MATA KULIAH KALKULUS I 4 sks Dosen Ir

MATA KULIAH KALKULUS I (4 sks) Dosen : Ir. RENILAILI, MT

Pertemuan ke 1 sistem bilangan

Sistem bilangan • Bilangan merupakan angka mulai dari 0 sampai 10 , tetapi bisa juga bilangan itu berupa pernyataan , seperti bilangan biner , bilangan decimal, bilangan ekponen , bilangan irrasional, bilangan imaginer dll.

Bilangan dasar 10 • 2763 = 2. 10 • 2783 = 2. 10 3 +7. 10 2+ 8. 10 1+3. 10 0 • • 3896, 475 = 3. 10 3 +8. 10 2 + 9. 10. 1 +6. 10 0 + 4. 10 -1 + 7. 10 + 5. 10 -3 -2

Pertemuan ke dua latihan soal-soal

Latihan soal • Latihan untuk merubah ke bilangan biner • Soal-soal: 2789 = 4789 = 9765 = 7569 = 6754 =

Pertemuan ketiga merubah basis

Merubah basis • Cara merubah basis dapat dilakukan dengan jalan membagi bilangan tersebut secara terus menerus sampai bilangan tersebut menghsilkan bilangan 0 • Contoh • 524 = 1014 8 • 897 = 629 12 • 0, 526 = 0, 4152 8

Pertemuan ke empat limit

LIMIT Difinisi : f (x) dikatakan mempunyai limit L untuk x → x 0, bila untuk setiap bilangan positif h yang diberikan, dapat ditunjuk bilangan positif δ sedemikian hingga untuk semua harga x yang memenuhi

TEOREMA LIMIT Teorema Limit • • • Jika K suatu konstanta, f dan g adalah fungsi – fungsi yang mempunyai limit untuk x → a, a ε R. f (x) = k → lim f (x) = k x→a f (x) = k → lim f (x) = a x→a Lim [ f(x) + g (x) ] = lim f(x) + lim g (x) x→a x→a Lim [ f(x) – g (x)] = lim f(x) – lim g (x) x→a x→a Lim k f(x) = K. lim f(x) x→a

1. Lim [ f(x). g (x) = lim f(x). lim g (x) x→a x→a 2. Lim = x→a 3. Lim [ f(x) ]n = [lim f(x)]n , n bilangan bulat x→a 4. Lim , n bilangan asli n ≥ 2 = x→a 5. Lim [ f(x)]m/n = x→a , m bilangan bulat lim f(x) ε R = x→a

Contoh-contoh penyelesaian limit

Pertemuan ke lima latihan soal-soal limit

Soal-soal latihan

Lanjutan soal

Pertemuan ke enam differensial

DIFFERENSIAL Fungsi Aljabar f (x) difefenisikan sebagai fungsi x, dapat ditulis dengan singkat sebagai y dan f’ (x) merupakan turunan dari f (x) juga dalam hal ini dapat ditulis dengan dy/dx, tetapi ada fungsi-fungsi lainnya yang dalam buku ini ditulis sebagai u dan v yang digunakan untuk memperpendek cara penulisan.

RUMUS-RUMUS DASAR 1. f (x) = xn f’ (x) = n. xn-1 Contoh f (x) = x 5 f’ (x) = 5. x 4 f (x) = 2 x 3 f’ (x) = 6 x 2

3. f (x) = u + v f’ (x) = u’ + v’ Contoh 1 : f(x) f’(x) = (3 x 3 + 10) + (5 x 2 + 6) = (9 x 2) + (10 x) Contoh 2 : f(x) f’(x) = (2 x 5 + 6 x) + (3 x 2 + 10 x) = (10 x 4 + 6) + (6 x + 10) = 10 x 4 + 6 x + 16

4. f (x) = u. v f’ (x) = u’v + v’u Contoh 1 : f(x) = (2 x 5 + 3). (3 x 2 + 1) f’x) = (10 x 4) (3 x 2 + 1) + (6 x) (2 x 5 + 3) = (30 x 6 + 10 x 4) + (12 x 6 + 18 x) = 42 x 6 + 10 x 4 + 18 x

Pertemuan ke tujuh latihan soal -soal diff fungsi aljabar

LATIHAN SOAL 1. f(x) = (x 3+3) – (x 4+4 x 2) 2. f(x) = (x 3+3 x 2) + (x 3+5 x) 3. f(x) = (x 3+4 x 2+5 x+10) 4. f(x) = (x 5+3 x). (x 2+2 x) 5. f(x) = (x 3 + 2 x) 1/2

Contoh 1 :

6. f (x) = un f’x) = n. un-1. u’ Contoh : f(x) = (3 x 2 + 4)3 f’(x) = 3(3 x 2 + 4)3 -1(6 x) = 18 x (3 x 2 + 4)2

Contoh 1 :

Pertemuan ke lapan Quisioner

QUISIONER f(x) = (x 3 + 5) (2 x + 1) f(x) = (x 2 – 1) + (3 x 2 +3 x+7) f(x) = (4 x 5 + 10) – (3 x 3 + 2 x) f(x) = (2 x 3+3 x)5

Pertemuan ke sembilan diff fungsi implisit

Fungsi Implisit Differensial secara implisit, caranya differensialkan variabel x seperti biasa, kemudian differensialkan variabel y seperti variabel x, tetapi harus dikalikan dengan dy/dx

Pertemuan ke sepuluh latihan soal-soal diff fungsi implisit

Latihan soal-soal untuk fungsi implisit selesaikanlah differensial fungsi implisit berikut ini :

Pertemuan ke sebelas diff fungsi trigonometri

Fungsi Trigonometri Tabel 1. Koefisien Differensial Baku No y = f(x) 1 sin x cos x 2 cos x -sin x 3 tg x sec 2 x 4 ctg x -cosec 2 x 5 sec x tg x 6 Cosec x -cosec x tg x

Pertemuan ke duabelas diff fungsi eksponen

FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARIMA

Pertemuan ke tigabelas latihan soal-soal diff fungsi exponen dan logaritma

CONTOH PENYELESAIAN SOAL-SOAL. y = ex 1 2. y = 2 e 3 x 3. y = ln x 4. y = ax 5. log a x 6. y = e(3 -x)

Pertemuan ke empatbelas mid test

MID TEST SELESAIKANLAH DIFFERENSIAL FUNGSI-FUNGSI BERIKUT INI DENGAN WAKTU 60 MENIT. 1. f(x) = ( 2 x 4 + 3 x 2 + 5 x + 55 ) 2. f(x) = ( 3 x 2 + 5 x 3 ) + ( 4 x 3 - 2 x 3 ) 3. f(x) = ( 3 x 4 + 5 x 2 ) 7 4. f(x) = ( 3 x 3_ 4 x 2 ). ( 2 x 4 + 5 x ) 5. f(x) = sin 2 x 3 + 3 tg 2 x 6. f(x) = ( cos 3 x + 5 ). ( sin 3 x 2 ) 7. f(x) = ( e 3 x + 5 x 2 ) + ( sin 3 x 2 + 5 )

Pertemuan ke limabelas penerapan differensial

PENERAPAN DIFFERENSIAL

• Garis Singgung dan Garis Normal suatu kurva disebuah titik tertentu. Kemiringan kurva y = f(x) disebuah titik P pada kurva ditentukan oleh kemiringan garis singgungnya dititik P. Kemiringan ini juga diberikan oleh harga dititik P. Yang dapat dihitung bila persamaan kurvanya diketahui. Jadi kita dapat menghitung kemiringan garis singgung suatu kurva dititik P. Kita tahu bahwa garis singgung tersebut melalui titik P, yaitu bila x = x 1 dan y = y 1. • Persamaan garis untuk menghitung kemiringan adalah: y-y 1 = m (x-x 1)

JARI-JARI KELENGKUNGAN

Pertemuan ke enambelas latihan soal penerapan differensial

Latihan soal 1. Tentukanlah jari-jari kelengkungan kurva dititik (2, 3) 2. Tentukanlah persamaan garis singgung dari garis normal kurva y = x 3 – 2 x 2 + 3 x – 1 dititik (2, 5).

Pertemuan ke tujubelas Integral

INTEGRAL Pengertian Integral boleh disebut sebagai “anti turunan” atau kebalikan dari differensial, kalau dalam differensial pangkat dari variabel x berkurang satu, sebaliknya dalam integral pangkat dari variabel x bertambah satu. Dalam operasi matematika ada dua macam operasi yang saling berlawanan, operasi yang demikian merupakan operasi balikan (inversi). Dalam operasi balikan itu misalnya pengurangan dan penambahan, perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar serta penarikan logaritma dan perhitungan logaritma.

MACAM –MACAM INTEGRAL Dalam menyelesaikan suatu fungsi integral, maka perlu kita ketahui bahwa ada beberapa macam fungsi yang dapat dikelompokkan sebagai beriktu : • Integral tak tentu • Integral parsiil • Integral fungsi rasional • Integral fungsi trigonometri • Integral logaritma dan exponen • Integral denan substitusi

RUMUS-RUMUS DASAR

Pertemuan ke delapanbelas Integral tak tentu

INTEGRAL TAK TENTU

INTEGRAL TAK TENTU Contoh-contoh

Pertemuan ke sembilanbelas Integral dengan substitusi

INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI Misalnya : x 3 + 2 = u 3 x 2 dx = du

Pertemuan ke duapuluh latihan soal-soal integral tak tentu dan integral dg substitusi

Latihan soal

Pertemuan ke duapuluhsatu Integral parsiil

INTEGRAL PARSIIL Suatu bentuk integral yang sering timbul, ialah suatu integral yang integralnya merupakan hasil ganda dari suatu fungsi x dengan differensial dari fungsi x yang lain. Andaikan u dan v adalah fungsi dari x, maka dicari hasil dari bentuk : Agar kita dapat menggunakan rumus ini, bentuk dari integral yang kita ketahui harus dibuat menjadi dua bagaian satu bagain sesuai dengan u dan bagian yang lain bersama-sama dengan dx sesuai dv. Untuk lebih jelasnya kita ambil beberapa

Contoh Integral parsiil

Pertemuan ke duapuluhdua latihan soal-soal Integral parsiil

Latihan soal

Pertemuan ke duapuluhtiga Integral fungsi rasional

Integral fungsi rasional Dalam menyelesaikan integral fungsi rasional ada cara yang dapat digunakan agar penyelesaian tersebut dapat dengan mudah kita selesaikan. Caranya adalah sebagai berikut : Bagian kiri identik dengan bagian kanan, berarti koefisien dari x yang berpangkat sama dari kedua bagian tersebut harus sama.

CONTOH INTEGRAL FUNGSI RASIONAL dalam hal ini x 3 – 7 x + 6 kita uraikan dalam bentuk faktor :

Maka persamaan menjadi :

Pertemuan ke duapululima latihan soal-soal Integral fungsi rasional

LATIHAN SOAL FUNGSI RASIONAL

Pertemuan ke duapuluenam latihan soal-soal campuran

Slatihan soal-soal campuran 1. f(x) = (x 3 + 5) (2 x + 1) 2. f(x) = (x 2 – 1) + (3 x 2 +3 x+7) 3. f(x) = (4 x 5 + 10) – (3 x 3 + 2 x) 4. f(x) = (2 x 3+3 x)5

Pertemuan ke duapulutujuh latihan soal-soal campuran

Slatihan soal-soal campuran 1. f(x) = (x 3 + 5) (2 x + 1) 2. f(x) = (x 2 – 1) + (3 x 2 +3 x+7) 3. f(x) = (4 x 5 + 10) – (3 x 3 + 2 x) 4. f(x) = (2 x 3+3 x)5

Pertemuan ke duapuluhdelapan ujian semester