METODA ELEMENTELOR FINITE L 5 Catedra de Constructii

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice PROBLEME NELINIARE IN MEF Codurile de proiectare, in special cele referitoare la proiectarea structurilor pentru cladiri supuse la solicitari dinamice exceptionale, iau in considerare comportarea structurilor dincolo de stadiul liniar-elastic de comportare. Scenariile de cedare se bazeaza pe dezvoltarea articulatiilor plastice in anumite zone ale structurii. In analize structurale, comportarea neliniara este asociata urmatoarelor aspecte: • schimbarea de stare; • neliniaritati de comportare a materialului; • neliniaritati geometrice (pierderea stabilitatii). 1

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice Componentele structurilor pot suferi o comportare neliniara dependenta de starea in care se gasesc: - un cablu poate fi intins sau relaxat; - un reazem-patina poate fi in contact sau nu. Schimbarea de stare poate sa depinda de incarcare, temperatura, etc. Relatia efort unitar - deformatie specifica este o cauza obisnuita de aparitie a neliniaritatilor (neliniaritati de comportare a materialului). Aceasta relatie este influentata de: - istoria incarcarii (comportare elasto-plastica); - conditiile de mediu (temperatura, umiditate); - durata de actiune a incarcarii (comportare vascoasa – curgere lenta). Schimbarea progresiva a configuratiei geometrice a structurii reprezinta principalul motiv al neliniaritatilor geometrice (cazul structurilor flexibile). 2

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice NELINIARITATI DE COMPORTARE A MATERIALULUI Formularea MEF se bazeaza pe sistemele de ecuatiile diferentiale liniare conduc la forma cuadratica standard a functionalei (sistemului de ecuatii algebrice), presupunand: - o relatie liniara deplasare – deformatie specifica - o relatie liniara efort unitar – deformatie specifica Acestea conduc, asa cum s-a aratat anterior, la sistemul de ecuatii 3

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice In multe probleme de interes practic, aceste liniaritati nu raman valabile: relatii constitutive complexe, elasticitate neliniara, plasticitate, curgere lenta, etc. In acest caz, relatia efort unitar – deformatie specifica nu mai este liniara si depinde uneori de parametrul timp; ea poate fi exprimata prin relatia neliniara In aceste conditii, sistemul de ecuatii algebrice va avea si el o forma neliniara Problema poate fi rezolvata fara reorganizarea (redefinirea) formularii standard in Elemente Finite. In procesul de rezolvare (solutiei), proprietatile materialului sunt ajustate treptat pentru a satisface conditiile de echilibru si compatibilitate ale legii constitutive, in cadrul unei relatii liniare echivalente, corespunzatoare unui anumit nivel al eforturilor unitare ("trial and error estimation“). Procedeul devine unul de rezolvare prin iteratii succesive. 4

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice Problemele neliniare pot fi independente de viteza de incarcare (elasticitate neliniara sau plasticitate) sau dependente de viteza de incarcare (curgere lenta, vasco-plasticitate), in care parametrul timp are o semnificatie importanta. In probleme neliniare, daca se ajunge la o solutie (proces iterativ convergent), aceasta nu este neaparat solutia cautata (solutia nu este unica). De multe ori, relatia constitutiva a materialului depinde de “traseul” incarcarii. Drept urmare, abordarea problemei prin considerarea unor pasi de incarcare redusi este esentiala pentru obtinerea unor rezultate cu semnificatie fizica corecta. 5

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice MODELE DE COMPORTARE NELINIARA Modelul neliniar-elastic, denumit si variabil-elastic, este caracterizat de o relatie neliniara efort-deformatie specifica, exprimata sub forma flexibilizare rigidizare Dupa descarcare nu apar deformatii remanente. Un caz special este modelul biliniar elastic, folositor pentru modelarea umpluturilor, pamanturilor, etc. Trecerea de la E 1 la E 2 se face automat in functie de nivelul efortului unitar atins in material. 6

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice Modelul elasto-plastic este caracterizat printr-o comportare elastica pana la nivelul de efort limita y (numit efort unitar de curgere), urmat de o relatie efort-deformatie neunivoca. s E e s p p = ? p Deformatii specifice remanente apar la indepartarea incarcarii. Se folosesc modele simplificate elastic – ideal plastic. Alte modele mai complicate tin seama de efectele de ecruisare. 7

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice Modelul visco-plastic este un model elasto – plastic in care parametrul timp este si el implicat. Pana la nivelul y, solidul se comporta liniar-elastic. Peste nivelul de efort y, o crestere instantanee a incarcarii este urmata de deformatii remanente ce se dezvolta in timp. 8

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice Modelul visco - elastic este caracterizat printr-o comportare elastica a materialului, asociata cu deformatii pe termen lung (curgere lenta), indiferent de nivelul de efort. e ve Viteza de deformare depinde de istoria incarcarii. La descarcare, deformatiile elastice dispar instantaneu, in timp ce deformatia vascoasa descreste in timp. 9

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice ELASTICITATE NELINIARA (comportarea variabil elastica) Procedeul matricelor de elasticitate tangente Daca, din legea constitutiva a materialului, matricea de elasticitate E poate fi explicitata sub forma atunci Et este numita matricea de elasticitate tangenta. Matricea de rigiditate corespunzatoare, calculata cu expresia definita anterior este numita matricea de rigiditate tangenta (Kt). 10

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice Odata definita matricea tangenta, comportarea materialului poate fi modelata printr-un proces iterativ. Pentru un nivel arbitrar de efort 0 (ales pe baza unei judecati ingineresti) se calculeaza matricele de elasticitae si rigiditate tangente. Cu ajutorul celei din urma, se calculeaza valorile deplasarilor nodale 1 prin rezolvartea sistemului global de ecuatii. 11

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice Pentru fiecare element finit, noua stare de efort unitar devine Noua valoare a efortului modifica in mod corespunzator matricele tangente. Procesul iterativ poate fi descris prin urmatoarele relatii: Pentru a considera procesul iterativ convergent, eroarea intre doua iteratii succesive exprimata ca trebuie sa scada treptat. In mod obisnuit, procesului iterativ i se se asociaza o norma a erorii. Acesta continua pana ce norma devine suficient de mica. 12

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice Procedeul este simplu, intuitiv, dar are doua dezavantaje: • nu este intotdeauna convergent; • matricele caracteristice se re-calculeaza la fiecare iteratie, la fel procesul de asamblare a matricii de rigiditate globala. Metoda matricii de rigiditate tangente (la fel ca si alte metode aproximative), se imbunatateste cand incarcarea se aplica gradual (in trepte mici). 13

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Pentru un increment al incarcarii Catedra de Constructii Hidrotehnice , algoritmul devine: • este • iar matricele tangente sunt la nivelul structurii (asamblare si rezolvare sistem) din care se calculeaza incrementul deplasarii • . revenind la nivelul elementului finit 14

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice Metoda efortului unitar initial (procedeul transferarii efortului unitar rezidual) Daca relatia efort-deformatie nu permite o exprimare analitica a matricii de elasticitate tangente, dar eforturile pot fi exprimate ca functie de deformatia specifica: atunci comportarea neliniara poate fi modelata prin corectii succesive ale efortului unitar. Se presupune o valoare cunoscuta, constanta, a matricii de elasticitate; pe baza ei se calculeaza matricea de rigiditate globala a structurii si vectorul deplasarilor nodale: 15

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice Pentru fiecare element, deformatiile si eforturile devin: Cele doua stari de eforturi, cea calculata si cea data de relatia intrinseca a materialului, nu coincid. Este necesara o corectie a eforturilor: 16

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice Aceasta corectie poate fi considerata ca o stare initiala de efort, corespunzand unei solicitari (forte nodale reziduale) neechilibrate, date de relatia: Pentru echilibru, aceste forte nodale reziduale trebuie redistribuite: Urmeaza: din care se calculeaza incrementul deplasarii . Corectia de deformatie si efort se poate face la nivelul elementului. Pentru fiecare element si iteratie, vectorul eforturilor neechilibtate va avea o noua valoare. Daca valoare acestuia este in continuare mare, este necesara o noua corectie. Daca vectorul eforturilor neechilibrate este mai mic decat norma acceptata, atunci iteratiile se opresc. 17

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice Observatii: • pentru fiecare iteratie, matricea de rigiditate globala este constanta si deci, inversa acesteia se calculeaza numai o singura data (in prima iteratie) • procedeul se asociaza cu succes cu incarcarea aplicata in trepte. 18

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice Metoda deformatiilor specifice deformatiei specifice reziduale) initiale (procedeul tranferului Daca legea constitutiva a materialului permite definire deformatiilor specifice ca functii de eforturi comportarea neliniara deformatiilor specifice. este modelata prin corectii succesive ale 19

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice NASTEREA SI MOARTEA ELEMENTELOR FINITE Starea de eforturi si de deformatii a structurilor civile si a fundatiilor acestora se modifica in fazele succesive de executie, valorile acestora putand fi importante pentru dimensionare. Excavatiile la suprafata sau cele subterane modifica starea naturala de eforturi si deformatii din masivul de fundare. Unele conditii ale mediului pot modifica semnificativ zone ale structurilor supuse analizei (topire, solidificare, zdrobire), producand modificari importante ale rigiditatii. Fenomenele pot fi modelate utilizand analize in elemente finite, prin procese de activare si dezactivare succesiva a unor grupuri de elemente finite selectate, supuse la modificari bruste ale rigiditatii. Procedeul poarta numele de nastere si moarte a elementelor finite. 20

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice Intregul model este creeat in faza de preprocesare, indiferent de pasul de calcul in care o anumita regiune a acestuia is schimba starea. Toate proprietatile elementelor corespunzatoare regiunilor care devin active sau se dezactiveaza trebuie atribuite la inceput. La inceputul solutiei, toate elementele sunt active. In functie de stadiul analizei, in diversi pasi de calcul, parti ale modelului isi pot schimba starea (se dezactiveaza, se reactiveaza, etc). 21

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice Observatii: Elementele inactive (“moarte”) nu sunt eliminate din discretizare (dezactivarea nu reprezinta stergerea elementelor din baza de date, operatie dealtfel imposibila in faza de solutie). Programul dezactiveaza elementele selectate prin inmultirea valorilor matricelor caracteristice cu valori foarte mici (implicite sau setate de utilizator). Matricea maselor, matricea de amortizare (in cazul analizelor dinamice) sau cele ale conductivitatii termice sunt anulate si nu se mai sumeaza la asamblare. De asemenea, fortele aplicate anterior in nodurile elementelor dezactivate se anuleaza, la fel deformatia specifica. Reactivarea elementelor nu inseamna adaugarea unor elemente in discretizare. Programul restaureaza valorile initiale matricelor caracteristice. Pentru a reactiva o zona a modelului, aceasta trebuie sa fie anterior dezactivata intr-un pas de calcul anterior. Elementele reactivate nu au memoria istoriei anterioare a incarcarilor. Elementele reactivate isi incep contributia la comportarea modelului in forma deformata la care au ajuns in pasii de calcul anteriori. 22

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice Excavatii prijinite Modelarea unei excavatii sprijinite cu sectiune dreptunghiulara. Masivul are proprietati constante in lungul axului longitudinal (problema analizata in stare de Spraituri deformatie plana. . H 1 Strat 2 Adancime excavatie Strat 1 H 2 Strat 3 Model in elemente finite 1 2 3 4 5 1 … 5 – etape de excavare succesiva 23

METODA ELEMENTELOR FINITE – L 5 Catedra de Constructii Hidrotehnice Modelarea fazelor de executie ale unui dig (baraj din umpluturi de pamant) H 2 Inaltime totala H 1 Strat fundatie 2 Model in elemente finite 3 2 1 1 … 3 - straturi succesive de umplutura 24