67 65 f 2 1 1

• • PUANLARIN GRUPLANMASI Puanların gruplanması için önce KAÇ GRUPTA toplanacağına karar verilir. Genellikle TEK sayılı gruplandırma yoluna gidilir. Gruplandırmayı yapan kişi buna karar verir. Grup(puan) aralık katsayısı, puanların en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark(RANJ) alınır ve fark belirlenen grup sayısına bölünür. Örnekte en büyük puan 70, en küçük puan 53, grup sayısı 6’dır. O halde 70 -53= 17 17 / 6= 2. 8~3. Grup aralık katsayısı 3’tür.

Puan aralığının orta değerinin belirlenmesi: • Puan aralığında yer alan her iki puanın toplanıp ikiye bölünmesiyle elde edilir. Örn: 68+70/2= 69 • Yığılmalı/toplamlı frekans: Tabloda bir frekansın kendinden önceki frekanslarla toplanması ile bulunur. Herhangi bir puan için, o puandan daha yüksek ya da daha düşük puan alanların frekansını gösterir. • Örn: 68 -70 aralığının f’si 2, 6567 aralığının f’si 2 olduğu için yığılmalı frekans 4’dür. Puan aralığı f ∑f Aralığın gerçek orta değeri sınırı 68 -70 2 2 69 67, 5 -70, 5 65 -67 2 4 66 64, 5 -67, 5 62 -64 1 5 63 61, 5 -64, 5 59 -61 6 11 60 58, 5 -61, 5 56 -58 5 16 57 55, 5 -58, 5 53 -55 4 20 54 52, 5 -55, 5

• Aralığın gerçek sınırı: Grup aralıklarının alt sınırının 0. 5 altı ve üst sınırının 0. 5 puan üstü alınarak gerçek grup aralığı oluşturulur. • Örn: Tabloda 68 -70 puan aralığının gerçek sınırları 67. 5 - 70. 5. • Öğrencilerin aldıkları puanlar FREKANS POLİGONUNDA ya da HİSTOGRAMDA(bar grafiği)gösterilebilir.

§ § MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Aritmetik ortalama(AO): Puanların orta noktası, yani merkezidir. ∑x Puanların toplamı Formül: x= N Puan sayısı Ağırlıklı ortalama: AO’nın bir türü. AO hesaplanırken her puan aynı ağırlığa sahiptir. Fakat puanların ağırlıkları farklı ise ağırlıklı ortalama kullanılır. Derslerin puanlarının ağırlıkları, haftalık ders saatine göre(kredi) belirlenir. Kredisi yüksek olan dersin içeriği daha fazla ve önemli bir derstir.

Dersler Puan(X) Türkçe Dersin kredisi(K) 5 2 Kredi, puan çarpımı(K. X) 10 Matematik 4 2 8 Geometri 3 2 6 Tarih 2 1 2 Coğrafya 1 4 4 ∑K 15 ∑(K. X) 30 Tabloda dersler, kredileri ve bu derslerden alınan puanlar verilmiştir. Bu verilere göre bu puanları alan öğrencilerin ağırlıklı ortalamalarını hesaplayalım.

∑(X. K) = 30 • AO= ∑K =15 = 2’dir. § Eğitim sisteminde karne/diploma notu hesaplanırken aritmetik ortalama değil, ağırlıklı ortalama kullanılır. § Çünkü her dersin ağırlığı/önemi farklıdır. Derslerin önemine kredilerine bakarak karar verebiliriz.

§ MOD(TEPE DEĞER) § Bir puan dağılımında EN ÇOK TEKRAR EDEN PUANA, yani frekansı en yüksek olan puana MOD denir. Mod, frekans tablosunda f en büyük olan puandır. § Örn: 10 20 30 30 40 50 50 50 § Bu puanlardan en çok tekrar eden 50 puanı MOD’dur.

• Örn: 10 20 20 20 40 40 40 50 • Bu puanlardan en çok tekrar eden 20 ve 40 puanları moddur. Ardışık olduğu için ikisinin toplamının yarısı 30 moddur. • Örn: 20 20 20 30 40 40 40 50 • Bu puanlardan en çok tekrar eden 20 ve 40 puanları moddur. Ama ikisinin toplamının yarısı mod olamaz Çünkü 30 çıkar. O da bir kez alınmıştır.

• Dikkat: En yüksek frekans seçenekte mod olarak verilirse dikkat edilmelidir. En yüksek frekans değil, en yüksek frekansın karşısındaki puanı mod olarak işaretlemek gerekir. • Frekansı en yüksek birden çok puan varsa bu durumda tepe değeri bulunmaz ve kullanılmaz. • Mod bir PUANDIR. Frekans değildir.

Soru( 2010 KPSS) • Duygu öğretmen birinci sınavda modun üzerinde puan alan öğrencilerine işbirliğine dayalı grup çalışmasında, istedikleri arkadaşlarıyla çalışma şansı vereceğini açıklar. Bu sınava ilişkin puan dağılımı aşağıdaki grafikte şöyledir: 30(4) 45(6) 55(4) 60(4) 65(8) 70(2) 80(6) 85(2) • Bu sınıfta kaç kişi grup arkadaşlarını seçebilecektir? A) 4 B)6 C)8 D)10 E)12

CEVAP • Grafikte tepe değer 65’tir. Tepe değerden daha yüksek alanlar 70 puan iki kişi, 80 puan 6 kişi, 85 puan iki kişi olmak üzere toplam on kişidir. • Doğru cevap D seçeneğidir. SORU 11, 13, 14, 17, 18, 19, 22, 22, 36 • Yukarıda verilen dizinin modu kaçtır? A) 11 B) 13 C) 14 D) 22 E) 36

• MEDYAN(ORTANCA): • Büyükten küçüğe ya da küçükten büyüğe sıralanmış puanların tam ORTASINA düşen puana MEDYAN denir. • Medyan bir puan dizisini sağında ve solunda eşit sayıda puan kalacak şekilde İKİ EŞİT parçaya ayırır. Puan dizisindeki veri sayısının TEK ya da ÇİFT olması durumunda ortancanın bulunması farklı olur. • Örn: 10 20 30 40 50 60 70 • 40 puanı, puan dağılımının MEDYANIDIR. • Örn: 20 60 50 30 70 40 10 • Puanlar sıralanmadığı için medyan 30 zannedilir. Ama puanlar sıralandığı zaman puan dağılımının medyanı 40’tır. • Örn: 10 20 30 40 50 60 70 80 • 40 ve 50 dağılımın medyanıdır. Veya ikisinin toplamının yarısı 45 medyandır.

• Soru: Aşağıda öğrencilerin bir dersten aldıkları puanlar, bu puanların frekansları, yukarıdan aşağıya doğru ve aşağıdan yukarıya doğru yığılmalı frekansları verilmiştir. Bu puan dağılımının sırasıyla MOD, ARİTMETİK ORTALAMA ve MEDYANI kaçtır? • Modu: 30 (f’si en yüksek olan puan) • AO: (f. p)+(f. p)+…. . / 20= 860/20=43’dür. • Medyanı: • f toplamı= 20 (çift sayı) • 20/2= 10 (f toplamı çift sayı ise ikiye bölünür. f toplamı tek sayı ise n+1/2 olur. ) 20/2= 10 olduğu için bu değer her iki yığılmalı f sütununda bulunur. Bulunan yığılmalı f’ların karşısındaki 40 puanı MEDYANDIR. X f ∑f ∑f 70 2 2 20 60 3 5 18 50 4 9 15 40 3 12 11 30 6 18 8 20 2

MERKEZİ DAĞILIM /YAYILMA/ DEĞİŞİM ÖLÇÜLERİ(MDÖ) • MDÖ aritmetik ortalama etrafında NASIL bir dağılım gösterdiği hakkında bilgi veren ölçülerdir. • Bunlar 4 tanedir. • En kaba olanından en hassas olanına doğru RANJ, ÇEYREK SAPMA, VARYANS, STANDART SAPMA ve BAĞIL DEĞİŞKENLİK KATSAYISI

• 1. RANJ(DİZİ GENİŞLİĞİ): • Puan dağılımındaki en büyük ölçüm ile en küçük ölçüm arasındaki farktır. Ranj MDÖ arasında en az hassas olanıdır. • ÖRN: 10 20 30 30 40 50 50 60 • En büyük puan 60, en küçük puan 10’dur. İkisi arasındaki fark 50’dir. Ranj 50’dir.

2. ÇEYREK SAPMA (ÇS): ÇS, dağılımdaki puanların üçüncü çeyreğiyle birinci çeyreğinin farkının yarısıdır. Yani puan dağılımı küçükten büyüğe doğru sıralandığında puan dağılımını dört çeyreğe ayırmak için ÜÇ tane KESİK atılması gerekir. Birinci kesik Q 1, ikinci kesik Q 2, üçüncü kesik Q 3 ile ifade edilir. • Örn: 10 20 20 30 40 50 50 60 Q 1 Q 2 Q 3: Üçüncü çeyrek(%75 ait puan) Q 1: Birinci çeyrek(%25 ait puan) • Üçüncü çeyrekle birinci çeyrek arasındaki puan genişliğinin yarısıdır. Q ile gösterilir.

• Örnek: 20 öğrencinin bir sınavdan aldığı puanların büyükten küçüğe doğru sıralanışı şöyle olsun: • 15 -17 -20 -21 -25 -30 -33 -40 -43 -47 -50 -55 -57 -60 -65 -70 -7377 -80 -84 • Bu puanlara ait çeyrek sapma hesaplanırken öncelikle 25. ve 75. yüzdeliğe ait puanlar bulunmalıdır. • 25. yüzdelik için Q 1: 20. (25/100)= 5. puan(25) • 75. yüzdelik için Q 3: 20. (75/100)= 15. puan(65) • Çeyrek sapma: 65 -25= 20 olur. • Q 1 ve Q 3 arasındaki veriler bütün verilerin ortasındaki %50’lik kısım olduğundan, puanlardaki uç değerlerin etkisi olmaz. Bu nedenle merkezi eğilim ölçülerinden ORTANCANIN tercih edildiği durumlarda YAYILMA ÖLÇÜSÜ olarak ÇEYREK SAPMANIN kullanılması tavsiye edilir.

• 3. VARYANS(V= Sx², Ss², S²) ve • 4. STANDART SAPMA(SS=Sx, Ss, S ) • Standart sapma bir puan dağılımındaki ölçümlerin aritmetik ortalamadan(AO) ne kadar uzaklaştığını / yakınlaştığını gösteren değerdir. • Varyans ise Ss’nın hammaddesidir. V bulunmadan Ss bulunamaz. Önce V bulunur. Sonra karekökü alınarak Ss bulunur. Bir dersin sınavından beş öğrencinin aldığı puanlar tabloda verilmiştir Bunların V ve Ss’nı bulalım.

Öğrenciler (X) (X – X)² 1. öğr. 5 3 2 4 2. öğr. 1 3 -2 4 3. öğr. 3 3 0 0 4. öğr 4 3 1 1 5. öğr. 2 3 -1 1 x = 1+2+3+4+5 / 5= 3 ∑(X – X)² Sx²= x = Aritmetik ortalama N = 5 öğr sayısı 10 = n– 1 = 2, 5 4 10 Sx= = 1. 6 4

Varyans ve Ss için işlem basamakları: • • 1. Dağılımın AO’sı bulunur. 2. AO tüm öğrencilerin puanlarından teker çıkartılır. 3. Bu farkların karesi alınır. 4. Karelerin toplamı öğrenci sayısının bir eksiğine bölünür. VARYANS bulunur. • 5. V’ın karekökü alınırsa Ss elde edilmiş olur.

• Ss DEĞERİ BÜYÜK ise • Öğrenciler arası farklılaşma fazladır. • Testin uygulandığı grup heterojendir. • Testin ayırt ediciliği yüksektir. • Testin güvenirliği yüksektir. • Testin varyansı yüksektir. • Testin ranjı yüksektir. • Ss DEĞERİ KÜÇÜK ise • Öğrenciler arası farklılaşma azdır. • Testin uygulandığı grup homojendir. • Testin ayırt ediciliği düşüktür. • Testin güvenirliği düşüktür. • Testin varyansı düşüktür. • Testin ranjı düşüktür.

• 5. BAĞIL DEĞİŞKENLİK KATSAYISI (BDK): Dağılımların yorumlanabilmesi için BDK’nın bilinmesi gerekir. • BDK’ı V ile sembolize edilir ve 0 ile 100 arasında değer alır. • Birden çok testin Ss ya da varyansları verildiğinde birbirleri ile karşılaştırılarak hangisinin büyük ya da küçük olduğuna bakılarak önceki yorumlar yapılabilir. (Ss’daki) • Benzer şekilde bir test ya da ölçme sonucunun Ss ya da varyansının büyüklüğü/küçüklüğü açıkça söylenmişse yine benzer yorumlar yapılabilir.

• Ancak sadece bir testin Ss rakamsal olarak verilmişse, o rakama bakarak Ss büyüklüğü/küçüklüğü hakkında bir şey söylemek zordur. Çünkü Ss 0 ile artı sonsuz arasında değerler alır. • İşte böyle durumlarda Ss ortalamaya bağlı olarak bir yüzdeye dönüştürülerek bir aralık değeri haline getirilir. Buna BDK denir. • BDK’ı, Ss’nın aritmetik ortalamaya bölümünün yüzle çarpımıyla bulunan bir yüzdedir. Ss • BDK= ------. 100 X • Örnek soru: Aritmetik ortalaması 50, Ss’ı 5 olan bir ölçme sonucunun BDK kaçtır? • Cevap: 10

MOD, MEDYAN ve ARİTMETİK ORTALAMA ARASINDAKİ İLİŞKİ • 1. Simetrik Dağılım(Normal dağılım): ü AO, mod(M) ve medyan(MD) birbirine eşittir. ü Tüm puanlar AO, M ve MD’nın sağında ve solunda eşit dağılır. ü Simetrik dağılımın olduğu bir testte, öğrencilerin yarısı ortalamanın altında, yarısı ise ortalamanın üstünde puan almıştır. ü Başarı normaldir. ü Test orta güçlüktedir. Madde güçlüklerinin ortalaması 0. 50’dir.

Normal Dağılım Eğrisi

• 2. Sağa Çarpık (Pozitif Kayışlı) dağılım: Ø AO’nın M ve MD’dan daha büyük olduğu dağılımdır. Ø Bu dağılımda öğrencilerin çoğu ortalamanın altında puan almıştır. Ø Öğrencilerin grup olarak başarıları düşüktür. Ø Test zordur. Madde güçlüklerinin ortalaması ‘ 0’ a yaklaşır. (Teksir, s. 28)

• 3. Sola Çarpık(Negatif Kayışlı) dağılım: ü AO’nın M ve MD’dan daha küçük olduğu dağılımdır. ü Öğrenciler çoğunlukla ortalamanın üstünde puan almıştır. ü Öğrenciler grup olarak başarılıdır. ü Test kolaydır. MGİ ‘ 1’e yaklaşır.

Testler AO Mod Medyan Ss Test 1 65 75 70 7 T 2 35 55 40 6 T 3 40 40 40 8 T 4 40 25 30 9 T 5 60 40 45 16 SORU: Bir sınıftaki öğrencilerin beş farklı testteki yanıtları 80 üzerinden puanlanmış ve bu puanlardan yukarıdaki tabloda gösterilen istatistikler hesaplanmıştır. Bu verilere göre hangi testten elde edilen puanların dağılımı simetriktir? A) I B)II C)III D)IV E)V Mod. Medyan ve AO eşit olduğunda dağılım simetrik olduğuna göre doğru cevap………… seçeneğidir.

• • • HAM PUANLARIN STANDART PUANLARA DÖNÜŞTÜRÜLMESİ Standart puanlar ham puanların standart bir dağılıma dönüştürülmesidir. Bu amaçla kullanılan Z ve T gibi dönüştürme formülleri vardır. Öğrencilerin farklı derslerdeki ölçüm sonuçlarına bakarak karar vermek yanıltıcı olabilir. Farklı ölçüm sonuçları standart puana dönüştürülerek aynı birime çevrilir. Böylece farklı ölçümlerin aynı birimle ifade edilmesi ile kıyaslama olanağı bulunmuş olur. Standart puanların kullanılması ile şu sorulara yanıt verilebilir: 1. Bir öğrenci birden çok teste girmişse aldığı puana göre hangi testte daha başarılıdır? 2. Birkaç öğrenciden hangisi testlerden aldıkları puana göre daha başarılıdır?

• Z Puanı: Normal dağılıma sahip ölçme kümesinde puan dağılımının ortalamasının 0 ve standart sapmasının 1 olacak şekilde dönüşüme tabi tutulması yoluyla elde edilen puandır. Z=X–X. Ss • Z : Z Puanı X : Öğrencinin puanı • X : Aritmetik ortalama Ss : Standart sapma

• T Puanı: Puan dağılımının aritmetik ortalamasının 50, standart sapmasının ise 10 olarak kabul edildiği bir standart puandır. • Z ve T puanları arasında doğrudan bir ilişki vardır. • T = 10 (X – X / Ss) +50 ya da • T = 50 + 10 Z olarak da hesaplanabilir.

• T puanı Z puanının özel bir halidir. Z puan dağılımı; AO’nın 50 ve Ss’nın 10 olacak şekilde T puanına dönüştürülmüş halidir. • Başka bir ifadeyle T puanı, AO’sı 50 ve Ss 10 olan bir standart puan dağılımıdır. • Bu nedenle Z puanının pratik olarak T puanı cinsinden karşılıkları şöyledir: • Zpuanı: -3 -2 -1 0 1 2 3 • Tpuanı: 20 30 40 50 60 70 80 • Soru: 50 öğrencinin 100 soruluk bir testten aldıkları puanların AO 50, Ss ise 15’tir. Bu durumda 80 puan alan öğrencinin T puanı nedir? • T= 10( X-X/ Ss) + 50= 10( 80 -50/15)+50= 20+50= 70’dir.

• ÖRN: Zeynep, aritmetik ortalaması 40 ve standart sapması 6 olan bir sınavdan 46 puan almıştır. Zeynep’in bu sınava ait Z ve T puanı kaçtır? • Z = X – X / Ss ise; Z = 46 – 40 / 6 = 1’dir. • T = 50 + (10 x 1) = 60’tır. • Yorum: Sınavdan alınan 46 puanın ne anlama geldiği çok belirgin değildir. Oysa Z=1’in anlamı çok daha açıktır. Normal dağılım eğrisi göz önünde bulundurulduğunda Zeynep’in sınıfın % 84’ünden daha iyi puan aldığı söylenebilir. Yine normal dağılım eğrisine bakıldığında, T= 60’ın da aynı anlama geldiği görülebilir.

Örnek: Bir öğrenci ortalaması 50 ve standart sapması 10 olan Matematik testinden 60; ortalaması 60 ve standart sapması 20 olan Fizik testinden ise 70 puan almıştır. Bu öğrenci hangi derste daha başarılıdır? Zmat = 60 – 50 / 10 = 1 Zfizik = 70 – 60 / 20 = 0, 5 • Yorum: Fizik dersinde daha yüksek puan almış olsa da Z ve T puanı matematik dersinde daha yüksek olduğundan öğrenci matematik dersinde daha başarılıdır.

• • Z Puanının Yorumlanması: Z puan dağılımı simetrik bir dağılımdır. Bu nedenle ortalama olan 0’ın sağında ve solunda alan eşittir ve her ikisi de %50’yi gösterir. Bu nedenle Z puanı 0 olan bir öğrenci, sınıfın %50’sinden daha başarılı, diğer %50’sinden daha düşük başarıya sahiptir. Z puanı -2 olan bir öğrenci, grubun yaklaşık %2’sinden başarılı, %98’den daha düşük başarıya sahiptir. Z puanı +2 olan ise bunun tam tersidir. Z puanı +1 olan öğrenci grubun yaklaşık %84’den başarılı, % 16’dan daha az başarılıdır. (s 207, H. Atılgan) • • • T Puanının Yorumlanması: Z puanında olduğu gibi, T puanı daha yüksek olan öğrenci T puanı daha düşük olandan başarılıdır. Ya da bir öğrencinin farklı derslerdeki başarısı karşılaştırılacak olursa T puanı yüksek olan derste daha başarılıdır. T puanı dağılımı Z puanı dağılımı gibi simetrik bir dağılımdır. Bu nedenle ortalama olan 50’nin sağında ve solunda yer alanlar eşittir; her ikisi de %50’i gösterir. T puanı 30 olan bir öğrenci grubun yaklaşık %2’den başarılı, %98’den daha düşük başarıya sahiptir. T puanı 70 olan öğrenci ise grubun yaklaşık %98’den başarılı, %2’den daha düşük başarıya sahiptir(s. 211, H. Atılgan)

• Z Puanının kullanıldığı yerler: • a) Bir öğrencinin grup içindeki başarısı (kitap s. 100) • Z=0 ise (%50 /%50) Z=1(%84 / %16) ise Z=2 ise (%98 / %2) Z=3 ise ( %99. 5 / %0. 5) • b) Başarı bakımından karşılaştırma (s. 101) • Z puanı standart puan olduğundan bütün derslerden aldığı puanlar Z puanı cinsinden hesaplanarak birimleri eşitlenir (tümünün ortalaması 0 ve Ss 1 olacak şekilde). • Z puanı daha büyük olan derste de başarı daha yüksek olur.

• T Puanının kullanıldığı yerler: • a) Bir öğrencinin grup içindeki başarısı (kitap s. 102) • T=50 ise (%50 /%50) T=60 ise(%84 / %16) • T=70 ise(%98 / %2) T=80 ise ( %99. 5 / %0. 5) • b) Başarı bakımından karşılaştırma: • Aynı Z puanında olduğu gibi T puanı daha yüksek olan daha başarılı olur.