MECANIQUE APPLIQUEE STATIQUE DU SOLIDE Statique du solide

MECANIQUE APPLIQUEE STATIQUE DU SOLIDE

Statique du solide Notions de calcul vectoriel - Somme géométrique de vecteurs - Notion de moment - Notion de couple de forces Equilibre du solide - Principe fondamental de la statique - Solide soumis à l’action de 2 forces extérieures - Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures concourantes (résolution graphique) - Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles. résolution graphique. résolution analytique

Statique du solide Notions de calcul vectoriel - Somme géométrique de vecteurs - Notion de moment - Notion de couple de forces Equilibre du solide - Principe fondamental de la statique - Solide soumis à l’action de 2 forces extérieures - Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures concourantes (résolution graphique) - Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles. résolution graphique. résolution analytique

Notions de calcul vectoriel Somme géométrique de vecteurs F 2 F 1 + F F =

Notions de calcul vectoriel Somme géométrique de vecteurs F 2 F 1 + F F =

Notions de calcul vectoriel Somme géométrique de vecteurs F 1 - F 2 = F 1 + F 2 F F 1 = F

Notions de calcul vectoriel Somme géométrique de vecteurs F 1 F 2 + + F 2 F 1 F 3 = 0

Notion de moment Moment d’une force par rapport à un point Le moment d’une force par la distance … et s’écrit: Moment par rapport au point O… F O, est égal au produit de l’Intensité de F d’action de la force F au point O par rapport à un point d entre la ligne Mo F O F … de la force F d Mo F = II F II x d I

Notion de moment Moment d’une force par rapport à un point Sens conventionnel d’un moment F -O + + F d Mo F = + ( II F II x d )

Notion de moment Moment d’une force par rapport à un point Sens conventionnel d’un moment -O F + - F d Mo F = - ( II F II x d )

Notion de moment Moment d’une force par rapport à un point Exemple d’application F O d

Notion de moment Moment d’une force par rapport à un point Exemple d’application 10 N O 0, 1 m

Notion de moment Moment d’une force par rapport à un point Exemple d’application M 0 F = 10 x 0, 1 = 1 N. m * O 10 N 0, 1 m * Dans ce cas particulier, cette valeur correspond au « couple de serrage » de la vis en mécanique automobile…

Notion de couple de forces Un couple de forces est composé de 2 forces … - Les droites d’action de ces 2 forces sont parallèles. - Les forces sont de sens contraire. - Les 2 forces ont la même intensité O IIFII F F IIFII

Notion de couple de forces Moment d’un couple de forces Le moment d’un couple de forces est égal au produit de l’ intensité de l’une des 2 forces… …par la distance d de leurs droites d’action. d O F F + O F d 2 d 1 d F MO F = (IIFII x d 1) + (IIFII x d 2) = IIFII x (d 1+d 2) MO F = (IIFII x d ) IIFII

Notion de couple de forces Exemple d’application Moment du couple appliqué par un conducteur sur le volant de son véhicule… F F O O 6 N 6 N d 350 Mo F (N. m) = 6 x 0, 35 = 2, 1 N. m

Equilibre du solide Principe fondamental de la statique Définition: En statique, un solide est en équilibre s’il est et demeure immobile par rapport à un repère fixe. Principe fondamental: Un solide est en équilibre lorsque … -la somme vectorielle des actions extérieures qui le sollicitent est égale au vecteur nul. S F ext. = 0 F 1 + F 2 + F 3 …+ Fn = 0 -la somme des moments de ces actions extérieures par rapport à un point (O), est nulle. S Mo = 0 Mo F 1 + Mo F 2 +Mo F 3 …+Mo Fn = 0

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 2 forces extérieures On lie 2 ficelles 2 et 3 aux extrémités du solide 1… … et on applique, par l’intermédiaire de ces 2 ficelles, 2 forces d’intensité égales et opposées sur ce même solide… 2 Vue F 1 1 3

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 2 forces extérieures On lie 2 ficelles 2 et 3 aux extrémités du solide 1… … et on applique, par l’intermédiaire de ces 2 ficelles, 2 forces d’intensité égales et opposées sur ce même solide… IIFII = 2 N 2 A 2/1 A 1 1 B 3/1 IIFII = 2 N

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 2 forces extérieures Sous l’action des 2 forces, le solide 1 se place en position d’équilibre… IIFII = 2 N 2 A 2/1 A 1 1 B 3/1 IIFII = 2 N

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 2 forces extérieures Sous l’action des 2 forces, le solide 1 se place en position d’équilibre… Les 2 forces ont maintenant la même ligne d’action (D 1) … … qui passe par les points d’application de ces mêmes forces… IIFII = 2 N 2 A 2/1 A 1 1 B 3/1 (D 1) IIFII = 2 N

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 2 forces extérieures Théorème d’équilibre: Un solide soumis à 2 forces est en équilibre si ces 2 forces sont: - égales et directement opposées A 2/1 A IIFII = 2 N 2 - Même droite d’action - Même intensité - Sens contraire 1 1 Bilan des forces extérieures qui sollicitent le solide 1: Forces B A 2/1 B 3/1 (D 1) Point d’application A B B 3/1 IIFII = 2 N Droite d’action Sens Intensité 3 D 1 2 N

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures concourantes Une bille 1 se trouve en position d’équilibre sur 2 blocs 2 et 3. 1 2 3

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures concourantes Isolons la bille 1… 1 2 3

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures concourantes La bille 1 est en équilibre sous l’action de : - Une force à distance, son poids P appliqué au centre de gravité G de la bille… - Une force au point A du bloc 2 sur la bille 1 (A 2/1) - Une force au point B du bloc 3 sur la bille 1 (B 3/1) 1 (D 1) A A B 2 Bilan des forces extérieures qui sollicitent le solide 1: G 3 B P Forces Point d’application Droite d’action Sens Intensité P G D 1 A 2/1 A ? ? ? B 3/1 B ? ? ? m. g

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures concourantes Conclusions: - La bille 1 est en équilibre sous l’action de 3 forces extérieures… les lignes d’action de ces 3 forces sont concourantes en un même point la somme géométrique de ces 3 forces est nulle. 1 (D 1) A A B 2 Bilan des forces extérieures qui sollicitent le solide 1: G 3 B P Forces Point d’application Droite d’action Sens Intensité P G D 1 A 2/1 A ? ? ? B 3/1 B ? ? ? m. g

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures concourantes 1. les lignes d’action de ces 3 forces sont concourantes en un même point… La liaison entre la bille 1 et le bloc 2 est un contact ponctuel… la ligne d’action (D 2) de A 2/1 est perpendiculaire au plan tangent entre 1 et 2 1 (D 1) A A B 2 (D 2) Bilan des forces extérieures qui sollicitent le solide 1: G 3 B P Forces Point d’application Droite d’action Sens Intensité P G D 1 A 2/1 A D 2 ? ? ? B 3/1 B ? ? ? m. g

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures concourantes 1. les lignes d’action de ces 3 forces sont concourantes en un même point… la ligne d’action (D 2) de A 2/1 coupe la ligne d’action (D 1) de P au point I… 1 (D 1) A I (D 1) A B 2 (D 2) Bilan des forces extérieures qui sollicitent le solide 1: G 3 B P Forces Point d’application Droite d’action Sens Intensité P G D 1 A 2/1 A D 2 ? ? ? B 3/1 B ? ? ? m. g

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures concourantes 1. les lignes d’action de ces 3 forces sont concourantes en un même point… la ligne d’action (D 3) de B 3/1 passe par le point B et le point I… 1 (D 1) A I (D 1) A B 2 (D 2) Bilan des forces extérieures qui sollicitent le solide 1: G 3 (D 3) B P Forces Point d’application Droite d’action Sens Intensité P G D 1 A 2/1 A D 2 ? ? ? B 3/1 B D 3 ? ? ? m. g

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures concourantes 2. La somme géométrique des 3 forces est nulle… Le polygone ( ou dynamique) des forces est fermé… 1 (D 1) A B 2 (D 2) Bilan des forces extérieures qui sollicitent le solide 1: G 3 (D 3) B P Forces Point d’application Droite d’action Sens Intensité P G D 1 A 2/1 A D 2 ? ? ? B 3/1 B D 3 ? ? ? m. g

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures concourantes 2. La somme géométrique des 3 forces est nulle… Le polygone ( ou dynamique) des forces est fermé… (D 1) 1 B 3 (D 1) /1 P A B 2 Bilan des forces extérieures qui sollicitent le solide 1: /1 (D 2) A 2 (D 3) G A B 3 Forces Point d’application Droite d’action Sens Intensité P G D 1 A 2/1 A D 2 ? ? ? B 3/1 B D 3 ? ? ? m. g

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures concourantes 2. La somme géométrique des 3 forces est nulle… Le polygone ( ou dynamique) des forces est fermé… (D 1) 1 B 3 (D 1) /1 P A B 2 Bilan des forces extérieures qui sollicitent le solide 1: /1 (D 2) A 2 (D 3) G A B 3 Forces Point d’application Droite d’action Sens Intensité P G D 1 A 2/1 A D 2 ? ? A 2/1 ? B 3/1 B D 3 ? ? ? B 3/1 m. g

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Un véhicule (1) de masse (m) est en équilibre sur le sol (0) Objectif: Déterminer graphiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. 1 0

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Déterminer graphiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. Bilan des forces extérieures appliquées sur le véhicule… 1 G F Pt Ap. P G D. act. Sens D 1 P (D 1) 0 - Une force à distance, le poids ( P ) appliqué au centre de gravité ( G ) du véhicule… Int. m. g

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Déterminer graphiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. Bilan des forces extérieures appliquées sur le véhicule… 1 G A 0/1 (D 2) A P (D 1) F Pt Ap. D. act. P A 0/1 G A D 1 D 2 Sens Int. m. g ? 0 - La résultante des actions de contact (A 0/1) du sol (0) sur les roues arrière du véhicule (1)

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Déterminer graphiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. Bilan des forces extérieures appliquées sur le véhicule… 1 G A 0/1 (D 2) A P (D 1) B (D 3) B 0/1 F Pt Ap. D. act. P A 0/1 B 0/1 G A D 1 D 2 B D 3 Sens Int. m. g ? ? 0 - La résultante des actions de contact (B 0/1) du sol (0) sur les roues avant du véhicule (1)

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Déterminer graphiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. Méthode de résolution Sur le dynamique: 1 1. Tracer le vecteur P (à l’échelle des forces) 2. Choisir un pôle (P) (point pris arbitrairement) 3. Tracer les rayons polaires 1 et 2 encadrant le vecteur P G A 0/1 (D 2) A P (D 1) B (D 3) B 0/1 0 P 1 2 Dynamique P

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Déterminer graphiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. Méthode de résolution Sur le funiculaire: 1 4. Tracer les droites d’action des 3 forces. 5. Prendre un point ( i ) sur la droite d’action de P G A 0/1 P A (D 2) B (D 1) (D 3) i 2’ Ld. F B 0/1 0 6. Tracer la droite 1’ parallèle aux rayon polaire 1, passant par le point ( i ) et coupant la ligne d’action de l’une des actions à déterminer (ex: D 3). 7. Tracer la droite 2’ parallèle au rayon polaire 2, passant par le point ( i ) et coupant la ligne d’action de l’autre action à déterminer (D 2). 8. Fermer le funiculaire par la ligne de fermeture(Ld. F) qui joint les lignes d’actions des 2 forces à déterminer. 1’ P 1 2 Funiculaire Dynamique P

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Déterminer graphiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. Méthode de résolution Sur le dynamique: 1 9. Tracer la parallèle à la ligne de fermeture passant par le pôle ( P ) du dynamique. G A 0/1 P A (D 2) B (D 1) (D 3) i 2’ Ld. F B 0/1 0 1’ P 1 2 Funiculaire Dynamique P

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Déterminer graphiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. Méthode de résolution 1 Détermination de II A 0/1 II : La ligne de force (Ld. F) et la ligne 2’ se coupant sur la ligne d’action (D 2) de A 0/1 , sur le funiculaire… G A 0/1 P A (D 2) B (D 1) Ld. F Funiculaire 0 (D 3) i 2’ B 0/1 L’intensité de A 0/1 sera déterminée sur le dynamique (en tenant compte de l’échelle des forces) entre la parallèle à la ligne de fermeture et le rayon polaire 2… 1’ P A 0/1 1 2 Dynamique P

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Déterminer graphiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. Méthode de résolution 1 Détermination de II A 0/1 II : La ligne de force (Ld. F) et la ligne 2’ se coupant sur la ligne d’action (D 2) de A 0/1 , sur le funiculaire… G A 0/1 P A (D 2) B (D 1) Ld. F Funiculaire 0 (D 3) i 2’ B 0/1 L’intensité de A 0/1 sera déterminée sur le dynamique (en tenant compte de l’échelle des forces) entre la parallèle à la ligne de fermeture et le rayon polaire 2… 1’ P A 0/1 1 2 Dynamique P

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Déterminer graphiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. Méthode de résolution 1 Détermination de II B 0/1 II : La ligne de force (Ld. F) et la ligne 1’ se coupant sur la ligne d’action (D 3) de B 0/1 , sur le funiculaire… G A 0/1 P A (D 2) B (D 1) Ld. F Funiculaire 0 (D 3) i 2’ B 0/1 L’intensité de B 0/1 sera déterminée sur le dynamique (en tenant compte de l’échelle des forces) entre la parallèle à la ligne de fermeture et le rayon polaire 1… 1’ B 0/1 A 0/1 P 1 2 Dynamique P

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Déterminer graphiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. Méthode de résolution 1 Détermination de II B 0/1 II : La ligne de force (Ld. F) et la ligne 1’ se coupant sur la ligne d’action (D 3) de B 0/1 , sur le funiculaire… G A 0/1 P A (D 2) B (D 1) Ld. F Funiculaire 0 (D 3) i 2’ B 0/1 L’intensité de B 0/1 sera déterminée sur le dynamique (en tenant compte de l’échelle des forces) entre la parallèle à la ligne de fermeture et le rayon polaire 1… 1’ B 0/1 A 0/1 P 1 2 Dynamique P

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Un véhicule (1) de masse m = 1800 kg, est en équilibre sur le sol (0) Objectif: Déterminer analytiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. 1 0

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Déterminer analytiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. Bilan des forces extérieures appliquées sur le véhicule… 1 1500 1000 G (D 1) F Pt Ap. P G D. act. Sens D 1 0 - Une force à distance, le poids ( P ) appliqué au centre de gravité ( G ) du véhicule… * IIPII = 1800 x 9. 81 = 17640 N Int. m. g*

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Déterminer analytiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. Bilan des forces extérieures appliquées sur le véhicule… 1 1500 1000 G F Pt Ap. P G D. act. Sens D 1 P (D 1) 0 - Une force à distance, le poids ( P ) appliqué au centre de gravité ( G ) du véhicule… * IIPII = 1800 x 9. 81 = 17640 N N Int.

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Déterminer analytiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. Bilan des forces extérieures appliquées sur le véhicule… 1 1500 1000 G A 0/1 (D 2) A P (D 1) F Pt Ap. D. act. P A 0/1 G A D 1 D 2 Sens Int. 17640 N ? 0 - La résultante des actions de contact (A 0/1) du sol (0) sur les roues arrière du véhicule (1)

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Déterminer analytiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. Bilan des forces extérieures appliquées sur le véhicule… 1 1500 1000 G A 0/1 (D 2) A P (D 1) B (D 3) B 0/1 F Pt Ap. D. act. P A 0/1 B 0/1 G A D 1 D 2 B D 3 Sens Int. 17640 N ? ? 0 - La résultante des actions de contact (B 0/1) du sol (0) sur les roues avant du véhicule (1)

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Déterminer analytiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. Bilan des forces extérieures appliquées sur le véhicule… 1 1500 1000 G A 0/1 A (D 2) P B (D 1) B 0/1 F Pt Ap. D. act. P A 0/1 B 0/1 G A D 1 D 2 B D 3 Sens Int. 17640 N 0 (D 3) Principe fondamental de la statique : S F ext = 0 S MF EXT. = 0 * A 0/1 + P + B 0/1 = 0 M A(A 0/1) + M A( P ) + M A(B 0/1) =0 * On choisit comme centre des moments, le point d’application de l’une des 2 forces d’intensité inconnue… Dans cet exemple, choisissons le point A… ? ?

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Déterminer analytiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. Bilan des forces extérieures appliquées sur le véhicule… 2500 1 + 1000 1500 - G A 0/1 P A (D 2) B (D 1) M A(A 0/1) B 0/1 A( P ) Pt Ap. D. act. P A 0/1 B 0/1 G A D 1 D 2 B D 3 Sens 17640 N ? ? +M A(B 0/1) =0 (IIA 0/1 II x 0) - (IIPII x 1, 5) + (IIB 0/1 II x 2, 5) = 0 0 - (17640 x 1, 5) + (IIB 0/1 II x 2, 5) = 0 (IIB 0/1 II x 2, 5) Int. 0 Repérons le sens conventionnel des moments… (D 3) + M F = 17640 x 1, 5 IIB 0/1 II = 17640 x 1, 5 2, 5 = 10584 N

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Déterminer analytiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. Bilan des forces extérieures appliquées sur le véhicule… 2500 1 + 1000 1500 - G A 0/1 P A (D 2) B (D 1) M A(A 0/1) B 0/1 A( P ) Pt Ap. D. act. P A 0/1 B 0/1 G A D 1 D 2 B D 3 Sens 17640 N ? +M A(B 0/1) =0 (IIA 0/1 II x 0) - (IIPII x 1, 5) + (IIB 0/1 II x 2, 5) = 0 0 - (17640 x 1, 5) + (IIB 0/1 II x 2, 5) = 0 (IIB 0/1 II x 2, 5) Int. 0 Repérons le sens conventionnel des moments… (D 3) + M F = 17640 x 1, 5 IIB 0/1 II = 17640 x 1, 5 2, 5 = 10584 N

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Déterminer analytiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. Bilan des forces extérieures appliquées sur le véhicule… 2500 1 + 1000 1500 - G A 0/1 A (D 2) S F ext = 0 P (D 1) B B 0/1 F Pt Ap. D. act. P A 0/1 B 0/1 G A D 1 D 2 17640 N B D 3 10584 N 0 (D 3) A 0/1 + P + B 0/1 = 0 IIA 0/1 II -IIPII + IIB 0/1 II = 0 IIA 0/1 II = IIPII - IIB 0/1 II = - = 7056 N Sens Int. ?

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Déterminer analytiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. Bilan des forces extérieures appliquées sur le véhicule… 2500 1 + 1000 1500 - G A 0/1 A (D 2) S F ext = 0 P (D 1) B B 0/1 F Pt Ap. D. act. P A 0/1 B 0/1 G A D 1 D 2 17640 N B D 3 10584 N 0 (D 3) A 0/1 + P + B 0/1 = 0 IIA 0/1 II -IIPII + IIB 0/1 II = 0 IIA 0/1 II = IIPII - IIB 0/1 II = 17640 - 10584 = 7056 N Sens Int.

Equilibre du solide Solide soumis à l’action de 3 forces extérieures parallèles Déterminer analytiquement l’intensité des résultantes des actions de contact du sol sur les roues avant et arrière du véhicule. Bilan des forces extérieures appliquées sur le véhicule… 2500 1 + 1000 1500 - G A 0/1 A (D 2) S F ext = 0 P (D 1) B B 0/1 F Pt Ap. D. act. P A 0/1 B 0/1 G A D 1 D 2 17640 N B D 3 10584 N 0 (D 3) A 0/1 + P + B 0/1 = 0 IIA 0/1 II -IIPII + IIB 0/1 II = 0 IIA 0/1 II = IIPII - IIB 0/1 II = 17640 - 10584 = 7056 N Sens Int. 7056 N