SISTEM KOORDINAT KUTUB Koordinat kutub Sebelumnya kita kenal

SISTEM KOORDINAT KUTUB Ø Koordinat kutub Sebelumnya kita kenal koordinat cartesius dimana titik P (x, y) Terlihat pada gambar berikut: Selain itu kita kenal koordinat kutub dengan titik P (r , θ ) sesuai dengan gambar berikut:

Dimana r = jari-jari lingkaran θ = sudut yang dibentuk oleh sinar dan sumbu kutub θ bernilai 0 - 2π r dapat bernilai negatif Contoh titik-titik pada koordinat kutub:

Bentuk kurva dari persamaan :

Contoh persamaan kutub :

Ø Hubungan Koordinat Cartesius dengan Koordinat Kutub Bentuk grafiknya : Persamaan : - Kutub ke cartesius - Cartesius ke kutub Contoh: 1. Tentukan koordinat Cartesius yang bersesuaian dengan (4, π/6) dan koordinat kutub yang bersesuaian dengan (-3, √ 3) Peny :

2. Tunjukkan bahwa grafik dari adalah sebuah lingkaran dan bahwa grafik dari adalah sebuah parabola dengan mengubahnya menjadi koordinat cartesius. Peny : Ini adalah persamaan lingkaran berjari-jari 4 dan titik pusat di ( 0, 4 ) Untuk pers

Maka : Persamaan parabola terbuka ke kanan dengan verteks (-1, 0) dan fokus di titik asal. Ø Persamaan Kutub untuk Garis, Lingkaran dan Irisan Kerucut • Garis Dimana P (r , θ ) sebarang titik di garis maka :

• Lingkaran Dimana Berdasarkan hukukm cosinus maka : • Irisan Kerucut ( parabola, elips dan hiperbola) dimana fokusnya di titik kutub dan direktrinya sejauh d

Persamaan | PF | = e | PL | akan menjadi: Irisan kerucut horizontal pers: Irisan kerucut vertikal pers:

Contoh soal: 1. Tentukan persamaan elips horizontal dengan eksentrisitas ½, fokus diitik kutub dan direktris vertikal 10 satuan di sebelah kanan titik kutub. Peny: Persamaan elips 2. Tentukan eksentrisitas dan direktris dari persamaandi bawah ini : Peny:

Dari persamaan di atas didapat: e =1 dan d = 2 maka kurva yang terbentuk adalah parabola horizontal terbuka ke kiri. 3. Namakan irisan kerucut dan dapatkan eksentrisitas dan direktrisnya: Peny: dimana e =1/4 dan d =6 maka kurvanya adalah elips horizontal

Diskusi: 1. Tentukan persamaan cartesius: ; dan 2. Namailah kurva berikut dan tentukan eksentrisitasnya dan sketsa grafiknya: ; dan 3. Buktikan bahwa merepresentasikan sebuah lingkaran dan tentukan pusat dan jari-jarinya.

Ø Grafik Persamaan Kutub Grafik yang kita kenal meliputi : kardioid, limakon, lemniskat, rose, spiral. Unsur simetris: ü Simetris sumbu x ü Simetris sumbu y

ü Simetris terhadap titik asal Kurva Kutub Khas 1. Lingkaran dan

2. Kardioid dan Limakon a= b dan kardioid Grafik ini simetris terhadap sumbu x example: Tunjukkan persamaan dalam bentuk grafik

Tabel yang diberikan: θ 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π r 4 3, 73 3 0, 27 2 1 0 Karena cosinus adalah sebuah fungsi genap maka grafik bersifat simetrik terhadap sumbu x. 3. Lemniskat (angka delapan) dan contoh : θ 0 π/12 π/6 r ± 3 ± 2, 8 π/4 ± 2, 12 0

4. Mawar (Rose) dan Mawar mempunyai mahkota bunga n = ganjil maka n mahkota bunga n = genap maka 2 n mahkota bunga contoh: dan Θ 0 π/12 π/6 π/4 π/3 5π/12 π/2 7π/12 2π/3 r 3, 46 2 0 -2 -3, 46 -4 -3, 46 4 3π/4 5π/6 11π/12 π 0 2 3, 46 4 -2

5. Spiral Terbagi atas: ü Spiral Archimedes ü Spiral Logaritmik Contoh : Memotong sumbu kutub (0, 0); (2π, 2π); (4π, 4π) Memotong perpanjangan di kiri (π, π); (3π, 3π); (5π, 5π)

Ø Luas Daerah Kurva (Koordinat Kutub) Berdasarkan sektor dari sebuah lingkaran Luas lingkaran = Luas suatu sektor dengan sudut pusat θ Maka luas dari kurva tersebut :

Contoh soal: 1. Tentukan luas daerah di dalam kardioid Peny : Dari grafik θ bervariasi 0 – 2π Berdasarkan faktor simetris kita dapat menggandakan integral dari 0 – π, maka :

2. Sketsa dan dapatkan luas dari satu mahkota Peny : Simetri terhadap sumbu y maka: θ 0 π/12 π/6 π/4 π/3 5π/12 π/2 r 0 2√ 2 4 2√ 2 0 -2√ 2 -4 Luas dari mawar satu mahkota adalah :

3. Tentukan luas daerah di luar kardioid dalam lingkaran Peny: Mencari titik potong n dan Luas dari kurva yang diarsir: dan di dikuadratka