Ekonometryczne modele nieliniowe Modele mieszaniny rozkadw modele przecznikowe

Ekonometryczne modele nieliniowe Modele mieszaniny rozkładów, modele przełącznikowe Markowa

Literatura • James Hamilton (1994) Time Series Analysis, rozdział 22. • Handbook of Econometrics (1994) Statespace models, rozdział 50, str. 3063 -3072. 2

Mieszanina rozkładów • Mixture of distributions • Warunkowy rozkład zmiennej y • Problem: nieobserwowalny proces st 3

Przykład p 1=0. 5; m 1=4; v 1=1; m 2=-4; v 2=1; Polecenie MATLAB: histogram(y, 20) GAUSS: hist(y, 20) 4

p 1=0. 25; m 1=4; v 1=1; m 2=-4; v 2=1; p 1=0. 25; m 1=4; v 1=1; m 2=2; v 2=1; 5

Estymacja modelu • Parametry do oszacowania • Wyprowadzenie funkcji wiarygodności 6

Estymacja modelu • Wyprowadzenie funkcji wiarygodności (c. d. ) 7

Aktualny stan modelu • Szacowanie stanu s w momencie t na podstawie informacji o y 8

Estymacja modelu • Metoda gradientowa • Metoda EM (expectation-maximization) 9

Metoda EM 1. Szacowanie 2. Szacowanie parametrów modelu 10

Metoda EM 3. Powtarzanie kroków 1 i 2 aż do konwergencji 11

Model przełącznikowy Markowa • Markov switching mixture of distributions – proces generujący st to łańcuch Markowa • Własność łańcucha Markowa – wartość zmiennej s w t zależy jedynie od jej wartości w t-1 12

Przykład • Wykres zmiennej s w czasie 13

Model przełącznikowy Markowa • Macierz przejścia (transition matrix) dla dwureżimowego łańcucha Markowa: gdzie 14

Model przełącznikowy Markowa • Warunkowy rozkład zmiennej y • Zdefiniujmy zmienną stanu: 15

Przykład p 11=0. 95; p 22=0. 95; m 1=10; v 1=1; m 2=-10; v 2=4; 16

Model przełącznikowy Markowa • Przykład: 2 stany/reżimy • Budujemy wektor rozkładów warunkowych: 17

Aktualny stan modelu • Prognoza wartości s • Uaktualnienie prognozy wartości s 18

Aktualny stan modelu • „wygładzone” wartości s na podstawie informacji z całej próby dla t=T : 19

Przykład • „wygładzone” wartości s 20

Estymacja modelu • Wyprowadzenie funkcji wiarygodności 21

Estymacja modelu • Parametry do oszacowania • Metoda gradientowa • Metoda EM (expectation-maximization) 22

Metoda EM 1. Szacowanie – elementów wektora 23

Przykład • Oszacowane wartości s 24

Metoda EM 2. Szacowanie parametrów: 25

Metoda EM 3. Powtarzanie kroków 1 i 2 aż do konwergencji 26

Modele regresji przełącznikowej • Model regresji • Proces generujący s : – mieszanina rozkładów – łańcuch Markowa 27

Estymacja modelu • Wyprowadzenie funkcji wiarygodności 28

Estymacja – metoda EM 1. Szacowanie – elementów wektora 29

Estymacja – metoda EM • W 2. kroku – estymacja parametrów: 30