PENGGUNAAN INTEGRAL 1 Menghitung luas suatu daerah yang

PENGGUNAAN INTEGRAL 1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu -sumbu koordinat. 2. Menghitung volume benda putar. 9 Luas daerah di bawah kurva Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu Y

Luas Daerah Luas Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka berlaku : Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai Contoh 1 : Hitunglah nilai dari Jawab = = 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2] Home = 16 – 8 + 2 = 12 Back Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b]. Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi y Integral y Tentukan limitnya n x x 0 Home a x b 0 a b Back Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Kegiatan pokok dalam menghitung luas y xi daerah dengan integral tentu adalah: 1. Gambar daerahnya. 2. Partisi daerahnya Li 3. Aproksimasi luas sebuah partisi Li f(xi) xi 4. Jumlahkan luas partisi x xi 0 L f(xi) xi a 5. Ambil limitnya L = lim f(xi) xi 6. Nyatakan dalam integral Home Back Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Contoh 1. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x 2, sumbu x, dan garis x = 3 Jawab Langkah penyelesaian : 1. Gambarlah daerahnya y xi 2. Partisi daerahnya 3. Aproksimasi luasnya Li xi 2 xi 4. Jumlahkan luasnya L xi 2 xi 5. Ambil limit jumlah luasnya L = lim xi 2 xi Li 6. Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya Home x 0 xi Back 3 Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Contoh 2. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x 2, sumbu Y, dan garis y = 4 Jawab y Langkah penyelesaian : 1. Gambarlah daerahnya 4 xi 2. Partisi daerahnya 3. Aproksimasi luasnya L xi. y 4. Jumlahkan luasnya L y. y 5. Ambil limit jumlah luasnya L = lim y. y 6. Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya Home x 0 Back Next

Luas Daerah Luas Menghitung Luas dengan Integral Contoh 3. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4 x - x 2, sumbu x, dan garis x = 6 Jawab y Langkah penyelesaian: xi 1. Gambar dan Partisi daerahnya 2. Aproksimasi : Li (4 xi - xi 2) xi dan Aj -(4 xj - xj 2) xj 3. Jumlahkan : L (4 xi - xi 2) xi dan Li 0 xj 4 xi A -(4 xj - xj 2) xj 6 xj x Aj 4. Ambil limitnya L = lim (4 xi - xi 2) xi dan A = lim -(4 xj - xj 2) xj 5. Nyatakan dalam integral Home Back Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral y xi Li 0 xj 4 xi 6 xj x Aj Home Back Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Kesimpulan : y y xi x 0 Home x 0 Back Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut. Langkah penyelesaian: y x 1. Partisi daerahnya 2. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ] x 4. Jumlahkan : L [ f(x) – g(x) ] x 5. Ambil limitnya : L = lim [ f(x) – g(x) ] x Li 0 x a b x 6. Nyatakan dalam integral tertentu Home Back Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Contoh 4. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x 2 dan garis y = 2 - x Jawab Langkah penyelesaian: 1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva x 2 = 2 – x x 2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 1 3. Partisi daerahnya 4. Aproksimasi luasnya Li (2 - x 2) x 5. Nyatakan dalam integral tertentu y 5 x 4 3 Li 2 1 x -3 Home -2 -1 x 0 1 Back 2 Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral y 5 x 4 3 Li 2 1 x -3 Home -2 -1 x 0 1 Back 2 Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Untuk kasus tertentu pemartisian y secara vertikal menyebabkan ada x dua bentuk integral. Akibatnya Li x diperlukan waktu lebih lama untuk menghitungnya. Ai 0 a x b Luas daerah = Home Back Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya. y d Li y x 0 c Luas daerah = Home Back Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Contoh 5. Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y 2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x Jawab Langkah penyelesaian: 1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva y 2 = 6 – y y 2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y – 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 2 3. Partisi daerahnya 4. Aproksimasi luasnya Li (6 - y 2) y 5. Nyatakan dalam integral tertentu y 6 2 Luas daerah = Home y Li y 6 x 0 Back Next

Luas Daerah Menghitung Luas dengan Integral Luas daerah = y Luas daerah = 6 Luas daerah = 2 Luas daerah = y Li y 6 x 0 Luas daerah = Home Back Next

Pendahuluan Volume Benda Putar Bola lampu di samping dapat dipandang sebagai benda putar jika kurva di atasnya diputar menurut garis horisontal. Pada pokok bahasan ini akan dipelajari juga penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar.

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh 360º, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi, aproksimasi, penjumlahan, pengambilan limit, dan menyatakan dalam integral tentu. Home Gb. 4 Back Next

Volume. Benda. Putar Volume Pendahuluan Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi : 1. Metode cakram 2. Metode cincin 3. Metode kulit tabung y y y 4 3 0 x 2 x 1 x 2 Home 1 0 1 Back 2 Next

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-motongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram. Home Back Next

Volume Benda Putar Volume Metode Cakram y Bentuk cakram di samping dapat x dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai V r 2 h atau V f(x)2 x. Dengan cara jumlahkan, ambil a x x y limitnya, dan nyatakan dalam integral h= x diperoleh: V f(x)2 x V = lim f(x)2 x x 0 x Home Back Next

Volume Benda Putar Volume Metode Cakram Contoh 7. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Jawab y y Langkah penyelesaian: 1. Gambarlah daerahnya x h= x 2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi 1 x 2 x x 4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, x ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. Home Back Next

Volume Benda Putar Metode Cakram V r 2 h V (x 2 + 1)2 x y V (x 2 + 1)2 x h= x V = lim (x 2 + 1)2 x x x Home Back Next

Volume Benda Putar Volume Metode Cakram Contoh 8. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. y Jawab Langkah penyelesaian: 2 1. Gambarlah daerahnya y 2. Buatlah sebuah partisi y 3. Tentukan ukuran dan bentuk x y partisi 4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. Home h= y y x Back Next

Volume Benda Putar Volume Metode Cakram V r 2 h V ( y)2 y y V = lim y y 2 h= y y x Home Back Next

Metode Cincin Volume Benda Putar Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotong-motongnya yang potongannya berbentuk cincin. Home Back Next

Volume Benda Putar Metode Cincin Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan memanfaatkan rumus volume cincin seperti gambar di samping, yaitu V= (R 2 – r 2)h Gb. 5 R h Home r Back Next

Volume Benda Putar Metode Cincin Contoh 9. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 2 dan garis y = 2 x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Jawab Langkah penyelesaian: y y 1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi y = 2 x 4 x 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi 4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan x 2 x x 2 x nyatakan dalam bentuk integral. Home Back Next

Volume Benda Putar Metode Cincin V (R 2 – r 2) h V [ (2 x)2 – (x 2)2 ] x y y = 2 x 4 x V (4 x 2 – x 4) x R=2 x r=x 2 V (4 x 2 – x 4) x V = lim (4 x 2 – x 4) x x 2 x y x Home Back Next

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping. Home Back Next

Volume Benda Putar Volume Metode Kulit Tabung r r h h V = 2 rhΔr 2 r Home Δr Back Next

Volume Benda Putar Volume Metode Kulit Tabung Contoh 10. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Jawab Langkah penyelesaian: y 1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi. 4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. Home 4 3 x 2 1 x 0 x 1 2 Back Next

Volume Benda Putar Volume Metode Kulit Tabung y y 4 4 3 x r=x 2 2 x 2 1 1 h = x 2 x 0 x 1 2 0 1 2 V 2 rh x V 2 (x)(x 2) x V 2 x 3 x V = lim 2 x 3 x Home Back Next

Volume Benda Putar Volume Metode Kulit Tabung Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut. V (R 2 – r 2) y y y 4 V (4 - x 2) y V (4 – y) y 4 3 V = lim (4 – y) y 3 R=2 2 2 r=x y 1 1 x 0 Home x 1 2 x -2 -1 0 1 2 Back Next

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Latihan (6 soal) Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali Home Back Next

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Soal 1. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai. . Y A D B E C Home 4 0 2 X Back Next

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Soal 1. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai. . Y A D B E 4 C 0 2 X Jawaban Anda Benar L (4 – x 2) x L = lim (4 – x 2) x ( Jawaban D ) Home Back Next

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Soal 1. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai. . Y x A D 4 4 - x 2 B E C 0 x 2 X Jawaban Anda Salah L (4 – x 2) x L = lim (4 – x 2) x ( Jawaban D ) Home Back Next

Latihan Penggunaan Integral Soal 2. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A 4, 5 satuan luas D B 6 satuan luas E 10 2/3 satuan luas C 7, 5 satuan luas 9 1/3 satuan luas Y X 0 Home Back Next

Latihan Penggunaan Integral Soal 2. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A 4, 5 satuan luas D B 6 satuan luas E 10 2/3 satuan luas C 7, 5 satuan luas 9 1/3 satuan luas Y X 0 Jawaban Anda Benar L (4 – x 2) x L = lim (4 – x 2) x Home ( Jawaban E ) Back Next

Latihan Penggunaan Integral Soal 2. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A 4, 5 satuan luas D Y 9 1/3 satuan luas x B 6 satuan luas C 7, 5 satuan luas E 10 2/3 satuan luas -2 0 x 2 X Jawaban Anda Salah L (4 – x 2) x L = lim (4 – x 2) x Home ( Jawaban E ) Back Next

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Soal 3. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. Y A 5 satuan luas D B E 10 1/3 satuan luas 7 2/3 satuan luas 9 1/3 satuan luas C 8 satuan luas X 0 Home Back Next

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Soal 3. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. Y A 5 satuan luas D B E 10 1/3 satuan luas 7 2/3 satuan luas 9 1/3 satuan luas C 8 satuan luas 0 X 2 Jawaban Anda Benar L (8 – x 2 -2 x) x ( Jawaban D ) Home Back Next

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Soal 3. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. Y A 5 satuan luas D B E 10 1/3 satuan luas 7 2/3 satuan luas 9 1/3 satuan luas C 8 satuan luas 0 X 2 Jawaban Anda Salah L (8 – x 2 -2 x) x ( Jawaban D ) Home Back Next

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Soal 4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y 2 dan garis x + y = 2 adalah …. A 2, 5 satuan luas D 10 2/3 satuan luas B 4, 5 satuan luas E 20 5/6 satuan luas C 6 satuan luas Home Back Next

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Soal 4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y 2 dan garis x + y = 2 adalah …. A 2, 5 satuan luas B 4, 5 satuan luas D E Y 10 2/3 satuan luas 20 5/6 satuan luas 1 X 0 C 6 satuan luas -2 Jawaban Anda Benar L [(2 – y ) – y 2 ] y ( Jawaban B ) Home Back Next

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Soal 4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y 2 dan garis x + y = 2 adalah …. Y A 2, 5 satuan luas D 10 2/3 satuan luas 1 B 4, 5 satuan luas C 6 satuan luas E 20 5/6 satuan luas X 0 -2 Jawaban Anda Salah L [(2 – y ) – y 2 ] y ( Jawaban B ) Home Back Next

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Soal 5. Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah. . A D B E Y 2 0 X 4 C Home Back Next

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Soal 5. Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah. . A D B E Y 2 0 X 4 C Jawaban Anda Benar V 2 x x x ( Jawaban D ) Home Back Next

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Soal 5. Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah. . Y A D 2 B E 0 C x X 4 Jawaban Anda Salah V 2 x x x ( Jawaban D ) Home Back Next

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Soal 6. Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah …. A 4 satuan volum B 6 satuan volum C 8 satuan volum Home D E Y 12 satuan volum 15 satuan volum 2 0 X 4 Back Next

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Soal 6. Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah …. A 4 satuan volum D B 6 satuan volum C 8 satuan volum E Y 12 satuan volum 15 satuan volum 2 0 X 4 Jawaban Anda Benar V ( x)2 x ( Jawaban C ) Home Back Next

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Soal 6. Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah …. Y A 4 satuan volum D 12 satuan volum 2 B C 6 satuan volum E 15 satuan volum 0 x X 4 8 satuan volum Jawaban Anda Salah V ( x)2 x ( Jawaban C ) Home Back Next