Modliser les actions mcaniques et le comportement statique

Modéliser les actions mécaniques et le comportement statique des systèmes 1ère partie : Modélisation des Actions Mécaniques (AM) 2 e partie : Quelques Actions Mécaniques simples 3 e partie : Principe Fondamental de la Statique (PFS) 4 e partie : Quelques Actions Mécaniques complexes 1

Modéliser les actions mécaniques et le comportement statique des systèmes Objectifs : Déterminer les Force du vérin différentes actions (sortie – recherchée) mécaniques transitant dans un système immobile, et en particulier la Poids du bateau loi entrée-sortie en (entrée – connu) effort. 2

3 e partie : Principe Fondamental de la Statique (PFS) 3. 1 Énoncé du PFS * 3. 2 Application analytique du PFS à un seul système * 3. 3 Application graphique du PFS à un seul système * 3. 4 Stratégie d’isolements successifs * 3

3. 1 Enoncé du PFS Enoncé : Si un système matériel S est en équilibre dans un repère galiléen, alors : - la somme des forces extérieures est nulle ; (TRS) - la somme des moments extérieurs appliqué en un point est nulle. (TMS) Remarques : PFS = cas particulier du PFD (programme de 2 e année) ; Repère galiléen = repère dans lequel le PFD s’applique ~ terre ; Repère en translation rectiligne uniforme / galiléen = galiléen ; En équilibre = immobile ; PFS ~ OK pour les systèmes en mouvement « lent » . 4

3. 1 Enoncé du PFS Enoncé : Si un système matériel S est en équilibre dans un repère galiléen, alors : - la somme des forces extérieures est nulle ; (TRS) - la somme des moments extérieurs appliqué en un point est nulle. (TMS) Réciprocité fausse : 5

3 e partie : Principe Fondamental de la Statique (PFS) 3. 1 Énoncé du PFS * 3. 2 Application analytique du PFS à un seul système * 3. 3 Application graphique du PFS à un seul système * 3. 4 Stratégie d’isolements successifs * 6

3. 2 Application analytique du PFS à un système Equations du PFS en 3 D : - 3 équations (scalaires) sur les forces (TRS) ; - 3 équations (scalaires) sur les moments (TMS en un point). Equations du PFS dans un problème plan (2 D) : - 2 équations (scalaires) sur les forces (TRS) ; - 1 équation (scalaire) sur les moments (TMS en un point). 7

3. 2 Application analytique du PFS à un système Démarche de résolution : Exemple du vérin {1 a+1 b} : 1) Frontières du système isolé et hypothèses Vous est parfois (souvent) donné dans le sujet On isole le vérin : {corps 1 a + tige 1 b} Hypothèses : solides indéformables, pb plan, liaisons parfaites, poids du vérin négligé 8

3. 2 Application analytique du PFS à un système Démarche de résolution : Exemple du vérin {1 a+1 b} : 2) BAME : Bilan des actions mécaniques extérieures : identification des AM extérieures (connues et inconnues avant l’application du PFS) qui s’exercent sur le système isolé, en général sous forme de torseur. BAME à {1} : en B : force inconnue en D : force inconnue Justification : Un pivot parfait dont l’axe est perpendiculaire au plan du problème ne peut transmettre qu’une force dans le plan, donc deux composantes inconnues de force (aucun moment au centre de la liaison) 9

3. 2 Application analytique du PFS à un système Cas d’un vecteur dont la direction est connue : Une seule inconnue scalaire ! Ici : R 2→ 1 Ou bien : 10

3. 2 Application analytique du PFS à un système Démarche de résolution : Exemple du vérin {1 a+1 b} : 3 a) Application du P. F. S en résolution totale (à n’utiliser que si on cherche toutes les A. M) : 3 a. 1 Transporter tous les moments en un point commun (conseil : choisir le point comportant le plus d'inconnues afin de simplifier 1) Moments en D : les équations). 3 a. 2 Poser les équations du PFS 3 a. 3 Résoudre les équations et 2) TMS en D / z : en déduire les composantes 2) TRS / x : des efforts inconnues. 2) TRS / y : 11

3. 2 Application analytique du PFS à un système Démarche de résolution : Exemple du vérin {1 a+1 b} : 3 a) Application du P. F. S en résolution totale (à n’utiliser que si on cherche toutes les A. M) : 3 a. 1 Transporter tous les moments en un point commun (conseil : choisir le point comportant le plus d'inconnues afin de simplifier 3) Résolution (3 équations) : les équations). et 3 a. 2 Poser les équations du PFS Interprétation de ce résultat : 3 a. 3 Résoudre les équations et Lorsqu’un syst. en équilibre / Rg est en déduire les composantes soumis à 2 forces : les forces passent par les 2 pts d’application (ici BD), ont des efforts inconnues. des sens opposés et même norme. 12

3. 2 Application analytique du PFS à un système Démarche de résolution : Exemple du système {2+3} : 1) Frontières du système isolé et hypothèses Vous est parfois (souvent) donné dans le sujet On isole le système : {bras 2 + bateau 3} Hypothèses : solides indéformables, pb plan, liaisons parfaites, poids du bras 2 négligé 13

3. 2 Application analytique du PFS à un système Démarche de résolution : Exemple du système {2+3} : 2) BAME : Bilan des actions mécaniques extérieures : identification des AM extérieures (connues et inconnues avant l’application du PFS) qui s’exercent sur le système isolé, en général sous forme de torseur. BAME à {2+3} : en A : force inconnue Réciprocité des AM en B : force dont la direction est connue en G 3 : poids 3 connu Il y a donc 3 inconnues (scalaires) 14

3. 2 Application analytique du PFS à un système Démarche de résolution : Exemple du système {2+3} : 3 b) Application uniquement de certaines équations du PFS (à privilégier) : 3 b. 1 Si les équations de résultantes suffisent, il est alors inutile de calculer les moments ; 3 b. 2 Parfois seule une équation de moment suffit : l’équation des moments écrite au point où une force est inconnue. BAME à {2+3} : en A : force inconnue en B : force dont la direction est connue en G 3 : poids 3 connu Seule équation utile pour trouver Y 21 (en fonction des paramètres connus) : Equation des moments en A car c’est la seule équation où ni X 02 ni Y 02 n’est. 15

3. 2 Application analytique du PFS à un système Démarche de résolution : Exemple du système {2+3} : 3 b) Application uniquement de certaines équations du PFS (à privilégier) : 3 b. 1 Si les équations de résultantes suffisent, il est alors inutile de calculer les moments ; 3 b. 2 Parfois seule une équation de moment suffit : l’équation des moments écrite au point où une force est inconnue. TMS sur {2+3} suivant (A, z) : 16

3. 2 Application analytique du PFS à un système Analyse des résultats du PFS sur la grue de port : Force du vérin (kgf) Angle du vérin θ (°) Angle du vérin θ optimisé pour que le vérin force le moins possible = 18, 5° 17

3 e partie : Principe Fondamental de la Statique (PFS) 3. 1 Énoncé du PFS * 3. 2 Application analytique du PFS à un seul système * 3. 3 Application graphique du PFS à un seul système * 3. 4 Stratégie d’isolements successifs * 18

3. 3 Application graphique du PFS à un système Rappels sur une résolution graphique : - Précision attendue ~ 5 -10% d’erreur ; - Valable pour une seule position du mécanisme ; - Le dessin doit être à l’échelle (peu importe cette échelle). 19

3. 3 Application graphique du PFS à un système Système soumis à 2 forces (ou glisseurs) : Lorsqu’un système matériel est en équilibre /Rg sous l’action de 2 forces : « Les forces sont directement opposées » : - même droite d’action (qui passe par les 2 points d’application des forces), - sens contraires, - normes égales. 20

3. 3 Application graphique du PFS à un système Système soumis à 2 forces – exemple d’une bielle : Hypothèses : problème plan, liaisons parfaites, poids négligés. Isolement : bielle 2. BAME à {2} : deux forces : - en B : - en C : 0 3 C 2 B A PFS => ces deux forces ont : - leur droite support = (BC) ; - sens opposé et même norme : 1 21

3. 3 Application graphique du PFS à un système Système soumis à 3 forces non parallèles : Lorsqu’un système matériel isolé est en équilibre sous l’action de trois forces non parallèles : - les trois forces sont concourantes en un même point, - et leur somme vectorielle est nulle => triangle des forces. 22

3. 3 Application graphique du PFS à un système Cas d’un système soumis à 3 forces parallèles : Si un système est soumis à trois forces dont deux sont parallèles : la 3 e leur est forcément aussi parallèle. => résolution analytique ! y grue 1 ; masse m 1 charge 2 G 1 A a G 2 masse m 2 b B Sol 0 c x 23

3. 3 Application graphique du PFS à un système Système soumis à 3 forces – exemple d’un levier : Hypothèses : problème plan, liaisons parfaites, poids négligés. BAME à {S} : trois forces : PFS => ces trois forces : - sont concourantes en - en A : connue, un même point - en B : inconnue, - en C : de direction connue - forment un triangle (somme vect. nulle) A I B C Les trois forces sont donc entièrement connues après PFS 24

3. 3 Application graphique du PFS à un système Système soumis à 3 forces – cas où seulement deux directions sont connues PFS => ces trois forces : sont concourantes en un même point Si 2 directions sur 3 sont connues, on en déduit donc la 3 e direction grâce au PFS A I C 25

3 e partie : Principe Fondamental de la Statique (PFS) 3. 1 Énoncé du PFS * 3. 2 Application analytique du PFS à un seul système * 3. 3 Application graphique du PFS à un seul système * 3. 4 Stratégie d’isolements successifs * 26

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Illustration du cours : le « Lève-personne Orior » 27

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Illustration du cours : le « Lève-personne Orior » 28

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Objectifs des isolements successifs Dans un système, les efforts transitent dans les pièces et les liaisons, dans un sens ou un autre (effecteur <-> actionneur) Isolements successifs : Déterminer sur quel(s) système(s) appliquer quelle(s) équation(s) du PFS pour trouver la loi entrée-sortie en effort. Lève-personne : Entrée en A. M (connue) = poids à soulever ; Sortie en A. M (cherchée) = force du vérin. 29

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Remarque sur les isolements : On n’isole jamais un système comprenant le bâti ! Car il est considéré en liaison complète avec l’extérieur du système L’isoler ne peut donc pas nous apporter d’informations sur les efforts dans les liaisons du système 30

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Remarque sur les isolements : On n’isole jamais un système comprenant le bâti ! Car il est considéré en liaison complète avec l’extérieur du système L’isoler ne peut donc pas nous apporter d’informations sur les efforts dans les liaisons du système 31

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Remarque sur les isolements : On n’isole jamais un système comprenant le bâti ! Car il est considéré en liaison complète avec l’extérieur du système L’isoler ne peut donc pas nous apporter d’informations sur les efforts dans les liaisons du système 32

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Remarque sur les isolements : On n’isole jamais un système comprenant le bâti ! Car il est considéré en liaison complète avec l’extérieur du système L’isoler ne peut donc pas nous apporter d’informations sur les efforts dans les liaisons du système 33

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Remarque sur les isolements : On n’isole jamais un système comprenant le bâti ! Car il est considéré en liaison complète avec l’extérieur du système L’isoler ne peut donc pas nous apporter d’informations sur les efforts dans les liaisons du système 34

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Graphe des A. M (aide) ~ graphe des liaisons, avec les A. M Liste des A. M possibles : - A. M des liaisons (dont le bâti) ; - A. M des ressorts… ; - pression des fluides ; - poids ; - forces électromagnétiques (moteurs élec…) A D (2) (0) pivot en E ? 5 pivot en D 4 3 pivot en B pivot en C 0 ? 1 6 2 pivot glissant d’axe (AB) F (5) (3) C pivot en F Pivot en A (4) E Poids 6 B (6) G 6 (1) 35

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Graphe des A. M (aide) Poids 6 Représentation possible des A. M sur le graphe des A. M : pivot en F Force entièrement connue : pivot en E ? 5 pivot en D 4 3 pivot en B pivot en C I 0 J ? Pivot en A (2) (0) A D (3) C 2 pivot glissant d’axe (AB) F (5) (4) E 1 6 B (6) G 6 (1) 36

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Graphe des A. M (aide) Poids 6 Représentation possible des A. M sur le graphe des A. M : pivot en F Force dont seule la direction est connue : pivot en E ? 5 pivot en D 4 3 pivot en B pivot en C I 0 J ? Pivot en A (2) (0) A D (3) C 2 pivot glissant d’axe (AB) F (5) (4) E 1 6 B (6) G 6 (1) 37

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Graphe des A. M (aide) Poids 6 Représentation possible des A. M sur le graphe des A. M : pivot en F Force totalement inconnue : pivot en E ? 5 pivot en D 4 3 pivot en B pivot en C I 0 J ? Pivot en A (2) (0) A D (3) C 2 pivot glissant d’axe (AB) F (5) (4) E 1 6 B (6) G 6 (1) 38

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Graphe des A. M (aide) Poids 6 Représentation possible des A. M sur le graphe des A. M : pivot en F Moment dont seule la norme est inconnue : pivot en E ? 5 pivot en D 4 3 pivot en B pivot en C I 0 J ? Etc. Pivot en A (2) (0) A D (3) C 2 pivot glissant d’axe (AB) F (5) (4) E 1 6 B (6) G 6 (1) 39

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Isolements successifs à effectuer – astuces : Poids 6 Bien repérer la ou les données connue(s) et celle recherchée pivot en F pivot en E ? 5 pivot en D 4 3 pivot en B pivot en C 0 ? Pivot en A (2) (0) A D (3) C 2 pivot glissant d’axe (AB) F (5) (4) E 1 6 B (6) G 6 (1) 40

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Isolements successifs à effectuer – astuces : Poids 6 Bien repérer la ou les données connue(s) et celle recherchée pivot en F pivot en E ? 5 pivot en D 4 3 pivot en B pivot en C 0 ? Pivot en A (2) (0) A D (3) C 2 pivot glissant d’axe (AB) F (5) (4) E 1 6 B (6) G 6 (1) 41

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Isolements successifs à effectuer – astuces : Poids 6 Bien repérer la ou les données connue(s) et celle recherchée pivot en F Ne pas isoler le bâti ! pivot en E ? 5 pivot en D 4 3 pivot en C 0 ? Pivot en A (2) (0) A D (3) C 2 pivot en B ? pivot glissant d’axe (AB) F (5) (4) E 1 6 B (6) G 6 (1) 42

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Isolements successifs à effectuer – astuces : Poids 6 1) Repérer les systèmes soumis à 2 forces pivot en F {6} soumis à 2 forces ? NON, car les A. M 5 -6 sont indéfinies (moments ? ? ? ) pivot en E ? 5 pivot en D 4 3 pivot en C 0 ? Pivot en A (2) (0) A D (3) C 2 pivot en B ? pivot glissant d’axe (AB) F (5) (4) E 1 6 B (6) G 6 (1) 43

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Isolements successifs à effectuer – astuces : Poids 6 1) Repérer les systèmes soumis à 2 forces pivot en F {4} soumis à 2 forces ? OUI PFS sur {4} => pivot en E ? 5 pivot en D 4 3 pivot en C 0 ? Pivot en A (2) (0) A D (3) C 2 pivot en B ? pivot glissant d’axe (AB) F (5) (4) E 1 6 B (6) G 6 (1) 44

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Isolements successifs à effectuer – astuces : Poids 6 1) Repérer les systèmes soumis à 2 forces pivot en F {1+2} soumis à 2 forces ? OUI PFS sur {1+2} => pivot en E ? 5 pivot en D 4 3 pivot en C 0 ? Pivot en A (2) (0) A D (3) C 2 pivot en B ? pivot glissant d’axe (AB) F (5) (4) E 1 6 B (6) G 6 (1) 45

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Isolements successifs à effectuer – astuces : Poids 6 2) Repérer les systèmes soumis à 3 forces pivot en F {5+6} soumis à 3 forces ? OUI, avec une connue (P 6) et une Δ connue PFS sur {5+6} => pivot en E A 2 pivot en B ? pivot glissant d’axe (AB) F (5) (4) D (3) (2) (0) 3 ? 1 6 pivot en D pivot en C Pivot en A C 5 4 0 E ? B (6) G 6 (1) 46

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Isolements successifs à effectuer – astuces : Poids 6 2) Repérer les systèmes soumis à 3 forces pivot en F {3} soumis à 3 forces ? OUI, avec une connue et une Δ connue PFS sur {3} => pivot en E A Pivot en A 2 pivot en B ? pivot glissant d’axe (AB) F (5) (4) D (3) (2) (0) 3 ? 1 6 pivot en D pivot en C Force du vérin : 5, 2 k. N C 5 4 0 E ? B (6) G 6 (1) 47

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Isolements successifs à effectuer – astuces : Poids 6 2) Repérer les systèmes soumis à 3 forces pivot en F {3} soumis à 3 forces ? OUI, avec une connue et une Δ connue PFS sur {3} => pivot en E (4) C A D (2) (0) (1) 3 ? B (6) G 6 1 6 pivot en D pivot en B pivot en C Force du vérin : 5, 2 k. N Pivot en A = 520 kgf F (5) (3) 5 4 0 E ? 2 pivot glissant d’axe (AB) Hypothèses fortes : - poids des pièces négligés ; - liaisons sans frottement. 48

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Récapitulatif de la stratégie d’isolements successifs : On isole : Poids 6 Le PFS donne : pivot en F {4} soumis à 2 forces {5+6} soumis à 3 forces (une connue et une Δ connue) pivot en E A Pivot en A 2 pivot en B ? pivot glissant d’axe (AB) F (5) (4) D (3) (2) (0) 3 ? 1 6 pivot en D 4 0 {3} soumis à 3 forces (une connue et une Δ connue) C 5 pivot en C {1+2} soumis à 2 forces E ? B (6) G 6 (1) 49

3. 4 Stratégie d’isolements successifs Fiche SYNTHESE (à noter !) : Poids 6 Tracer le graphe des A. M pivot en F Repérer chaque A. M connue De l’A. M connue à celle recherchée, sans passer par le bâti : Repérer les systèmes (pouvant contenir plusieurs CEC) soumis à deux forces. Le PFS donnera leurs directions. pivot en E 0 Pivot en A ? 5 pivot en D 4 3 pivot en C ? 1 6 2 pivot en B ? pivot glissant d’axe (AB) Repérer les systèmes soumis à trois forces dont une connue et une direction connue. Le PFS donnera toutes les forces. 50

3 e partie : Principe Fondamental de la Statique (PFS) FIN 3. 1 Énoncé du PFS * 3. 2 Application analytique du PFS à un seul système * 3. 3 Application graphique du PFS à un seul système * 3. 4 Stratégie d’isolements successifs * 51