Ekonometryczne modele nieliniowe Wykad 10 Modele przecznikowe Markowa

Ekonometryczne modele nieliniowe Wykład 10 Modele przełącznikowe Markowa

Literatura • P. H. Franses, D. van Dijk (2000) Non-linear time series models in empirical finance, Cambridge University Press. • R. Breuning, S. Najarian, A. Pagan (2003) Specification Testing of Markov Switching Models, Oxford Bulletin of Economics and Statistics 65. – także: Breuning, Pagan (2001) Some Simple Methods for Assessing Markov Switching Models 2

Literatura • Diebold, F. X. , Lee, J. H. , Weinbach, G. (1994) Regime switching with time-varying transition probabilities. In: Hargreaves, C. P. (Ed. ), Non. Stationary Time Series Analysis and Cointegration. Cambridge University Press. • M. Haas, S. Mittnik, M. Paolella (2004) A New Approach to Markov-Switching GARCH Models, Journal of Financial Econometrics 3

Testowanie modeli przełącznikowych • Test ilorazu wiarygodności • H 0: model liniowy prawdziwy H 1: model przełącznikowy prawdziwy • do testowania modeli zagnieżdżonych, także do testów restrykcji na parametry 4

Testowanie modeli przełącznikowych • Problem: – Parametry macierzy przejścia (ang. transition matrix) nieidentyfikowalne gdy H 0 prawdziwa – Statystyka LR nie ma standardowego rozkładu „chi-kwadrat” • Rozwiązanie: empiryczny rozkład LR jako przybliżenie prawdziwego rozkładu 5

Testowanie modeli przełącznikowych • Empiryczny rozkład LR: – wygenerować sztuczne obserwacje zmiennej objaśnianej zgodne z modelem H 0 – oszacować modele H 0 i H 1 na nowych danych i policzyć statystykę LR • (możliwe błędy oszacowań!) – powtarzać poprzednie kroki wiele razy by otrzymać rozkład empiryczny LR 6

Przykład • Metoda bootstrap: Di Sanzo (2009) – wykorzystaj wystandaryzowane reszty z modelu H 0 do generowania wartości zmiennej objaśnianej (bootstrap) 7

Testowanie modeli przełącznikowych • B. Hansen 1992: „wystandaryzowana” statystyka sup-LR i podany rozkład asymptotyczny dla niej – test „liberalny” - łatwo odrzuca hipotezą zerową – wymaga wyliczeń funkcji wiarygodności dla różnych wartości parametrów modelu H 1 8

Test Hansena • Przykładowy model: • Hipotezy: 9

Test Hansena c. d. • Funkcja wiarygodności: • Dla ustalonego „alfa”: • Statystyka testowa … z artykułu Di Sanzo (2009) 10

Garcia (1998) • Oznaczenia: • Statystyka testowa: 11

Garcia (1998) • Grid search dla parametrów z macierzy przejścia, reszta parametrów szacowana • Ogólny wynik: – można stosować teorię dla statystyk sup. LM, sup. LR, sup. Wald – łatwo wyznaczyć wartości krytyczne dla podstawowych modeli przełącznikowych Markowa 12

Testowanie modeli przełącznikowych • J. S. Cho, H. White (2007) Testing for regime switching, Econometrica, Vol. 75, 1671– 1720. – Statystyka Quasi-LR do testowania modeli mieszaniny rozkładów i przełącznikowych Markowa • M. Carrasco (2002) – test modelu progowego może służyć do wykrywania modeli przełącznikowych • M. Carrasco, L. Hu, W. Ploberger (2009) Optimal test for Markov Switching Parameters 13

Testowanie specyfikacji • Breuning, Najarian, Pagan (2003): – Czy specyfikacja modelu MS jest odpowiednia? – Czy model został dobrze oszacowany? – Czy drugi reżim to nie „outliers”? • Porównanie: – średnich i wariancji, innych parametrów, – funkcji gęstości zmiennej objaśnianej, obliczonych na danych rzeczywistych i na 14 danych symulowanych

Testowanie specyfikacji • Porównanie parametrów • Wariancje oszacowań - drugi element trudno policzyć (pierwszy UMM) • Statystyka „konserwatywna”: • H 0: specyfikacja modelu prawidłowa 15

Rozszerzenie modeli przełącznikowych • Modele ze zmiennymi parametrami macierzy przejścia (TVTP-MSR): – Model regresji – Macierz przejścia – Model objaśniający prawdopodobieństwa przejścia: 16

Estymacja TVTP-MSR • Możliwe zastosowanie metody EM – dla ustalonych parametrów b i d obliczamy prawdopodobieństwo przebywania w stanie 1, 2 itd. . – szukamy (metodą gradientową) nowych wartości parametrów b i d oraz wyliczamy log. L (wg EM optymalizujemy log. L, w praktyce tylko przesuwamy się w kierunku gradientu) – powtarzamy poprzednie kroki do momentu znalezienia maksimum (lokalnego) 17

Modele MS-GARCH • Ogólny zapis modelu MS-GARCH(1, 1) • Problem: wariancja warunkowa zależy od całej historii reżimów 18

Modele MS-GARCH • Rozwiązanie 1 (Gray, 1996): – Oblicz: – …można też podstawić (Klaassen, 2002) zamiast – Podstaw do nowego równania wariancji: • Wada: trudno wyprowadzić własności wariancji warunkowej, np. stacjonarność 19

Modele MS-GARCH • Rozwiązanie 2, preferowane (Haas, Mittnik, Paloella, 2004): – Wariancje jak w MSR: – Definiujemy wektor wariancji: – Równanie modelu GARCH(1, 1): 20

Przykład - symulacja Źródło: Haas et al. . 21

Przykład 2 22

Przykład 2 c. d. • Obserwacje w dwóch reżimach 23

Model MSR-GARCH • Model MSR-GARCH(1, 1) • Estymacja: – Metoda gradientowa: BFGS – W każdym kroku obliczane prawdopodobieństwa reżimów + szeregi wariancji warunkowych – Dużo wartości startowych, możliwe restrykcje na parametry 24

Przykład MS-GARCH*********************** maxf -1. 4379995 beta -0. 010338848 0. 15412256 0. 020001535 0. 12030338 0. 021014366 -2. 6471906 e-006 bledy standardowe 0. 020567929 0. 020556687 0. 015143933 0. 021969824 0. 057673696 0. 036715437 staystyka t -0. 50266841 7. 4974415 1. 3207622 5. 4758464 0. 36436656 -7. 2100207 e-005 macierz przejscia P 0. 99201727 0. 028395842 0. 0079827324 0. 97160416 parametry rownania wariancji 0. 064871187 0. 11878685 0. 85204817 0. 20891460 1. 0895705 e-023 0. 0000 wariancja długookresowa 0. 92027467 0. 43774308 25