METODA ELEMENTELOR FINITE L 2 Catedra de Constructii

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice METODA RIGIDITATII (DSM) Cel mai simplu element structural este bara dublu articulata (pendulul), capabila sa preia numai forta axiala (forta taietoare si momentul incovoietor sunt zero). 2 Fx=10 (1) 1 (2) Fy = -20 (3) 3 Nivelul efortului unitar in fiecare componenta structurala se considera suficient de redus astfel incat materialul sa se gaseasca in domeniul linearelastic de comportare si este exclusa pierderea stabilitatii (flambajul). 1

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice FORTE SI DEPLASARI NODALE Geometria barei este referentiata fata de un sistem de coordonate carteziene, Sistemul Global de Coordonate. Principalii parametri ai problemei, fortele si deplasarile nodale sunt, pe componente: fy, 2, v 2 fx, 2, u 2 2 L(1)=10 EA(1)=100 (2) (1) y L(2)=10 EA(2)=100 fy, 3, v 3 fy, 1, v 1 (3) fx, 1, u 1 1 x L(3)=20 EA(3)=100 3 fx, 3, u 3 2

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice SISTEMUL GLOBAL DE ECUATII Sistemul global de ecuatii exprima echibrul structural al problemei. Matricea de rigiditate globala face legatura intre deplasarile nodale si fortele nodale f, inainte de precizarea conditiilor de margine. K = f K – matricea de rigiditate globala 3

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice Termenii matricii de rigiditate pot fi interpretati prin alegerea unui vector al deplasarii astfel incat toate componentele sa fie 0 cu exceptia componentei “i”, care este 1. Coloana “i” a matricii de rigiditate devine astfel vectorul fortelor f. Spre exemplu, daca vectorul fortelor devine 4

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice ECUATII DE ECHILIBRU IN COORDONATE LOCALE – ETAPELE DESCOMPUNERII STRUCTURII 1. Separarea (deconectarea) componentelor 2 (1) (2) y x 1 (3) 3 Fiecarei componente (e), (e = 1, 2, 3), i se ataseaza un sistem de coordonate carteziene local, cu axa x orientata in lungul barei, sensul pozitiv fiind ales prin conventie de la nodul i spre nodul j, i < j. Sistemul de coordonate este denumit si sistem de coordonate atasat. 5

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice 2. Localizare Pentru componenta generica, sistemul local de coordonate este fy, i, vi fy, j, vj (e) fx, i, ui F i ks=EA/L L fx, j, uj j F d 6

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice 3. Ecuatiile de echilibru pe componente Componentele vectorilor forta si deplasare sunt legate intre ele prin relatii de echilibru exprimate prin relatiile in care vectorii sunt denumiti forte nodale componentale si deplasari nodale componentale, iar matricea este matricea de rigiditate componentala. 7

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice Utilizand echivalenta cu resortul elastic, expresia fortei axiale este Care poate fi exprimata in termenii fortelor si deplasarilor nodale ca: dezvoltare din care se pune in evidenta matricea de rigiditate componentala. 8

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice PROCESUL DE ASAMBLARE Asamblarea presupune doua etape: transformarea inversa a fiecarei componente in sistemul de coordonate global si sumarea ecuatiilor pentru formarea sistemului global de ecuatii. 1. Transformarea coordonatelor Aceata etapa defineste relatia matriceala de transformare a fortelor si deplasarilor nodale dintr-un sistem de coordonate in altul (local si global). j (e) i 9

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Matricea cu termenii c si s se numeste deplasarilor Td. Catedra de Constructii Hidrotehnice matricea transformarii Matricea transformarii fortelor Tf este folosita pentru exprimarea fortelor in sistemul de coordonate global pe baza fortelor nodale din sistemul de coordonate local. 10

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice Matricea transformarii fortelor este transpusa matricii transformarii deplasarilor 2. Globalizare Lucrand in sistemul de coordonate global este necesar sa introducem indicele componentei e. Ecuatiile de echilibru componentale in sistemul global de coordonate vor fi: 11

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice Calculand produsul matriceal, matricea de rigiditate componentala exprimata in sistemul global de coordonate devine: 12

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice Astfel, inlocuind datele geometrice, matricele de rigiditate componentale in sistemul global devin: - componenta (1), = 45 , - componenta (2), = - 45 , , 13

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice - componenta (3), = 0 , c = 1, s = 0 3. Reguli de asamblare Elementul esential in procesul de asamblare il reprezinta “plasarea” corecta a contributiei fiecarei componente in sistemul global de ecuatii. Operatia de asamblare poate fi interpretata ca reconectarea fizica a componentelor in procesul de fabricare a structurii. Ea este supusa urmatoarelor reguli: 1. Compatibilitatea deplasarilor – deplasarile tuturor componentelor convergente intr-un nod sunt aceleasi (sunt egale). 2. Echilibrul fortelor – suma fortelor exercitate de toate componentele convergente intr-un nod echilibreaza forta exterioara aplicata in acel nod. 14

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice Spre exemplu, pentru nodul 3 4. Extinderea matricelor si asamblare Matricele de rigiditate componentale trebuie extinse (eventual prin partitionare) si adaugarea de linii si coloane cu termeni nuli, astfel incat dimensiunea acestora sa corespunda numarului total de componente ale parametrilor structurii (forte si deplasari nodale). 15

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice - componenta (1) - componenta (2) 16

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice - componenta (3) In conformitate cu prima regula, se poate renunta la indexul componentei corespunzator vectorului deplasarilor (stanga). Cele 3 ecuatii pot fi scrise in forma matriceala ca: In conformitate cu a doua regula: 17

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice Operatia de asamblare devine o simpla sumare matriceala. Eliminand indexul componentei, sistemul global de ecuatii devine 18

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice SOLUTIA In aceasta forma, sistemul global de ecuatii nu poate fi rezolvat deoarece matricea K este singulara (randurile si coloanele formeaza combinatii lineare). Interpretarea fizica este cea de deplasare a structurii ca solid rigid fara legaturi (miscare nesuprimata), deoarece nu au fost prevazute conditii de margine sub forma legaturilor. Pentru a elimina ecest inconvenient, se aplica conditiile de margine: Cel mai simplu mod de exprimare a conditiilor de margine este eliminarea ecuatiilor asociate deplasarilor suprimate, ceea ce conduce la sistemul de ecuatii redus. In cazul de fata se elimina randurile si coloanele 2, 5 si 6: 19

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice Matricea coeficientilor nu mai este singulara si sistemul de ecuatii poate fi rezolvat. Prin rezolvare, rezulta: numita solutia redusa in deplasari. Valorile deplasarilor sunt denumite necunoscutele primare ale problemei. Solutia redusa se extinde la cele 6 componente, prin adaugarea termenilor nuli: 20

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice NECUNOSCUTE SECUNDARE Cantitati precum fortele axiale, eforturile unitare axiale sau reactiunile pe directia gradelor de libertate blocate sunt numite necunoscute secundare. Ele pot fi calculate pe baza solutiei in deplasari. Pentru acest tip de componenta structurala, fortele interne sunt numai forte axiale, notate cu p(1), p(2) si p(3). 2 p(1) 1 p(2) p(3) 3 Forta axiala p(e) a componentei (e) poate fi obtinuta prin utilizarea deplasarilor calculate din solutia globala. 21

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice Deplasarile nodale in coordonate locale se determina prin multiplicarea cu matricea transformarii deplasarilor T(e): Deplasarea relativa (alungirea – scurtarea) se calculeaza ca iar forta axiala, deformatia specifica si efortul unitar axial se determina din relatiile ce definesc echivalenta cu resortul elastic: 22

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice INTRODUCERE IN PROCEDURILE MEF Arhitectura programelor dedicate MEF corespunde principalelor etape ale unei analize standard. Principalele 3 componente (rutine): - preprocesorul; - procesorul sau solverul; - postprocesorul. O analiza tipica utilizand MEF parcurge urmatoarele etape: - construirea modelului; - aplicarea incarcarilor*; - obtinerea solutiei; - exploatarea rezultatelor * Notiunea “incarcari” are in acest context o semnificatie generala, avand in vedere multitudinea analizelor ce pot fi efectuate 23

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice PREPROCESAREA – etapa dedicata construirii modelului virtual (salvat in memoria calculatorului sub forma unui fisier tip baza de date). In mod obisnuit aceasta este etapa care necesita implicarea cea mai indelungata a utilizatorului. Construirea modelului virtual: • alegerea tipului (tipurilor) de elemente finite potrivite analizei; • asocierea unor seturi de constante reale pentru descrierea completa a elementelor (daca este cazul); • alegerea materialelor si atribuirea proprietatilor acestora; • definirea domeniului analizei (geometriei acestuia); • definirea conditiilor de margine; • definirea (aplicarea) incarcarilor; • salvarea bazei de date. 24

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice TIPURI DE ELEMENTE FINITE – BIBLIOTECA DE ELEMENTE Tipurile de elemente finite se aleg in functie de natura fenomenului supus analizei, spatiul modelat (2 D sau 3 D), gradului de detaliere al modelului, caracterul dorit al reluzultatelor, etc*: - Elemente pentru modelare obisnuita, de uz general (solide, placi, bare) - Elemente specializate (mase concentrate, elemente de contact, elemente compozite, etc) Constante reale asociate (aria sectiunii, grosimea placii, momente de inertie, eforturi initiale, etc) * Utilizarea in acelasi model a elementelor de clase diferite implica o atentie deosebita acordata conditiilor de margine si compatibiliatii deplasarilor (GDL). 25

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice PROPRIETATILE MATERIALELOR Important: un sistem coerent de unitati de masura, corelat cu cel utilizat in definirea geometriei. - valori constante (conductivitate termica, modul de elasticitate, permeabilitate, etc); - propertati variabile asociate fenomenelor nelineare (relatii efort – deformatie specifica, proprietati variabile cu temperatura, etc). 26

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice DEFINIREA DOMENIULUI SI A DISCRETIZARII 2 abordari posibile: - Modelarea solidului (solid modeling); - Generare directa (direct generation) Modelarea solidului – geometria modelului este definita folosind forme simple sau primitive, utilizant vertexuri (puncte cheie), linii, arii sau volume, supuse eventual operatiilor Booleene (adunare, scadere, extrudere, etc). Discretizarea este facuta automat, pe baza unor indicatii referitoare la finetea acesteia. Generarea directa – fiecare nod este definit prin coordonate, iar elementele rezulta prin conectarea nodurilor definite anterior. Domeniul poate fi construit si prin aplicatii CAD din afara programului pentru analize MEF utilizat, iar fisierele salvate in formate compatibile (*. iges; *. sat; etc) se importa in programul de calcul. 27

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice CONDITII DE MARGINE Regula importanta: asigurarea numarului minim de grade de libertate blocate pentru a evita singularitatea matricii globale (suprimarea deplasarii de solid rigid sau a comportarii de tip mecanism). Conditiile de margine se aplica in noduri sau in seturi de noduri preselectate pe diferite criterii (al coordonatelor, atasate liniilor sau ariilor, etc). Analiza Structurale: - suprimarea sau impunerea deplasarilor - cuplarea GDL ale nodurilor selectate (coincidente sau nu). Analize de Camp (termic, infiltratii): - valori nodale impuse (temperaturi, potential hidraulic, cunoscute); - proprietati ale conturului domeniului privind orientarea fluxului care strabate limita respectiva. 28

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice APLICAREA INCARCARILOR Cea mai uzuala semnificatie a notiunii de incarcare se refera la forte aplicate pe domeniul modelat (structura), in cazul unei analize structurale (mecanice) – valori nodale fortelor concentrate si orientarea acestora. Modelul poate sa fie supus si altor tipuri de incarcari: incarcari masice, incarcari de suprafata (presiuni), incarcari datorate campului termic, etc. Incarcari sub forma de conditii de margine: deplasari impuse (cedari de reazeme), temperaturi sau potentiale hidraulice impuse, etc. 29

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice SOLUTIA Etapa de calcul a matricelor caracteristice (K, M, C, etc), de rezolvare a sistemului algebric de ecuatii si de formare a bazei de date corespunzatoare rezultatelor (salvata sub forma de fisier). Complexitatea etapei de rezolvare depinde de numarul cazurilor de incarcare, a numarului pasilor de calcul, de linearitatea sau nelinearitatea solutiei, etc. 30

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 2 Catedra de Constructii Hidrotehnice POSTPROCESAREA Etapa de verificare si reprezentare a rezultatelor analizei. Se bazeaza pe existenta simultana a celor doua fisiere tip baza de date: modelul si rezultatele. Utilizarea rezultatelor pentru editarea: - Listelor de valori - Reprezentarilor grafice sugestive (relevante) - Graficelor de variatie a diferitilor parametri de interes - Animatiilor 31