Nilai dan Vektor Eigen Kuliah Jarak Jauh Program

Nilai dan Vektor Eigen Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Mengingat kembali: perkalian matriks • Diberikan matriks A 2 x 2 dan vektor-vektor u, v, dan w • Hitunglah Au, Aw, Av. Manakah dari hasil kali tersebut yang hasilnya adalah vektor yang sejajar dengan vektor semula Jawab: v dan Av sejajar w dan Aw sejajar u dan Au TIDAK sejajar Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Mengingat kembali: SPL homogen dan determinan 1. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian trivial saja. Apa kesimpulanm tentang A? Jawaban: A mempunyai inverse. Det(A) ≠ 0 2. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian TIDAK trivial. Apa kesimpulanmu tentang A dan det(A)? Jawaban: A tidak mempunyai inverse. Det(A) = 0 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Perkalian vektor dengan matriks A x = λ x Ax x dan Ax sejajar Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Perkalian vektor dengan matriks = =1 =2 Au = 2 u Av = v Aw ≠ kw y y y 10 24 2 8 0 4 1 4 x Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia k 5 4 x x

Definisi: Nilai dan Vektor Eigen Definisi: Diberikan matriks A nxn, vektor tak nol v di Rn disebut vektor eigen dari A jika terdapat skalar sedemikian hingga Av = λv. λ disebut nilai eigen, x adalah vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ. Syarat perlu: v ≠ 0 (1) λ ≥ 1 (2) 0 ≤ λ ≤ 1 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia (3) -1 ≤ λ ≤ 0 (4) λ ≤ - 1

Masalah Vektor Eigen Diberikan matriks persegi A, A x sejajar = x λ x Temukan semua vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax adalah kelipatan skalar x (Ax sejajar dengan x). atau Temukan semua vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu skalar λ Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Masalah Nilai Eigen Diberikan matriks persegi A. A x = λ x x vektor tak nol Temukan semua skalar λ sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu vektor tak nol x. atau Temukan semua vektor skalar λ sedemikian hingga persamaan Ax = λx mempunyai penyelesaian tak nol Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Pernyataan-pernyataan ekuivalen Jika A matriks persegi nxn, maka kalimat-kalimat berikut ekuivalen 1. nilai eigen A 2. terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = x 3. SPL (A – I)x = 0 mempuyai solusi tidak nol (non-trivial) 4. adalah penyelesaian persamaan det(A – I) = 0 Mencari nilai eigen A sama saja mencari penyelesaian persamaan det( I-A) = 0 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Persamaan Karakteristik Jika diuraikan, det((A - λI) merupakan suku banyak berderajat n dalam λ, p(λ ) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c 1λ+ c 0 suku banyak karakteristik Persamaan det((A - λI) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c 1λ+ c 0 = 0 disebut persamaan karakteristik A det A-λI - λI = A-λI • persamaan karakteristik = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c 1λ+ c 0 = 0 Persamaan dengan derajat n mempunyai paling banyak n penyelesaian, jadi matriks nxn paling banyak mempunyai n nilai eigen. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Contoh Mencari semua nilai eigen A= Mencari semua penyelesaian persamaan det 2 -λ 0 4 1 -λ =0 Mencari penyelesaian persamaan karakteristik (2 - λ )(1 - λ ) = 0 Nilai eigen A adalah Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Prosedur: menentukan nilai eigen Diberikan matriks persegi A. Nilai-nilai eigen A dapat diperoleh sebagai berikut: 1. Tentukan persamaan karakteristik det((A - λI) = 0 tuliskan A dan matriks yang elemen diagonal utamanya dikurangi λ 2. (Jika diperlukan) uraikan persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik: λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c 1λ+ c 0 = 0 3. Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah di atas. Nilai-nilai eigen merupakan penyelesaian persamaan tersebut. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Contoh: Menentukan nilai eigen Diberikan matriks persegi 1. Tentukan persamaan karakteristik det(A - λI) = 0 2. Ubahlah persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik: 3. Selesaikan persamaan di atas untuk memperoleh nilai-nilai eigen Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia Nilai-nilai eigen A: λ 1 = 0 λ 2 = 2 λ 3 = 3

Nilai eigen matriks diagonal Diberikan matriks diagonal • Persamaan karakteristik: • Nilai-nilai eigen 2, 6, 5, 1 (merupakan entri diagonal utama) Nilai-nilai eigen matriks diagonal adalah elemen diagonal utamanya. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Bagaimana menentukan apakah suatu skalar merupakan nilai eigen? • Tentukan apakah 2, 0, 4 merupakan nilai eigen A. Jawab: Bentuk det(A-λI) untuk λ = 2, 0, 4. Jika det(A-λI) ≠ 0, maka merupakan nilai eigen, kalau = 0, maka bukan nilai eigen. Kunci: 2, 4 nilai eigen A, 0 bukan nilai eigen A. 2 adalah nilai eigen A 0 bukan nilai eigen A 4 nilai eigen A Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Kelipatan skalar vektor eigen • Diberikan A. Diketahui bahwa x adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai eigen 2. Selidiki apakah 1/2 x, 10 x, 5 x juga vektor-vektor eigen A Ax = 2 x A(10 x) = 2 (10 x) A x = A (10) Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia λ x= x λ (10) x

Kelipatan skalar vektor eigen Ax = 2 x A x = A(1/2 x) = 2 (1/2 x) λ x A (1/2) x= λ (1/2) x Kelipatan skalar (tak nol) dari vektor eigen adalah vektor eigen terhadap nilai eigen yang sama Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Menentukan semua vektor eigen Eλ • Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ. • Vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ = 3 dapat diperoleh dengan menyelesaikan SPL (A - λ I)x = 0. Vektor eigen adalah anggota Null(A - λ I) Himpunan semua penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0 Himpunan semua vektor eigen 0 Null(A - λ I)-{0} Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia bersesuaian dengan λ

Ruang Eigen Ruang eigen A yang bersesuaian dengan λ terdiri atas semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ dan vektor nol Ruang penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0 Null(A - λ I)x 0 Ruang Eigen Eλ Null(A - λ I) = Eλ Menentukan Eλ sama dengan menentukan himpunan penyelesaian SPL (A - λ I)x = Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia 0

Menentukan ruang eigen Eλ • Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ = 3. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 3. SPL (A - 3 I)x = 0 Penyelesaian Himpunan penyelesaian Himpunan vektor eigen A bersesuaian dengan λ =3 : Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Nilai eigen matriks pangkat • Nilai eigen dari A adalah 0, 2, dan 3. • Tentukan nilai eigen untuk • Diberikan sembarang matriks A dan diketahui bahwa λ adalah nilai eigennya. Maka terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx kalikan kedua ruas dengan matriks A A. Ax = A λx A 2 x = λ(Ax) substitusi Ax dengan λx A 2 x = λ 2 x jadi, λ 2 merupakan nilai eigen A 2 Teorema: Jika n adalah bilangan bulat positif, λ nilai eigen matriks A, maka λn adalah nilai eigen An • Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Nilai eigen matriks singular • Misalkan = 0 merupakan nilai eigen dari A. Maka 0 merupakan penyelesaian persamaan karakteristik: dengan menganti dengan 0, diperoleh c 0 = 0. Padahal det(A- I) = 0, dengan = 0, maka det(A) = c 0 = 0. Karena det(A) = 0 maka A tidak mempunyai inverse. • Sebaliknya, det(A) = det(A - I) dengan mengambil = 0. Jadi det(A) = c 0. Jika A tidak mempunyai inverse, maka det(A) = 0 = c 0. Sehingga = 0 merupakan salah satu penyelesaian persamaan karakteristik; = 0 merupakan salah satu nilai eigen dari A. 0 adalah nilai eigen A jika dan hanya jika A tidak mempunyai inverse. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Nilai eigen matriks transpose det(B) = det(BT) (A- I)T = (AT- I) Misalkan = 0 merupakan nilai eigen dari A, maka det(A- I)= 0 Karena matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama, maka det(A- I)T= 0 Karena (A- I)T = (AT- I) , maka det(AT- I)= 0 Jadi, adalah nilai eigen dari AT A dan AT mempunyai nilai eigen yang sama A dan A-1 mempuyai nilai eigen yang sama Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Diagonalisasi Definisi: Matriks persegi A dapat didiagonalkan jika terdapat matriks yang mempunyai inverse sedemikian hingga P-1 AP = D adalah matriks diagonal. Contoh: P-1 AP= Matriks diagonal A dapat didiagonalkan Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Kapan matriks A dapat didiagonalkan? • Teorema: Jika A adalah matriks nxn, maka kalimat-kalimat berikut ini ekuivalen: 1. A dapat didiagonalkan 2. A mempunyai n vektor-vektor eigen yang bebas linier Bukti (1) (2) Diberikan A Misalkan A dapat didiagonalkan, maka terdapat matriks P yang mempunyai inverse Sedemikian hingga P-1 AP = D matriks diagonal Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Kapan matriks A dapat didiagonalkan? (lanjt) P-1 AP = D, kalikan dengan P-1, AP = PD, jadi Karena P mempunyai inverse, maka kolom-kolmnya bukan kolom nol. Berdasarkan deinisi nilai eigen, maka λ 1, λ 2, λ 3, …, λn merupakan nilai-nilai eigen A, dan kolom-kolom P adalah vektor-vektor eigen A yang bebas linier (karena P mempunya inverse) Bukti untuk (2) (1) kerjakanlah sebagai latihan untuk memperdalam pemahaman. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Prosedur mendiagonalkan matriks • Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D. Prosedur 1. Tentukan n vektor eigen A yang bebas linier, misalkan p 1, p 2, p 3, …, pn 2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah p 1, p 2, p 3, …, pn 3. Mariks D = P-1 AP adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ 1, λ 2, λ 3, …, λn dengan λj adalah nilai eigen bersesuaian dengan pj untuk j = 1, 2, 3, …, n Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Contoh: mendiagonalkan matriks • Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D. Prosedur 1. Tentukan 2 vektor eigen A yang bebas linier. Pertama kita tentukan nilai-nilai eigennya yaitu λ 1= 2 dan λ 2= -1 (telah dihitung sebelumnya). Tentukan vektor eigen bersesuaian dengan nilai eigen, dengan menyelesaiakn SPL (A - λ I)x =0. Diperoleh 2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor eigen di atas. 3. Matriks D = P-1 A P adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ 1, λ 2 berturut-turut Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Masalah Diagonalisasi dan masalah vektor eigen • Masalah vektor eigen Diberikan matriks Anxn, apakah terdapat basis di Rn terdiri atas vektor-vektor eigen? • Masalah diagonalisasi Diberikan matriks Anxn apakah terdapat matriks yang mempunyai inverse P sedemikian hingga n. P-1 AP adalah matriks diagonal? Teorema: Anxn dapat didiagonalkan jika dan hanya jika terdapat n vektor eigen yang bebas linier. Padahal, setiap n vektor yang saling bebas linier di Rn merupakan basis Rn. Kesimpulan: masalah vektor eigen sama dengan masalah diagonalisasi Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia