Equilibre dun solide Statique analytique STATIQUE DU SOLIDE

Equilibre d’un solide Statique analytique

STATIQUE DU SOLIDE III – Isolement et équilibre d’un solide Équilibre d’un solide 1 ere condition d’EQUILIBRE d'un solide : « Théorème des FORCES » La somme vectorielle des FORCES EXTERIEURES appliquées à un solide en équilibre est NULLE S = F 1 + F 2 +. . . + Fi = 0

III – Isolement et équilibre d’un solide STATIQUE DU SOLIDE Équilibre d’un solide Théorème des forces Prenons l’exemple d’un objet soutenu avec un fil : Que subit l'objet ? F fil. Y objet avec F = - P P Le fil, comme l'objet, est en équilibre A main. Yfil Que subit le fil ? F objet. Yfil sous l'action de deux forces qui sont "égales et opposées"

STATIQUE DU SOLIDE III – Isolement et équilibre d’un solide Équilibre d’un solide Reprenons l’exemple de la porte… M(F 1) F 1 = - F 2 Les forces s’équilibrent… Mais qu’en est-il des moments ? F 2 M(F 1) = d 1 x F 1 M(F 2) = d 2 x F 2 sont opposés donc les moments s’opposent aussi mais ne s’équilibrent pas car d 2 < d 1 F 1 et F 2 M(F 2) Donc la porte s’ ouvre

STATIQUE DU SOLIDE III – Isolement et équilibre d’un solide Équilibre d’un solide 2 eme condition d’EQUILIBRE d'un solide « Théorème des MOMENTS » La somme des MOMENTS DES FORCES EXTERIEURES appliqués à un solide en équilibre est NULLE MA =MA (F 1) + MA (F 2) +. . . + MA (Fi) = 0

STATIQUE DU SOLIDE III – Isolement et équilibre d’un solide Équilibre d’un solide On s’aperçoit donc que pour être en équilibre, il faut que la somme des forces extérieures et la somme des moments extérieurs appliqués sur un solide soient nulles. Ceci nous amène à formuler le… PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (PFS) : Dans un repère GALILEEN, pour tout système isolé (S) en équilibre par rapport à ce repère, la somme de toutes les actions mécaniques extérieures exercées sur (S), est nulle. S = F 1 + F 2 +. . . + Fi = 0 MA =MA (F 1) + MA (F 2) +. . . + MA (Fi) = 0

IV –Résolution des problèmes de STATIQUE DU statique SOLIDE Méthodes de résolution L’objectif de la statique est de calculer l’ensemble des actions mécaniques appliquées à un solide en équilibre. Pour résoudre de tels problèmes, nous disposons de plusieurs méthodes de résolution, réparties en 2 « familles » Analytique (utilisée pour tout Graphique (Utilisée pour les problème et surtout ceux en 3 D) problèmes plans ) Théorème des forces (cas de trois forces colinéaires) Théorème des moments (cas de trois forces parallèles) Méthode des torseurs (elle n’est pas au programme) Solide soumis à deux forces Solide soumis à trois forces

IV –Résolution des problèmes de STATIQUE DU statique SOLIDE Méthodes de résolution Quel que soit le problème à résoudre, vous devrez commencer par la séquence qui suit afin de bien choisir la méthode de résolution. Isoler le système étudié Aidez-vous du graphe des liaisons Modéliser les actions extérieures et les nommer N’oubliez pas les actions à distance ! Faire le bilan de ces actions On utilise généralement un tableau sur ce modèle : Nom de l’action Point d’application Direction et sens Cette séquence est Intensité à retenir Dans les cases de ce tableau, on écrit tout ce qui est connu. Lorsque l’information est manquante, on y note un point d’interrogation. Résoudre le problème Choisir la bonne méthode : Analytique ou graphique

STATIQUE DU SOLIDEStatique analytique IV –Résolution des problèmes de Analytique (utiliséestatique pour tout problème et surtout ceux en 3 D) Le théorème des forces est généralement utilisé dans le cas, le plus simple, où toutes les forces appliquées à un solide sont alignées. La somme vectorielle est alors suffisante. Théorème des forces Théorème des moments Méthode des torseurs S = F 1 + F 2 +. . . + Fi = 0 Exemple : passager dans un ascenseur : • Choix du solide à isoler : l’ascenseur+câble+passager z T P 2 P 1 • Bilan des actions : - Poids du passager P 2=750 N Toutes ces forces - Poids de l ’ascenseur P 1 3000 N sont alignées - Tension du câble T = ? Cette • Application du théorème des forces : méthode P 1 + P 2 + T = 0 est à Attention, l’application numérique n’est pas directe ! Il faut projeter les vecteurs retenir forces sur l’axe z (arbitraire). - P 1 - P 2 + T = 0 • Application numérique : T = P 1 + P 2 = 3750 N

STATIQUE DU SOLIDEStatique analytique IV –Résolution des problèmes de Analytique (utiliséestatique pour tout problème et surtout ceux en 3 D) Le théorème des moments est utilisé lorsque l’on a plusieurs forces parallèles. T Théorème des forces Théorème des moments Méthode des torseurs P 2 =? P 1 =? En effet le théorème des forces, seul, s’avère insuffisant car des moments de forces apparaissent. M/A(T) T A P 1 =? M/A(P 2) P 2 =? P 1 + P 2 + T = 0 Il faut donc aussi exprimer les moments de ces forces par rapport à un point (judicieusement choisi, par exemple le point A). M A =M A(P 1) + M A(P 2) +. . . + M A(T) = 0

IV –Résolution des problèmes de Analytique (utiliséestatique pour tout STATIQUE DU SOLIDEStatique analytique Exemple : La barrière A 0 2 A + G 1 G 2 problème et surtout ceux en 3 D) P 2 B B 0 2 Théorème des forces Théorème des moments Méthode des torseurs P 1 0, 5 m 3 m 3, 5 m • On choisit le solide à isoler : La lisse (2) avec son contrepoids (1) • Bilan des actions : - Poids du contrepoids P 1=1000 N - Poids de la lisse P 2 = 200 N - Action du pivot A 0 2 = ? - Action de la butée B 0 2 = ? Toutes ces forces sont parallèles Cette est à M A =M A(P 1) + M A(P 2) + M A(A 0 2) + M A(B 0 2)méthode =0 retenir Attention, pour passer de la relation vectorielle à la relation algébrique, il faut tenir compte du • Application du théorème des moments : signe du moment par rapport au sens choisi (arbitraire mais de préférence direct) et projeter la relation vectorielle sur un axe (ici z). M A = M A(P 1) – M A(P 2) + M A(A 0 2) + M A(B 0 2) = 0 0, 5 x. P 1 -3 x. P 2+ 0 + 6, 5 x. B 0 2 = 0 • Application numérique : B 0 2 = (AG 2. P 2 - AG 1. P 1) / AB = (3*200 - 0. 5*1000) / 6. 5 = 15. 38 N