Porous Media Equivalents for Networks of Discontinuos Fractures

Porous Media Equivalents for Networks of Discontinuos Fractures Equivalentes ao Meio Poroso para Redes de Fratures Descontínuas J. C. S. LONG, J. S. REMER, C. R. WILSON, P. A. WITHERSPOON 1982, Water Resources Research, 18(3), 645 -658

1. INTRODUÇÃO

Questão? Uma das mais importantes questões levantadas quando se considera o escoamento através das fraturas é: A rede de fraturas comporta-se como meio poroso?

Pode-se modelar o sistema por um tensor de permeabilidade equivalente e proceder com a análise do movimento do fluido sob condições iniciais e de contorno conhecidas?

Snow [1965] • Fez estudos matemáticos de extensivos sistemas de fraturas. • Desenvolveu uma expressão matemática para o tensor de permeabilidade de uma fratura isolada de orientação e abertura arbitrárias em relação a um sistema de coordenadas. • Ele mostrou que o tensor de permeabilidade de uma rede de fraturas é formado por se adicionar os respectivos componentes do tensor de permeabilidade para cada fratura individual.

• No campo constata-se que as fraturas tem comprimento finito. • Assim, cada fratura pode contribuir para a permeabilidade da rocha a medida que ela intercepta outras fraturas.

• Uma fratura isolada, que não intercepta nenhuma outra fratura evidentemente não contribui para a permeabilidade da rocha. • Assim, o escoamento em dada fratura não é independente do escoamento em outras fraturas. • A permeabilidade da rocha então, não é a soma das permeabilidades de cada fratura.

2. PERMEBAILIDADE HOMOGÊNEA ANISOTRÓRICA

Considerações • A lei de Darcy foi originalmente postulada para escoamento unidimensional. • A permeabilidade foi apresentada como um simples escalar.

Escoamento 3 D | Anisotrópico • Ferrandon [1948], Collins [1961] propuseram: • Onde kij é simétrico e a matriz pode ser transformada em diagonal pela rotação do sistema de coordenadas.

• Em rochas anisotrópicas, o gradiente hidráulico (ch/cl) e o vetor velocidade não são paralelos. Eles o são em rochas isotrópicas! C. W. Fetter – Applied Hydrogeology, página 155

Escoamento 3 D | Anisotrópico • Assim K não é um escalar em rochas como em rochas isotrópicas. • Em vez disso, há um tensor de condutividade (Kij) • Os valores do tensor dependem das direções x, y, z, os quais transformam os componentes do gradiente hidráulico nos de velocidade.

Escoamento 3 D | Anisotrópico • Experimentos comprovam esta teoria. • Contudo, Collins [1961] destaca que não há garantia de que todo material poroso tenha um tensor de permeabilidade ortogonal.

3. ESTATÍSTICA DA GEOMETRIA DAS FRATURAS

• Sob um dado número de condições de contorno, o comportamento hidráulico de uma rocha fraturada com uma matriz impermeável é determinado inteiramente pela geometria do sistema de fraturas. • Para o escopo deste estudo a a descrição da geometria foi simplificada

Descrição • Cada fratura é individualmente descrita em termos de: 1. Abertura efetiva (ou hidráulica) 2. Orientação 3. Localização 4. Tamanho

Comportamento Hidráulico • É função da abertura efetiva • A determinação da permeabilidade da fratura requer a determinação de sua abertura hidráulica • Infelizmente, é muito difícil realizar testes hidráulicos em fraturas isoladas no campo • Gale [1975] tentou fazer estes experimentos mas não foi bem sucedido

4. MÉTODO DE ANÁLISE NUMÉRICA

• Um código numérico foi desenvolvido para gerar uma amostra do sistema de fraturas em duas dimensões usando as propriedades geométricas. • Por elementos finitos calcula-se Qg, o componente da vazão na direção do gradiente

Usando a Lei de Darcy: • A condutividade hidráulica na direção do gradiente da amostra gerada é calculada por: • Onde: A é a área total perpendicular ao escoamento.

5. GERAÇÃO DA MALHA

SET 1 e SET 2 INDEPENDENTES!

Distribuição Poisson Distribuição Normal Distribuição Log-Normal

6. MEDIÇÃO DA CONDUTIVIDADE HIDRÁULICA

• A condutividade em um meio homogêneo pode ser definida na direção do escoamento ou na direção do gradiente • Queremos medir a condutividade em um meio heterogêneo de rocha fraturada • O gradiente pode ser aproximadamente linear

• A direção do escoamento é controlada pela direção das fraturas • Um método que obtenha a condutividade na direção do gradiente precisa ser usado.

Kxx=Kg

7. ROTAÇÃO DA REGIÃO DO ESCOAMENTO

• A condutividade pode ser medida em qualquer região escolhida.

PO AP D E RO S IO XI ER PO MA RO DO SO C O ! M O Meio Homogêneo Anisotrópico

NÃ AP O RO PO RO X DE. SO CO SE ! MO R M EI O Meio Heterogêneo Anisotrópico

8. PROGRAMA “FRACTURE FLOW”

Elementos Finitos • Desenvolvido por Wilson [1970]. • As Fraturas são representadas por elementos lineares. • Escoamento obedecendo a lei cúbica. • Matriz da rocha impermeável. • Estado permanente.

9. VALIDAÇÃO DO MÉTODO NUMÉRICO

75 cm 110 cm Exemplo 110 cm 75 cm

75 cm FLOW REGION 75 cm

RESULTADOS 3 2 4 1

1, 019 x 10 -4 REDE 3 Q [cm³/s] 3 • Q 2≠Q 4 • Q=0 • ≠ Meio Poroso! 2 4 1 5, 42 x 10 -10 1, 019 x 10 -4 ZERO! 8, 98 x 10 -11

75 cm Permeabilidade Direcional

Não há um tensor de Condutividade simétrico!

10. EFEITO DA DENSIDADE DE FRATURA

40 cm 1600 f. m-2 25 cm 1111 f. m-2 30 cm 40 cm 625 f. m-2 30 cm 25 cm

Número de interseções cresce de A para C Isopotenciais: Linear de A para C Aproxima-se de uma elipse de A para C

11. EFEITOS DA ABERTURA E DA ORIENTAÇÃO

ABERTURA = CONSTANTE ORIENTAÇÃO = NORMAL ABERTURA = LOG-NORMAL ORIENTAÇÃO = CONSTANTE

12. EFEITO DE ESCALA

A região de escoamento deve ser maior que o comprimento da fratura!