Sterowanie procesami cigymi 20152016 Modele dyskretne systemw cigych

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Sterowanie procesami ciągłymi - studia stacjonarne Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 10 - 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych – część I © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Ogólna struktura komputerowego systemu sterowania Impulsator, układ próbkujący (sampler) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Komputerowy system sterowania - próbkowanie sygnału ciągłego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Komputerowy system sterowania - próbkowanie sygnału ciągłego Uchyb sterowania, będący sygnałem ciągłym jest próbkowany (sampled) w chwilach - okres próbkowania (sampling interval) Otrzymujemy sekwencję sygnału dyskretnego uchybu sterowania Zwykle dla uproszczenia zapisu: gdzie k staje się zmienną czasu dyskretnego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Komputerowy system sterowania – interpolacja zerowego rzędu sygnału dyskretnego u(k) u(t 0 +T ) u(t) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Komputerowy system sterowania – interpolacja zerowego rzędu sygnału dyskretnego Spróbkowany sygnał uchybu sterowania (bądź inny) przetwarzany jest w sterowniku komputerowym, zgodnie z prawem sterowania w sekwencję sygnału dyskretnego sterowania Sekwencja związana z określanymi chwilami czasu powinna być podstawą do utworzenia ciągłego sygnału sterującego, który możnaby skierować do obiektu sterowanego Przykład sygnału sterującego czyli © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Komputerowy system sterowania – interpolacja zerowego rzędu sygnału dyskretnego Sekwencja sygnału dyskretnego jest przetwarzana w sygnał ciągły za pomocą interpolacji, która wyznacza wartości sygnału sterującego pomiędzy chwilami próbkowania oraz Interpolator zerowego rzędu dla Sygnał z interpolatora zerowego rzędu – sygnał stały © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Komputerowy system sterowania – interpolacja zerowego rzędu sygnału dyskretnego Odpowiedź elementu inercyjnego rzędu pierwszego na wymusznie przedziałami stałe © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu Zadanie Rozważamy system SISO o dynamice ciągłej pierwszego rzędu np. element inercyjny Poszukujemy modelu dyskretnego tego systemu takiego, że © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu Rozwiązanie równania stanu systemu ciągłego (bez utraty ogólności wyniku przyjmiemy t 0 = 0) Rozwiązanie: Składowa swobodna (odpowiedź zerowego wejścia) © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Składowa wymuszona (odpowiedź zerowego warunku początkowego) Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Klasyczne podejście do rozwiązania: 1. Pomnożymy obydwie strony równania stanu przez lub Zauważamy: Zatem: 2. Scałkujemy obustronnie ostatnie równanie © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych 3. I trochę przekształcimy: Ostatecznie wartości odpowiedzi stanu systemu ciągłego w chwilach t: Składowa swobodna © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Składowa wymuszona Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych 4. Wartości odpowiedzi wyjścia systemu ciągłego w chwilach t: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu 1. Dla dwóch kolejnych chwil próbkowania odpowiedź stanu Skorzystamy z postaci: 2. Odpowiedź dla chwili © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. pomnożymy przez Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu 3. Odejmujemy ostatni wynik od wyrażenia na © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. : Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu 4. Przyjmujemy, że u(t) jest stałe pomiędzy chwilami próbkowania 5. Zmieniamy zmienną całkowania Stałe (wartość, dla danego systemu, różna dla różnych Ts) Definiujemy współczynniki © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu Możemy napisać równanie stanu modelu dyskretnego lub w postaci uproszczonej Równanie wyjścia, jako równanie algebraiczne „nie zmienia się” ; zatem równanie wyjścia przy czym © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu Otrzymany model dyskretny jest modelem równoważnym modelowi ciągłemu dla wejść przedziałami stałych Ponieważ sygnał ciągły i gładki można dowolnie dokładnie aproksymować sygnałem przedziałami stałym, to model dyskretny (wyżej otrzymany dla modelu w przestrzeni stanu) może być dowolnie bliski modelowi ciągłemu dla okresu próbkowania wystarczająco małego Przedstawiona metoda nosi nazwę metody niezmienniczości skokowej © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu Przypadek ogólniejszy: system SISO o dynamice ciągłej rzędu wyższego niż jeden Poszukujemy modelu dyskretnego tego systemu takiego, że © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu Wynik bez wyprowadzania © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu Przybliżone wyznaczanie b. D (dla małych wartości Ts ) Jeżeli istnieje A-1 wówczas : Problem: Jak obliczyć Z definicji: Zatem: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Komputerowy system sterowania – model dyskretny równoważny modelowi ciągłemu Ostatnie wyrażenie jest podstawą do przybliżonego obliczania b. D Przybliżenie pierwszego rzędu: Przybliżenie drugiego rzędu: © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Systemy próbowane – sampled-data systems Zakładając wystarczająco mały czas próbkowania Ts będziemy poszukiwali aproksymacji w czasie dyskretnym ciągłej w czasie relacji wejście – wyjście systemy próbkowanego Będzie to zależność pomiędzy wartościami próbek: Relacja ta będzie dokładna tzn. równa wartościom sygnałów ciągłych w chwilach próbkowania, dla sygnałów r(t) stałych pomiędzy chwilami próbkowania i dla dowolnego okresu próbkowania © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Systemy próbowane – sampled-data systems Przykład 1. Dynamika obiektu czasu ciągłego dana jest transmitancją: Zakładając wystarczająco mały okres próbkowania Ts znaleźć aproksymację dyskretną tego opisu Zastosujemy metodę niezmienniczości skokowej, wykorzystując wcześniej metodę określenia zmiennych stanu z poprzedniego wykładu Model we-wy w dziedzinie s Model w przestrzeni stanu Model we-wy w dziedzinie t © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Systemy próbowane – sampled-data systems Przykład 1. Wynik ostateczny: Jeżeli aproksymacja dyskretna jest dokładna © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Systemy próbowane – sampled-data systems Przykład 1. Zależność wyniku aproksymacji od okresu próbkowania Dla dwóch okresów próbkowania oraz Dwa różne równania stanu, ale w chwilach próbkowania odpowiedzi będą dokładne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Systemy próbowane – sampled-data systems Przykład 1. Jaka byłaby dokładność obliczeń b. D za pomocą wzorów przybliżonych? Przybliżenie 1. rzędu jest dokładne Potrzebne jest przybliżenie wyższego rzędu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Systemy próbowane – sampled-data systems Przykład 2. Dynamika obiektu czasu ciągłego dana jest transmitancją: Zakładając wystarczająco mały okres próbkowania Ts znaleźć aproksymację dyskretną tego opisu Zastosujemy metodę niezmienniczości skokowej, wykorzystując wcześniej metodę określenia zmiennych stanu z poprzedniego wykładu Model w przestrzeni stanu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Macierze stanu, wejścia i wyjścia Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Systemy próbowane – sampled-data systems Przykład 2. Macierz tranzycji stanu Macierz stanu modelu dyskretnego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Systemy próbowane – sampled-data systems Przykład 2. Macierz wejścia modelu dyskretnego © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Systemy próbowane – sampled-data systems Przykład 2. Modele dyskretne dla dwóch okresów próbkowania oraz © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Sterowanie procesami ciągłymi 2015/2016 Modele dyskretne systemów ciągłych Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32