Teoria sterowania Wykad 3 Modele matematyczne opis matematyczny

Teoria sterowania Wykład 3 Modele matematyczne (opis matematyczny) liniowych jednowymiarowych (o jednym wejściu i jednym wyjściu) obiektów sterowania. y y y = k u y = f(u) yr 0 ur u u 1

u(t) Liniowy obiekt sterowania y(t) • Równanie wejścia – wyjścia (równanie różniczkowe liniowe) • Transmitancja operatorowa i widmowa • Równania stanu i równanie wyjścia 2

Równanie wejścia – wyjścia określa związek zachodzący między sygnałem wejściowym u(t) obiektu a jego sygnałem wyjściowym y(t) i wynika z prawa równowagi dynamicznej ( prawo Newtona, prawa Kirchchoffa itd. ) Transmitancję operatorową uzyskuje się z równania wejścia - wyjścia po jego przekształceniu wg. Laplace’a. Transmitancja widmowa opisuje obiekt gdy sygnał wejściowy i wyjściowy mają przebiegi sinusoidalne. Równania stanu uzyskuje się z równania wejścia – wyjścia po wprowadzeniu zmiennych stanu określających stan obiektu w każdej chwili. Zmienne stanu związane są z magazynami energii występującymi w obiekcie. Równanie wyjścia określa zależność sygnału wyjściowego y(t) od zmiennych stanu x 1(t), x 2(t), …. 3

Równanie wejścia – wyjścia obiektu (1) Transmitancja operatorowa obiektu Zakładając zerowe warunki początkowe i przekształcając równanie (1) wg. Laplace’a otrzymujemy (2) (3) (4) 4

Transmitancja widmowa obiektu regulacji 5

Obiekt liniowy 6

Równania stanu i równanie wyjścia Równania stanu Równanie wyjścia 7

Obiekty sterowania 1. Obiekty statyczne 2. Obiekty astatyczne Obiekty statyczne • Bezinercyjne • Inercyjne • Oscylacyjne 8

Obiekty statyczne Obiekt bezinercyjny Równanie wejścia – wyjścia: Transmitancja operatorowa: Transmitancja widmowa: 9

Przykład obiektu bezinercyjnego R 1 uwe(t) R 2 uwy(t) 10

Obiekty inercyjne Obiekt inercyjny pierwszego rzędu Równanie wejścia – wyjścia: T – stała czasowa, k - wzmocnienie Transmitancja operatorowa: Transmitancja widmowa: 11

Równanie stanu: Równanie wyjścia: 12

Przykład obiektu inercyjnego I-go rzędu i(t) R i(t) uwe(t) C uwy(t) 13

Obiekt inercyjny drugiego rzędu Równanie wejścia – wyjścia: Transmitancja operatorowa: 14

• Równania stanu: równania stanu • Równanie wyjścia: 15

Przykład obiektu inercyjnego II-go rzędu i(t) R 1 R 2 i 1 uwe(t) i 2 C 1 u 1 C 2 uwy(t) 16

Obiekt dwuinercyjny Przykład obiektu dwuinercyjnego i 1(t) uwe(t) R 1 i 2(t) R 2 i 1(t) C 1 Wzmacniacz separujący i 2(t) C 2 uwy(t) 17

Obiekt inercyjny z opóźnieniem Równanie wejścia – wyjścia: Transmitancja operatorowa: 18

Obiekt oscylacyjny II rzędu Równanie wejścia – wyjścia: n - pulsacja drgań nietłumionych, - współczynnik tłumienia. Transmitancja operatorowa: 19

Transmitancja widmowa: 20

Równania stanu: Zmienne stanu: równania stanu Równanie wyjścia: 21

Przykład obiektu oscylacyjnego II rzędu i(t) R L i(t) uwe(t) C uwy(t) 22

Obiekty astatyczne • Obiekty całkujące z inercją Obiekty całkujące Równanie wejścia – wyjścia: Transmitancja operatorowa: Transmitancja widmowa: 23

Przykład obiektu całkującego i(t) C u(t) 24

Obiekty całkujące z inercją Równanie wejścia – wyjścia: Transmitancja operatorowa: Transmitancja widmowa: 25

Silnik obcowzbudny prądu stałego jako przykład obiektu całkującego z inercją _ + i(t) + = const u(t) _ S m(t), (t) Równanie wejścia – wyjścia: 26