Sistemi di Supporto alle Decisioni I Lezione 4

Sistemi di Supporto alle Decisioni I Lezione 4 Chiara Mocenni Corso di laurea L 1 in Ingegneria Gestionale e L 2 in Ingegneria Informatica III ciclo

Problemi decisionali sequenziali • Una lotteria modella una situazione di rischio relativa a un singolo evento • In realtà il problema può riguardare una successione di decisioni • Alberi di decisione

Esempio: organizzazione di un concerto • Avi deve organizzare un concerto estivo, e deve decidere se organizzarlo: – A all’Aperto, in un parco – C al Chiuso, in un teatro – P sotto il Portico di una villa

Il concerto • La riuscita e l’incasso dipenderanno dal luogo ma anche dal tempo che farà, che potrà essere: – S Sereno – R Pioggia

I possibili risultati Risultato Profitto atteso aperto, sereno portico, sereno chiuso, pioggia chiuso, sereno portico, pioggia aperto, pioggia € 10, 000 € 9, 000 € 5, 000 € 4, 000 € 2, 000 € 0

Assessment dell’utilità • Col procedimento visto prima si può stabilire l’utilità (per Avi) dei vari risultati u(10, 000) = 1 u(9, 000) = 0. 95 u(5, 000) = 0. 67 u(4, 000) = 0. 57 u(2, 000) = 0. 32 u(0) =0

1 0. 95 0. 67 0. 57 0. 32 2 4 5 9 10

Bollettino meteorologico • Il bollettino meteorologico dà: – 40% probabilità di sereno – 60% probabilità di pioggia • Il tempo di domani può vedersi come una lotteria i cui premi dipendono dalla decisione presa

sereno (0. 4) aperto chiuso portico pioggia (0. 6) sereno (0. 4) 1 0 0. 57 pioggia (0. 6) 0. 67 sereno (0. 4) 0. 95 pioggia (0. 6) 0. 32

Utilità attesa dei tre casi U[aperto] = 0. 4 * 1 + 0. 6 * 0 = 0. 4 U[chiuso] = 0. 4 * 0. 57+ 0. 6 * 0. 67= 0. 63 U[portico] = 0. 4 * 0. 95+ 0. 6 * 0. 32= 0. 57

sereno (0. 4) aperto 0. 4 chiuso 0. 63 0. 57 portico pioggia (0. 6) sereno (0. 4) 1 0 0. 57 pioggia (0. 6) 0. 67 sereno (0. 4) 0. 95 pioggia (0. 6) 0. 32

1 0. 95 0. 63 0. 67 0. 57 0. 32 4. 6 2 4 5 9 10 (K€)

Utilità attesa • L’utilità attesa della decisione è pari alla massima utilità attesa delle lotterie tra le quali avviene la scelta • In questo caso, l’utilità attesa è 0. 63 e l’equivalente certo della decisione è 4, 600 € (ossia il decisore è indifferente tra partecipare alla lotteria, cioè organizzare il concerto al chiuso, e ricevere 4600 euro “sicuri”. )

Decisioni e informazioni • Fin qui l’unica informazione è la probabilità di tempo sereno (0. 4), e in base a questo Avi prende la decisione • Come cambia la situazione se è possibile accedere ad altre fonti di informazione?

Informazione perfetta • Supponiamo esista un oracolo che, in modo infallibile, è in grado di prevedere il tempo • L’oracolo chiede un compenso in denaro • Qual è la massima cifra che ha senso pagare per avere l’informazione?

Informazione perfetta (II) • Supponiamo che l’oracolo chieda 1, 500 euro • Qual è la nuova utilità attesa?

sereno (1) aperto L’oracolo prevede “sereno” (0. 4) 0. 92 chiuso 0. 39 0. 86 portico pioggia (0) sereno (1) pioggia (0) 0. 92 -0. 39 0. 51 0. 86 0. 08 0. 67 0. 51 L’oracolo prevede “pioggia” (0. 6) sereno (0) aperto -0. 3 chiuso 0. 51 0. 08 portico pioggia (1) sereno (0) pioggia (1) 0. 92 -0. 39 0. 51 0. 86 0. 08

Informazione perfetta (II) • La nuova utilità attesa è 0. 67, corrispondente a un equivalente certo di € 5, 000 • Poiché 5, 000 > 4, 600, la nuova situazione è più conveniente • Per Avi, è conveniente spendere € 1, 500 per l’informazione

Decisioni sequenziali • Se l’informazione avesse avuto un prezzo superiore, poteva non essere più conveniente consultare l’oracolo • Il problema diviene sequenziale: • Consultare o no l’oracolo? • Dove tenere il concerto?

Il valore dell’informazione • La massima cifra che ha senso pagare per avere l’informazione rappresenta il valore dell’informazione (perfetta) per un determinato decisore • Come si determina il valore dell’informazione?

Il valore dell’informazione (II) Per una classe abbastanza ampia di decisori, il valore dell’informazione può calcolarsi come differenza tra: equivalente certo della decisione con informazione gratuita e equivalente certo della decisione in assenza di informazione

Informazione gratuita sereno (1) aperto 1 L’oracolo prevede “sereno” (0. 4) 1 chiuso 0. 67 0. 95 portico pioggia (0) sereno (1) pioggia (0) 1 0 0. 57 0. 67 0. 95 0. 32 0. 802 0. 67 L’oracolo prevede “pioggia” (0. 6) sereno (0) aperto 0 chiuso 0. 67 0. 32 portico pioggia (1) sereno (0) pioggia (1) 1 0 0. 57 0. 67 sereno (0) 0. 95 pioggia (1) 0. 32

1 0. 95 0. 802 0. 67 0. 57 0. 32 2 4 5 6. 6 9 10 (K€)

Informazione gratuita sereno (1) aperto 1 L’oracolo prevede “sereno” (0. 4) 1 chiuso 0. 67 0. 95 portico pioggia (0) sereno (1) pioggia (0) 1 0 0. 57 0. 67 0. 95 0. 32 0. 802 0. 67 L’oracolo prevede “pioggia” (0. 6) € 6, 600 sereno (0) aperto 0 chiuso 0. 67 0. 32 portico pioggia (1) sereno (0) pioggia (1) 1 0 0. 57 0. 67 sereno (0) 0. 95 pioggia (1) 0. 32

Il valore dell’informazione Quindi il valore dell’informazione è: equivalente certo della decisione con informazione gratuita: € 6, 600 equivalente certo della decisione in assenza di informazione: € 4, 600 = € 2, 000

Un decisore alternativo: Inat • Supponiamo che per Inat: u(10, 000) = 1 u(9, 000) = 0. 9 u(5, 000) = 0. 5 u(4, 000) = 0. 4 u(2, 000) = 0. 2 u(0) =0

1 0. 9 0. 5 0. 4 0. 2 2 4 5 9 10

Assenza di informazione sereno (0. 4) 0. 48 aperto 0. 4 chiuso 0. 46 0. 48 portico € 4, 800 pioggia (0. 6) sereno (0. 4) 1 0 0. 4 pioggia (0. 6) 0. 5 sereno (0. 4) 0. 9 pioggia (0. 6) 0. 2

Informazione gratuita L’oracolo prevede “sereno” (0. 4) 1 aperto 1 chiuso 0. 4 0. 9 portico sereno (1) pioggia (0) 1 0 0. 4 0. 5 0. 9 0. 2 0. 7 0. 5 sereno (0) aperto 0 L’oracolo prevede “pioggia” (0. 6) chiuso 0. 2 0. 5 portico € 7, 000 pioggia (1) sereno (0) pioggia (1) 1 0 0. 4 0. 5 0. 9 0. 2

Il valore dell’informazione Quindi il valore dell’informazione per Inat è: equivalente certo della decisione con informazione gratuita: € 7, 000 equivalente certo della decisione in assenza di informazione: € 4, 800 = € 2, 200

Il valore dell’informazione • Dunque per Avi (avverso al rischio) il valore dell’informazione è inferiore al valore che ha per Inat (indifferente al rischio) • Non sempre è così. . .

sereno (p) aperto chiuso portico Inat Avi 1 1 0 0 0. 4 0. 57 pioggia (1 -p) 0. 5 0. 67 sereno (p) 0. 95 pioggia (1 -p) 0. 2 0. 32 pioggia (1 -p) sereno (p)

Confronto tra decisori (p=0. 4) • Quando p=0. 4, Avi (avverso al rischio) deciderebbe di svolgere il concerto al chiuso, Inat (indifferente al rischio) sotto il portico • Il valore dell’informazione perfetta è: VAVI = € 2, 000 VINAT= € 2, 200

Confronto tra decisori (p=0. 5) • Consideriamo ora lo stesso problema, ma con una maggiore probabilità di tempo sereno, p=0. 5

Assenza di informazione 0. 5 / 0. 5 aperto sereno (0. 5) 1 1 0 0 0. 4 0. 57 0. 5 0. 67 sereno (0. 5) 0. 95 pioggia (0. 5) 0. 2 0. 32 pioggia (0. 5) 0. 45 / 0. 62 sereno (0. 5) chiuso pioggia (0. 5) portico 0. 55 / 0. 64 Inat Avi

Confronto tra decisori (p=0. 5) • Stavolta ambedue i decisori sceglierebbero il portico • L’equivalente certo in assenza di informazione è: x. AVI = € 4, 700 x. INAT= € 5, 500

Informazione gratuita: Avi sereno (1) aperto 1 L’oracolo prevede “sereno” (0. 5) 1 chiuso pioggia (0) sereno (1) 1 0 pioggia (0) sereno (1) portico pioggia (0) 0. 84 0. 67 L’oracolo prevede “pioggia” (0. 5) sereno (0) aperto chiuso 0. 67 portico € 7, 100 pioggia (1) sereno (0) pioggia (1) 0. 57 0. 67

Informazione gratuita: Inat sereno (1) aperto 1 L’oracolo prevede “sereno” (0. 5) 1 chiuso pioggia (0) sereno (1) 1 0 pioggia (0) sereno (1) portico pioggia (0) 0. 75 0. 5 L’oracolo prevede “pioggia” (0. 5) sereno (0) aperto chiuso 0. 5 portico € 7, 500 pioggia (1) sereno (0) pioggia (1) 0. 4 0. 5

Il valore dell’informazione: Avi Equivalente certo della decisione con informazione gratuita: € 7, 100 Equivalente certo della decisione in assenza di informazione: € 4, 700 = € 2, 400

Il valore dell’informazione: Inat Equivalente certo della decisione con informazione gratuita: € 7, 500 Equivalente certo della decisione in assenza di informazione: € 5, 500 = € 2, 000

Confronto tra decisori (p=0. 5) • Il valore dell’informazione perfetta è: VAVI = € 2, 400 VINAT= € 2, 000 • Poiché i due decisori fanno la stessa scelta, Avi è disposto a pagare di più l’informazione rispetto a Inat

Inat deve acquistare titoli. . . • X assicurano un guadagno di € 250 • Y con probabilità 0. 3, un guadagno di € 275, con probabilità 0. 7 un guadagno di € 107; in quest’ultimo caso può scambiarli con Z • Z con probabilità 0. 5 il guadagno può essere € 375 o € 100

Assenza di informazione 0. 3 € 248. 75 Acquistare Y € 250 0. 7 237. 5 Y guadagna Tenere Y Y perde 237. 5 Scambiare € 107 0. 5 Z guadagna 0. 5 Z crolla Acquistare X € 275 € 375 € 100 € 250

Informazione gratuita sui titoli Z prima della dec. su X 0. 3 Acquistare Y € 345 0. 7 € 107 375 0. 5 Z guadagna € 345 Scambiare Acquistare X Acquistare Y 0. 7 € 157. 4 0. 5 € 250 107 Acquistare X € 375 € 250 0. 3 € 297. 5 Z crolla € 275 Tenere Y € 107 € 100 € 250

Il valore dell’informazione su Z • L’utilità attesa della lotteria nel nodo radice è di € 297. 50 • In assenza di informazione, l’utilità attesa è di € 250 • Il valore dell’informazione su Z prima di decidere su X è di: € 297. 50 - € 250 = € 47. 50

Informazione gratuita sui titoli Z dopo aver deciso su X Y guadagna 0. 3 € 275 L’oracolo prevede che Z guadagnerà € 251. 2 Acquistare Y € 251. 2 € 241 € 375 0. 7 Y perde 0. 5 Scambiare 0. 5 € 107 L’oracolo prevede che Z perderà Acquistare X Tenere Y € 375 € 107 € 100 € 107 € 250

Il valore dell’informazione su Z • L’utilità attesa della lotteria nel nodo radice è di € 251. 20 • In assenza di informazione, l’utilità attesa è di € 250 • Il valore dell’informazione su Z dopo avere già deciso su X è di: € 251. 20 - € 250 = € 1. 20

Informazione gratuita sui titoli Y prima della dec. su X Acquistare Y Acquistare X € 275 L’oracolo prevede che Y guadagnerà € 257. 5 0. 3 € 237. 5 € 250 0. 7 € 237. 5 L’oracolo prevede che Y perderà 0. 5 Tenere Y Acquistare X € 275 € 250 € 375 € 100 € 107 € 250

Il valore dell’informazione su Y • L’utilità attesa della lotteria nel nodo radice è di € 257. 50 • In assenza di informazione, l’utilità attesa è di € 250 • Il valore dell’informazione su Y prima di decidere su X è di: € 257. 50 - € 250 = € 7. 50