Kombinatorische Aspekte auf dem 9 NagelGeobrett Warum Beschrnkung

Kombinatorische Aspekte auf dem 9 -Nagel-Geobrett Warum Beschränkung auf 3 x 3? Wie viele. . . ? Dreiecke? Vierecke? Längen? Es gibt 8 Klassen kongruenter Dreiecke Richtungen? 16 Klassen kongruenter Vierecke Winkel? Wie viele „Flächeninhalte“ s. Beiträge 1977 14. 02. 2006 5 Klassen gleich langer Strecken 10 (bzw. 13) Klassen gleich großer Winkel Horst Steibl, TU-Braunschweig 1

Die 8 Dreiecke gleichschenklig Bruchteile ½ , ¼ , 1/8 , 3/8 rechtwinklig stumpfwinklig Flächeninhalt Umfang 14. 02. 2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig Wie viele. . . . . 2

Die Längen auf dem Geobrett Länge: Klasse gleich langer Strecken 5 cm 12 14. 02. 2006 10 cm Ö(25+25) 7 6 8 Horst Steibl, TU-Braunschweig Ö 200 14 2 Ö 125 11 8 36 Strecken 3

Codierung der Dreiecke durch Angabe der Seitenlängen (10, 14) (10, 11) (5, 11, 14) (7, 11) (5, 10, 11) (7, 7, 10) (5, 7, 11) (5, 5, 7) Flächeninhalt? ? ? 14. 02. 2006 ½ ¼ Horst Steibl, TU-Braunschweig 1/ 8 3/ 8 4

Die 10 Klassen gleich großer Dreieckswinkel Tim und Tom die Winkel-Wichtel Die Winkel als Linearkombination der beiden kleinsten Winkel 14. 02. 2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 5

Die 16 Vierecke Und das 16. ? 14. 02. 2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 6

Rauten aus den 11 -er-Linien 1/ 5 14. 02. 2006 1/ 4 Horst Steibl, TU-Braunschweig 1/ 3 7

Wie viele. . . ? Anzahlprobleme Finde alle. . . ! Wie finden wir alle diese Möglichkeiten? Müssen wir uns mit dem „trial and error“Verfahren begnügen? „blindes“ Suchen Können wir sicher sein, dass es nicht mehr als 16 Vierecke gibt? Gibt es einen mathematischeren Zugang zu diesen Anzahlproblemen? die „denkende“ Hand Anleitung zu systematischen Suchen Festhalten einer Strecke, alle Möglichkeiten, 14. 02. 2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig nächste Strecke 8

Das Urnenmodell Wir ordnen dem Tastentelefon entsprechend den 9 Nägeln die Ziffern 1 bis 9 zu Wir beschriften 9 Spielsteine mit den Ziffern 1 bis 9. Legen sie in einen Beutel und ziehen nacheinander 3 Steine (oder 2, oder 4, 5) Ziehen wir etwa die 6, die 1 und die 8 So ist damit dieses (7, 11)-Dreieck bestimmt Jedes derartige Tripel bestimmt also ein Dreieck Natürlich nicht jedes 14. 02. 2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 9

Gewinnspiel Dreiecke , zwei Spieler 2 Geobretter, Beutel mit 9 beschrifteten Steinen, jeder Spieler 5 Würfelchen (Einsatz) 729 783 Benennen der Bruchteile! Dokumentiere die Spieldauer!!!!! Horst Steibl, 14. 02. 2006 TU-Braunschweig Spielregel : Einsatz: ein Würfelchen. Jeder Spieler zieht (nacheinander) 3 Spielsteine und spannt sein Dreieck. Gewonnen hat der, dessen Dreieck den größeren Flächeninhalt hat. Bei gleichem Inhalt gewinnt der kleinere Umfang. Die 10 -Strecke ist eine Niete, die 14 -Strecke ein Hauptgewinn. 10

Gewinnspiel „vier Nägel“ Spielregel: größter Flächeninhalt, kleinster Umfang Variante: Gewonnen hat der, dessen Viereck im Haus der Vierecke weiter unten steht. Bei gleicher Höhe neues Spiel 2468 1279 Wer nennt die meisten Diagonaleigenschaften? Die meisten Symmetrieeigenschaften? Wer kennt die meisten Bezeichnungen? 14. 02. 2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 1479 11

Analyse des Urnenmodells Umgangserfahrung mit der Urne Aufbau einer Fragehaltung zur Wahrscheinlichkeit Erwartungswert Wie viele Möglichkeiten gibt es, 9 über 3 Binom: unter den 9 Steinen 3 auszuwählen Binomialkoeffizient (a + b)³ = 1 a³ + 3 a²b + 3 ab² + 1 b³ ( ) 9 3 (a + b) 9 = 1 a 9 + 9 a 8 b + 36 a 7 b² + 84 a 6 b³ + 126 a 5 b 4. . 14. 02. 2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 12

mögliche Strecken 5 cm 12 10 cm Ö(25+25) 7 6 8 Ö 200 14 2 Ö 125 11 8 12 + 6 + 8 + 2 + 8 = 36 Wir haben wirklich alle möglichen Strecken 14. 02. 2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 13

( ) Dreiecke ? 9 3 Für den ersten Stein habe ich 9 Möglichkeiten Für den 2. Stein habe ich noch 8 Möglichkeiten Und für den 3. Noch 7 Also gibt es 9 * 8 * 7 = verschiedene Zahlentripel, die jeweils 3 Nägel beschreiben. Das Dreieck 3 7 8 kann aber durch verschiedene Tripel beschrieben werden 14. 02. 2006 378 387 738 783 837 873 3 * 2 * 1 = 6 Tripel beschreiben die gleiche Figur ( )= 9 3 mögliche Figuren aus 3 Nägeln Horst Steibl, TU-Braunschweig 14

Anzahl der Klassen kongruenter Dreiecke ( ) 9 3 123 beschreibt eine 10 -er-Strecke: es gibt 6 solche 10 -er-Strecken 159 beschreibt eine 14 -er-Strecke: es gibt 2 solche 14 -er-Strecken Das (10, 14)-Dreieck hat 4 Lagemöglichkeiten 84 Figuren aus 3 Nägeln? 6+2=8 Strecken 4 8 4 16 4+4+16+8+8+4+16+16 = 76 Dreiecke 14. 02. 2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 8 16 76 + 8 = 84 Figuren! 15

Figuren aus 4 Nägeln? Es gibt zwar keine kollineare Anordnung, aber 3 Nägel können kollinear liegen. 4 + 8 + 16 + 8 = 40 Fälle Schon falsch: das erste Dreieck hat drei Seiten mit je 3 Nägel, d. h. nicht 4 sondern 12 Fälle; also insgesamt 48 Fälle. 14. 02. 2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 16

1+1+4+4 4+8+4+4 8 + 16 + 8 8+4+8+4 94 Fälle 48 + 94 = 142 Fälle? !? 16 Fälle zu viel 14. 02. 2006 2579 Horst Steibl, TU-Braunschweig + 48 Dreiecke 2459 weiter 17

Nicht-konvexe Vierecke sind durch Quadrupel nicht eindeutig zu bestimmen Das Quadrupel 2579 bestimmt diese drei Figuren Das Quadrupel 2459 bestimmt diese drei Figuren 14. 02. 2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 18

Zwei Fehlermöglichkeiten Nicht jede Figur wird eindeutig durch nur ein Quadrupel beschrieben: 3679 3579 Nicht jedes Quadrupel beschreibt eindeutig ein Figur 1568 14. 02. 2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 19

Spiel mit vier Nägeln (Flächeninhalt) Zwei Spieler, jeweils 10 Spielsteine als Einsatz. Gesetzt werden jeweils 2 Steine. Der erste Spieler zieht seine vier Ziffern. Der´zweite kann nun entscheiden, ob er noch ziehen will oder ob er zurückzieht. Spielt er, so hat der mit dem größeren Flächeninhalt (evtl. kleinerem Umfang) gewonnen und bekommt vier Spielsteine. Zieht er zurück, so bekommt er einen Stein zurück der andere bekommt 3 Steine. Wann sollte man zurückziehen? Spielverlauf dokumentieren! 14. 02. 2006 Horst Steibl, TU-Braunschweig 20

Wahrscheinlichkeiten X/126 17/ 28/ 126 4 24/ 126 37/ 17+28+37+60= 142 1 4 4 4 8 12 4 60/ 4 8 17 + 24 + 37 + 48 = 126 14. 02. 2006 4 4 8 8 16 126 8 48/ 126 MU 1/1984 Exemplarische Entwicklung der kombinatorischen Grundformeln Horst Steibl, TU-Braunschweig 21